一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． ． ． ．
2．已知复数z满足，则复数z的实部与虚部的和为（ ）
A．1 ． ． ．
3．的展开式中，的系数为（ ）
A． ． ． ．
4．已知，则（ ）
A． ． ． ．
5．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm，上口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm．经测量知圆柱的高约为24cm，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，，）（ ）
A． ．
C． ．
6．已知是定义域为R的奇函数，满足，则（ ）
A．2 ．1 ． ．0
7．在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．4π ．8π ． ．
8．已知抛物线C：，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB的斜率分别为，，且，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，N，则△PMN的面积的最小值为（ ）
A． ． ． ．
二、多选题
9．已知函数的图像关于直线对称，则ω的取值可以为（ ）
A．2 ．4 ．6 ．8
10．在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A． ．
C． ．
11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）
A．事件A发生的概率为 ．事件B发生的概率为
C．事件C发生的概率为 ．
12．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数为奇函数
B．函数有极值的充要条件是
C．若函数f（x）有两个极值点，，则
D．若，则过点作曲线的切线有且仅有3条
三、填空题
13．已知样本数据，，2，2，3，若该样本的方差为，极差为t，则______．
14．已知圆：与直线：，写出一个半径为，且与圆及直线都相切的圆的方程：______．
15．已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，过F作x轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B，若直线AB的斜率为，则该椭圆的离心率为______．
16．已知f（x）是偶函数，当时，，则满足的实数x的取值范围是______．
四、解答题
17．已知数列是等差数列，成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)判断的形状；
(2)若，D在BC边上，，求的值．
19．如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)若，求四棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
20．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．
(1)求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．
21．已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．
22．已知函数，．
(1)当时，求f（x）的单调区间；
(2)当时，求证：函数f（x）有3个零点．
参：
1．B
【分析】化简集合和，即可得出的取值范围.
【详解】解：由题意
在，中，
，
∴
故选：B.
2．D
【分析】根据复数的运算法则求出复数，则得到答案.
【详解】
，，
故实部与虚部的和为，
故选：D.
3．C
【分析】根据二项式定理可求得展开式通项，由此可确定，结合多项式乘法运算进行整理即可确定的系数.
【详解】展开式的通项公式为：；
当时，；当时，；
的系数为.
故选：C.
4．A
【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除，代入可得答案.
【详解】
,
故选：A.
5．C
【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.
【详解】下端圆柱的体积为：，
上端圆台的体积为：，
所以该何尊的体积估计为.
因为最接近，
所以估计该何尊可以装酒.
故选：C
6．D
【分析】根据函数是定义域为R的奇函数，且得出函数是周期为的周期函数，进而求解.
【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，且，
所以，所以，
即函数是周期为的周期函数，
因为函数是定义域为R的奇函数，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
故选：.
7．C
【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可.
【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，
如图①所示：
取的中点，连接，连接交于，
由，
则在等腰中有：，
又平面平面，且平面平面ABCD=，
则平面，
又，
所以在中，
，
由底面为正方形，
所以它的外接圆的圆心为对角线的交点，
连接，则，
外接圆的圆心为，且在上，
过点，分别作平面与平面的垂线，
则两垂线必交于点，点即为四棱锥外接球的球心，
且平面，
又平面，即平面，
所以，
所以四边形为矩形.
如图②连接，则，
在中，，
所以，
解得，
所以，
所以，
在图①中连接，
由，
所以在中，
，
即四棱锥外接球的半径为，
所以四棱锥外接球的表面积为：
，
故选：C.
8．D
【分析】设出A、B的坐标，由解得的值，再分别求出点M、点N的坐标，求得的式子，研究恒过x轴上的定点可得点P的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.
【详解】设，，则，，
∴
∴，
∴设： ，令得：，∴，
同理：
∴，
设：，
，，，
又∵，
∴，解得：，
∴：恒过点，
∴与x轴交点P的坐标为，即：，
∴点P到准线的距离为8+1=9.
方法1：，当且仅当时取等号.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为.
方法2：
∵ ∴，当且仅当m=0时取得最小值.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为.
故选：D.
9．AD
【分析】首先将函数化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得的表达式，对整数赋值求得结果.
【详解】，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，Z，解得，
因为，所以当时，；所以当时，.
故选：AD.
10．ABD
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.
【详解】四边形为菱形，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
，，，，
，，，，，
对于A，，，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，，，，C错误；
对于D，，，，D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.
【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：
这3个球都是红球的基本事件数为：，
所以事件A发生的概率为：，故A错误，
这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：
，
所以事件B发生的概率为：，故B错误，
这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：
，
事件C发生的概率为,故C错误，
因为，
所以由条件概率公式得：，
故D正确，
故选：ABC.
12．BCD
【分析】对于A：利用奇偶性的定义直接判断；对于B：利用极值的计算方法直接求解；对于C：先求出，表示出，即可求出；对于D：设切点，由导数的几何意义得到.设，利用导数判断出函数有三个零点，即可求解.
【详解】对于A：当时，定义域为.
因为，
所以函数不是奇函数.故A错误；
对于B：函数有极值 在上不单调.
由求导得：.
在上不单调在上有正有负.
故B正确.
对于C：若函数f（x）有两个极值点，，必满足，即.
此时，为的两根，所以.
所以.
所以
对称轴，所以当时，.
即.故C正确；
对于D：若时，.
所以.
设切点，则有：，
消去，整理得：
不妨设，则.
令，解得：或；令，解得： .
所以在，上单调递增，在上单调递减.
所以，
.
所以作出的图像如图所示：
因为函数有三个零点，所以方程有三个根，所以过点作曲线的切线有且仅有3条.故D正确.
故选：BCD.
13．##0.7
【分析】根据极差的定义可得，先求出平均数，再从方差，从而可求.
【详解】极差，平均数为，
故方差.
所以.
故答案为:.
14．(答案不唯一)
【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.
【详解】设圆心为,由已知圆与直线：相切, 圆与圆：相切,
可得,即得或或,
且已知半径为,
所以圆的方程可以为: 或或
故答案为: (答案不唯一)
15．##0.5
【分析】由题意设，，再由结合，即可得出答案.
【详解】由题意可得，，，
令椭圆中，解得：，
所以，而，则，
解得：.
故答案为：.
16．
【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.
【详解】当时，，函数在上单调递增，∴，又是偶函数，所以的值域为.
当时，，不等式为，即，
设，由函数，，在上都是增函数， 得在上是增函数，由，则解得；
当时，由函数值域可知，此时，所以恒成立；
综上可知，满足的实数x的取值范围是.
故答案为：
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得，进而确定；
（2）利用裂项相消法可求得，整理即可证得结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
成等比数列，，即，
又，则由得：或，
当，时，，不满足成等比数列，舍去；
，，.
（2）由（1）得：，
，
.
18．(1)直角三角形
(2)
【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；
（2）由（1）中结论即可得到，从而得到的值，然后在中结合余弦定理即可得到结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
即
所以
且，所以
即是直角三角形.
（2）在直角中，有，即，所以，
又因为，所以
且，
在中，由余弦定理可得，
解得，
在中由余弦定理可得，
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接交于点，连接，则为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，计算出的长以及四边形的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积；
（3）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，
因为、分别为、的中点，则，
因为平面，平面，平面.
（2）解：因为，则，，
，即，
过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，，
又因为，，、平面，平面，
由等面积法可得，
因为平面，平面，，
又因为且，故四边形为矩形，
所以，，
.
（3）解：不妨设，因为，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为，则，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
20．(1)
(2)分布列见解析；期望
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定名学生中优秀学员的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.
【详解】（1）名学生的平均成绩为.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
21．(1)
(2)或
【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得的值，由此可得双曲线方程；
（2）由三点共线可设，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得的值，由此可得直线方程.
【详解】（1）设，，则，，
，解得：，；
又在双曲线上，则，，，
双曲线的方程为：.
（2）由（1）得：，，
，三点共线，
直线斜率显然存在，可设，，，
由得：，
，即且，
，，
，，又，，
，
解得：，满足且，
直线方程为：或.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.
22．(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
(2)证明过程见详解
【分析】(1) 因为，所以函数，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；
(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数在和上单调递增，在上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.
【详解】（1）因为，所以函数，
所以，
当或时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
综上：函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
（2）因为函数，
所以，
令可得：或，因为，所以，
当或时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取极大值，
因为当时，；
所以，使得；
当时，函数取极小值，
，（因为，所以，因为，所以，也即）
所以，使得；
又当时，，所以，使得；
故当时，函数有3个零点.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．下载本文
