一.填空题

1．（5分）已知集合A={1， 2}， B={a， a2+3}．若A∩B={1}， 则实数a的值为　   　．

2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）， 其中i是虚数单位， 则z的模是　   　．

3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品， 产量分别为200， 400， 300， 100件．为检验产品的质量， 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验， 则应从丙种型号的产品中抽取　   　件．

4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为， 则输出y的值是　   　．

5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=　   　．

6．（5分）如图， 在圆柱O1O2内有一个球O， 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切， 记圆柱O1O2的体积为V1， 球O的体积为V2， 则的值是　   　．

7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4， 5]上随机取一个数x， 则x∈D的概率是　   　．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中， 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P， Q， 其焦点是F1， F2， 则四边形F1PF2Q的面积是　   　．

9．（5分）等比数列{an}的各项均为实数， 其前n项为Sn， 已知S3=， S6=， 则a8=　   　．

10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨， 每次购买x吨， 运费为6万元/次， 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 则x的值是　   　．

11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣， 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是　   　．

12．（5分）如图， 在同一个平面内， 向量， ， 的模分别为1， 1， ， 与的夹角为α， 且tanα=7， 与的夹角为45°．若=m+n（m， n∈R）， 则m+n=　   　．

13．（5分）在平面直角坐标系xOy中， A（﹣12， 0）， B（0， 6）， 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20， 则点P的横坐标的取值范围是　   　．

14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数， 在区间[0， 1）上， f（x）=， 其中集合D={x|x=， n∈N*}， 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是　   　．

二.解答题

15．（14分）如图， 在三棱锥A﹣BCD中， AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD， BD上， 且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

16．（14分）已知向量=（cosx， sinx）， =（3， ﹣）， x∈[0， π]．

（1）若∥， 求x的值；

（2）记f（x）=， 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

17．（14分）如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1， F2， 离心率为， 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上， 且位于第一象限， 过点F1作直线PF1的垂线l1， 过点F2作直线PF2的垂线l2．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1， l2的交点Q在椭圆E上， 求点P的坐标．

18．（16分）如图， 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm， 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm， 容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水， 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l， 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中， l的一端置于点A处， 另一端置于侧棱CC1上， 求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中， l的一端置于点E处， 另一端置于侧棱GG1上， 求l没入水中部分的长度．

19．（16分）对于给定的正整数k， 若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立， 则称数列{an}是“P（k）数列”．

（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；

（2）若数列{an}既是“P（2）数列”， 又是“P（3）数列”， 证明：{an}是等差数列．

20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0， b∈R）有极值， 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式， 并写出定义域；

（2）证明：b2＞3a；

（3）若f（x）， f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣， 求a的取值范围．

二.非选择题， 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）

21．如图， AB为半圆O的直径， 直线PC切半圆O于点C， AP⊥PC， P为垂足．

求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC2 =AP•AB．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．已知矩阵A=， B=．

（1）求AB；

（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2， 求C2的方程．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中， 已知直线l的参数方程为（t为参数）， 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点， 求点P到直线l的距离的最小值．

［选修4-5：不等式选讲］

24．已知a， b， c， d为实数， 且a2+b2=4， c2+d2=16， 证明ac+bd≤8．

【必做题】

25．如图， 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中， AA1⊥平面ABCD， 且AB=AD=2， AA1=， ∠BAD=120°．

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

26．已知一个口袋有m个白球， n个黑球（m， n∈N*， n≥2）， 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出， 并放入如图所示的编号为1， 2， 3， …， m+n的抽屉内， 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1， 2， 3， …， m+n）．

（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， E（X）是X的数学期望， 证明E（X）＜．

江苏省高考数学试卷

参与试题解析

一.填空题

1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1， 2}， B={a， a2+3}．若A∩B={1}， 则实数a的值为　1　．

【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：∵集合A={1， 2}， B={a， a2+3}．A∩B={1}， 

∴a=1或a2+3=1， 

解得a=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查实数值的求法， 是基础题， 解题时要认真审题， 注意交集定义及性质的合理运用．

2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）， 其中i是虚数单位， 则z的模是　　．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i， 

∴|z|==．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题．

3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品， 产量分别为200， 400， 300， 100件．为检验产品的质量， 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验， 则应从丙种型号的产品中抽取　18　件．

【分析】由题意先求出抽样比例即为， 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．

【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件， 而抽取60辆进行检验， 抽样比例为=， 

则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件， 

故答案为：18

【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致， 按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值， 在各层中进行抽取．

4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为， 则输出y的值是　﹣2　．

【分析】直接模拟程序即得结论．

【解答】解：初始值x=， 不满足x≥1， 

所以y=2+log2=2﹣=﹣2， 

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查程序框图， 模拟程序是解决此类问题的常用方法， 注意解题方法的积累， 属于基础题．

5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=　　．

【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可

【解答】解：∵tan（α﹣）===

∴6tanα﹣6=tanα+1， 

解得tanα=， 

故答案为：．

【点评】本题考查了两角差的正切公式， 属于基础题

6．（5分）（2020•江苏）如图， 在圆柱O1O2内有一个球O， 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切， 记圆柱O1O2的体积为V1， 球O的体积为V2， 则的值是　　．

【分析】设出球的半径， 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．

【解答】解：设球的半径为R， 则球的体积为：R3， 

圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．

则==．

故答案为：．

【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法， 考查空间想象能力以及计算能力．

7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4， 5]上随机取一个数x， 则x∈D的概率是　　．

【分析】求出函数的定义域， 结合几何概型的概率公式进行计算即可．

【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0， 得﹣2≤x≤3， 

则D=[﹣2， 3]， 

则在区间[﹣4， 5]上随机取一个数x， 则x∈D的概率P==， 

故答案为：

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算， 结合函数的定义域求出D， 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．

8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中， 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P， Q， 其焦点是F1， F2， 则四边形F1PF2Q的面积是　　．

【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程， 得到P， Q坐标， 求出焦点坐标， 然后求解四边形的面积．

【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=， 双曲线渐近线方程为：y=x， 

所以P（， ）， Q（， ﹣）， F1（﹣2， 0）．F2（2， 0）．

则四边形F1PF2Q的面积是：=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用， 考查计算能力．

9．（5分）（2020•江苏）等比数列{an}的各项均为实数， 其前n项为Sn， 已知S3=， S6=， 则a8=　32　．

【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1， S3=， S6=， 可得=， =， 联立解出即可得出．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1， 

∵S3=， S6=， ∴=， =， 

解得a1=， q=2．

则a8==32．

故答案为：32．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．

10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨， 每次购买x吨， 运费为6万元/次， 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 则x的值是　30　．

【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x， 利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．

当且仅当x=30时取等号．

故答案为：30．

【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题．

11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣， 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是　[﹣1， ]　．

【分析】求出f（x）的导数， 由基本不等式和二次函数的性质， 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义， 可得f（x）为奇函数， 原不等式即为2a2≤1﹣a， 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．

【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣的导数为：

f′（x）=3x2﹣2+ex+≥﹣2+2=0， 

可得f（x）在R上递增；

又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣=0， 

可得f（x）为奇函数， 

则f（a﹣1）+f（2a2）≤0， 

即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）， 

即有2a2≤1﹣a， 

解得﹣1≤a≤， 

故答案为：[﹣1， ]．

【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用， 注意运用导数和定义法， 考查转化思想的运用和二次不等式的解法， 考查运算能力， 属于中档题．

12．（5分）（2020•江苏）如图， 在同一个平面内， 向量， ， 的模分别为1， 1， ， 与的夹角为α， 且tanα=7， 与的夹角为45°．若=m+n（m， n∈R）， 则m+n=　3　．

【分析】如图所示， 建立直角坐标系．A（1， 0）．由与的夹角为α， 且tanα=7．可得cosα=， sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m， n∈R）， 即可得出．

【解答】解：如图所示， 建立直角坐标系．A（1， 0）．

由与的夹角为α， 且tanα=7．

∴cosα=， sinα=．

∴C．

cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．

sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．

∴B．

∵=m+n（m， n∈R）， 

∴=m﹣n， =0+n， 

解得n=， m=．

则m+n=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．

13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中， A（﹣12， 0）， B（0， 6）， 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20， 则点P的横坐标的取值范围是　[﹣5， 1]　．

【分析】根据题意， 设P（x0， y0）， 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0， 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域， 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标， 结合图形分析可得答案．

【解答】解：根据题意， 设P（x0， y0）， 则有x02+y02=50， 

=（﹣12﹣x0， ﹣y0）•（﹣x0， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20， 

化为：12x0﹣6y0+30≤0， 

即2x0﹣y0+5≤0， 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域， 

联立， 解可得x0=﹣5或x0=1， 

结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5， 1]， 

故答案为：[﹣5， 1]．

【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系， 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．

14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数， 在区间[0， 1）上， f（x）=， 其中集合D={x|x=， n∈N*}， 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是　8　．

【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数， 在区间[0， 1）上， f（x）=， 其中集合D={x|x=， n∈N*}， 分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数， 进而可得答案．

【解答】解：∵在区间[0， 1）上， f（x）=， 

第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 

又f（x）是定义在R上且周期为1的函数， 

∴在区间[1， 2）上， f（x）=， 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

同理：

区间[2， 3）上， f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[3， 4）上， f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[4， 5）上， f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[5， 6）上， f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[6， 7）上， f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[7， 8）上， f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[8， 9）上， f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

在区间[9， +∞）上， f（x）的图象与y=lgx无交点；

故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；

即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8， 

故答案为：8

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断， 函数的图象和性质， 转化思想， 难度中档．

二.解答题

15．（14分）（2020•江苏）如图， 在三棱锥A﹣BCD中， AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD， BD上， 且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；

（2）通过取线段CD上点G， 连结FG、EG使得FG∥BC， 则EG∥AC， 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD， 结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG， 从而可得结论．

【解答】证明：（1）因为AB⊥AD， EF⊥AD， 且A、B、E、F四点共面， 

所以AB∥EF， 

又因为EF⊊平面ABC， AB⊆平面ABC， 

所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；

（2）在线段CD上取点G， 连结FG、EG使得FG∥BC， 则EG∥AC， 

因为BC⊥BD， 所以FG∥BC， 

又因为平面ABD⊥平面BCD， 

所以FG⊥平面ABD， 所以FG⊥AD， 

又因为AD⊥EF， 且EF∩FG=F， 

所以AD⊥平面EFG， 所以AD⊥EG， 

故AD⊥AC．

【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定， 考查空间想象能力， 考查转化思想， 涉及线面平行判定定理， 线面垂直的性质及判定定理， 注意解题方法的积累， 属于中档题．

16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx， sinx）， =（3， ﹣）， x∈[0， π]．

（1）若∥， 求x的值；

（2）记f（x）=， 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣， 问题得以解决， 

（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出

【解答】解：（1）∵=（cosx， sinx）， =（3， ﹣）， ∥， 

∴﹣cosx=3sinx， 

∴tanx=﹣， 

∵x∈[0， π]， 

∴x=， 

（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）， 

∵x∈[0， π]， 

∴x+∈[， ]， 

∴﹣1≤cos（x+）≤， 

当x=0时， f（x）有最大值， 最大值3， 

当x=时， f（x）有最小值， 最大值﹣2．

【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质， 属于基础题

17．（14分）（2020•江苏）如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1， F2， 离心率为， 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上， 且位于第一象限， 过点F1作直线PF1的垂线l1， 过点F2作直线PF2的垂线l2．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1， l2的交点Q在椭圆E上， 求点P的坐标．

【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c， 由椭圆的准线方程x=±， 则2×=8， 即可求得a和c的值， 则b2=a2﹣c2=3， 即可求得椭圆方程；

（2）设P点坐标， 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率， 则即可求得l2及l1的斜率及方程， 联立求得Q点坐标， 由Q在椭圆方程， 求得y02=x02﹣1， 联立即可求得P点坐标；

方法二：设P（m， n）， 当m≠1时， =， =， 求得直线l1及l1的方程， 联立求得Q点坐标， 根据对称性可得=±n2， 联立椭圆方程， 即可求得P点坐标．

【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==， 则a=2c， ①

椭圆的准线方程x=±， 由2×=8， ②

由①②解得：a=2， c=1， 

则b2=a2﹣c2=3， 

∴椭圆的标准方程：；

（2）方法一：设P（x0， y0）， 则直线PF2的斜率=， 

则直线l2的斜率k2=﹣， 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）， 

直线PF1的斜率=， 

则直线l2的斜率k2=﹣， 直线l2的方程y=﹣（x+1）， 

联立， 解得：， 则Q（﹣x0， ）， 

由P， Q在椭圆上， P， Q的横坐标互为相反数， 纵坐标应相等， 则y0=， 

∴y02=x02﹣1， 

则， 解得：， 则， 

又P在第一象限， 所以P的坐标为：

P（， ）．

方法二：设P（m， n）， 由P在第一象限， 则m＞0， n＞0， 

当m=1时， 不存在， 解得：Q与F1重合， 不满足题意， 

当m≠1时， =， =， 

由l1⊥PF1， l2⊥PF2， 则=﹣， =﹣， 

直线l1的方程y=﹣（x+1）， ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）， ②

联立解得：x=﹣m， 则Q（﹣m， ）， 

由Q在椭圆方程， 由对称性可得：=±n2， 

即m2﹣n2=1， 或m2+n2=1， 

由P（m， n）， 在椭圆方程， ， 解得：， 或， 无解， 

又P在第一象限， 所以P的坐标为：

P（， ）．

【点评】本题考查椭圆的标准方程， 直线与椭圆的位置关系， 考查直线的斜率公式， 考查数形结合思想， 考查计算能力， 属于中档题．

18．（16分）（2020•江苏）如图， 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm， 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm， 容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水， 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l， 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中， l的一端置于点A处， 另一端置于侧棱CC1上， 求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中， l的一端置于点E处， 另一端置于侧棱GG1上， 求l没入水中部分的长度．

【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M， 玻璃棒与水面的交点为N， 过N作NP∥MC， 交AC于点P， 推导出CC1⊥平面ABCD， CC1⊥AC， NP⊥AC， 求出MC=30cm， 推导出△ANP∽△AMC， 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．

（2）设玻璃棒在GG1上的点为M， 玻璃棒与水面的交点为N， 过点N作NP⊥EG， 交EG于点P， 过点E作EQ⊥E1G1， 交E1G1于点Q， 推导出EE1G1G为等腰梯形， 求出E1Q=24cm， E1E=40cm， 由正弦定理求出sin∠GEM=， 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．

【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M， 玻璃棒与水面的交点为N， 

在平面ACM中， 过N作NP∥MC， 交AC于点P， 

∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱， ∴CC1⊥平面ABCD， 

又∵AC⊂平面ABCD， ∴CC1⊥AC， ∴NP⊥AC， 

∴NP=12cm， 且AM2=AC2+MC2， 解得MC=30cm， 

∵NP∥MC， ∴△ANP∽△AMC， 

∴=， ， 得AN=16cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．

（2）设玻璃棒在GG1上的点为M， 玻璃棒与水面的交点为N， 

在平面E1EGG1中， 过点N作NP⊥EG， 交EG于点P， 

过点E作EQ⊥E1G1， 交E1G1于点Q， 

∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台， ∴EE1=GG1， EG∥E1G1， 

EG≠E1G1， 

∴EE1G1G为等腰梯形， 画出平面E1EGG1的平面图， 

∵E1G1=62cm， EG=14cm， EQ=32cm， NP=12cm， 

∴E1Q=24cm， 

由勾股定理得：E1E=40cm， 

∴sin∠EE1G1=， sin∠EGM=sin∠EE1G1=， cos， 

根据正弦定理得：=， ∴sin， cos， 

∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=， 

∴EN===20cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．

【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想， 是中档题．

19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k， 若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立， 则称数列{an}是“P（k）数列”．

（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；

（2）若数列{an}既是“P（2）数列”， 又是“P（3）数列”， 证明：{an}是等差数列．

【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质， an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an， 根据“P（k）数列”的定义， 可得数列{an}是“P（3）数列”；

（2）由“P（k）数列”的定义， 则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an， an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an， 变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1， 即可证明数列{an}是等差数列．

【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为a1， 公差为d， 则an=a1+（n﹣1）d， 

则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3， 

=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）， 

=2an+2an+2an， 

=2×3an， 

∴等差数列{an}是“P（3）数列”；

（2）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an， ①

数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an， ②

由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1， ③

an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1， ④

由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1， 

整理得：2an=an﹣1+an+1， 

∴数列{an}是等差数列．

【点评】本题考查等差数列的性质， 考查数列的新定义的性质， 考查数列的运算， 考查转化思想， 属于中档题．

20．（16分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0， b∈R）有极值， 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式， 并写出定义域；

（2）证明：b2＞3a；

（3）若f（x）， f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣， 求a的取值范围．

【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b， 进而再求导可知g′（x）=6x+2a， 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣， 从而f（﹣）=0， 整理可知b=+（a＞0）， 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0， b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根， 进而可知a＞3．

（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）， 结合a＞3可知h（a）＞0， 从而可得结论；

（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣， 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2， 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣， 因式分解即得结论．

【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1， 

所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b， g′（x）=6x+2a， 

令g′（x）=0， 解得x=﹣．

由于当x＞﹣时g′（x）＞0， g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0， g（x）=f′（x）单调递减；

所以f′（x）的极小值点为x=﹣， 

由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点， 

所以f（﹣）=0， 即﹣+﹣+1=0， 

所以b=+（a＞0）．

因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0， b∈R）有极值， 

所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根， 

所以4a2﹣12b＞0， 即a2﹣+＞0， 解得a＞3， 

所以b=+（a＞3）．

（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）， 

由于a＞3， 所以h（a）＞0， 即b2＞3a；

（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣， 

设x1， x2是y=f（x）的两个极值点， 则x1+x2=， x1x2=， 

所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2

=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2

=﹣+2， 

又因为f（x）， f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣， 

所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣， 

因为a＞3， 所以2a3﹣63a﹣54≤0， 

所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0， 

所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0， 

由于a＞3时2a2+12a+9＞0， 

所以a﹣6≤0， 解得a≤6， 

所以a的取值范围是（3， 6]．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值， 考查运算求解能力， 考查转化思想， 注意解题方法的积累， 属于难题．

二.非选择题， 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）

21．（2020•江苏）如图， AB为半圆O的直径， 直线PC切半圆O于点C， AP⊥PC， P为垂足．

求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC2 =AP•AB．

【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．

（2）由（1）可得：△APC∽△ACB， 即可证明．

【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C， ∴∠ACP=∠ABC．

∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB=90°．

∵AP⊥PC， ∴∠APC=90°．

∴∠PAC=90°﹣∠ACP， ∠CAB=90°﹣∠ABC， 

∴∠PAC=∠CAB．

（2）由（1）可得：△APC∽△ACB， 

∴=．

∴AC2 =AP•AB．

【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．（2020•江苏）已知矩阵A=， B=．

（1）求AB；

（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2， 求C2的方程．

【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；

（2）求出变换前后的坐标变换规律， 代入曲线C1的方程化简即可．

【解答】解：（1）AB==， 

（2）设点P（x， y）为曲线C1的任意一点， 

点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0， y0）， 

则=， 即x0=2y， y0=x， 

∴x=y0， y=， 

∴， 即x02+y02=8， 

∴曲线C2的方程为x2+y2=8．

【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换， 属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中， 已知直线l的参数方程为（t为参数）， 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点， 求点P到直线l的距离的最小值．

【分析】求出直线l的直角坐标方程， 代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数， 从而得出最短距离．

【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0， 

∴P到直线l的距离d==， 

∴当s=时， d取得最小值=．

【点评】本题考查了参数方程的应用， 属于基础题．

［选修4-5：不等式选讲］

24．（2020•江苏）已知a， b， c， d为实数， 且a2+b2=4， c2+d2=16， 证明ac+bd≤8．

【分析】a2+b2=4， c2+d2=16， 令a=2cosα， b=2sinα， c=4cosβ， d=4sinβ．代入ac+bd化简， 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）， 即可得出．

【解答】证明：∵a2+b2=4， c2+d2=16， 

令a=2cosα， b=2sinα， c=4cosβ， d=4sinβ．

∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．

因此ac+bd≤8．

另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=， 当且仅当时取等号．

∴﹣8≤ac+bd≤8．

【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．

【必做题】

26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球， n个黑球（m， n∈N*， n≥2）， 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出， 并放入如图所示的编号为1， 2， 3， …， m+n的抽屉内， 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1， 2， 3， …， m+n）．

（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， E（X）是X的数学期望， 证明E（X）＜．

【分析】（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球， 则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）， 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．

（2）X的所有可能取值为， …， ， P（x=）=， k=n， n+1， n+2， …， n+m， 从而E（X）=（）=， 由此能证明E（X）＜．

【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球， 

则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）

=

==．

证明：（2）∵X的所有可能取值为， …， ， 

P（x=）=， k=n， n+1， n+2， …， n+m， 

∴E（X）=（）=

=＜=

=•（）

==， 

∴E（X）＜．

【点评】本题考查概率的求法， 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想， 是中档题．

25．（2020•江苏）如图， 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中， AA1⊥平面ABCD， 且AB=AD=2， AA1=， ∠BAD=120°．

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

【分析】在平面ABCD内， 过A作Ax⊥AD， 由AA1⊥平面ABCD， 可得AA1⊥Ax， AA1⊥AD， 以A为坐标原点， 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A， B， C， D， A1， C1 的坐标， 进一步求出， ， ， 的坐标．

（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量， 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值， 进一步得到正弦值．

【解答】解：在平面ABCD内， 过A作Ax⊥AD， 

∵AA1⊥平面ABCD， AD、Ax⊂平面ABCD， 

∴AA1⊥Ax， AA1⊥AD， 

以A为坐标原点， 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

∵AB=AD=2， AA1=， ∠BAD=120°， 

∴A（0， 0， 0）， B（）， C（， 1， 0）， 

D（0， 2， 0）， 

A1（0， 0， ）， C1（）．

=（）， =（）， ， ．

（1）∵cos＜＞==．

∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；

（2）设平面BA1D的一个法向量为， 

由， 得， 取x=， 得；

取平面A1AD的一个法向量为．

∴cos＜＞==．

∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为， 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．

【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角， 训练了利用空间向量求空间角， 是中档题．下载本文