★知识梳理★
1. 双曲线的定义:
当时, 的轨迹为双曲线;
当时, 的轨迹_____________;
当时, 的轨迹为___________________________
2. 双曲线的标准方程与几何性质
★重难点突破★
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为
2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为
★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1：运用双曲线的定义
例1. 如图2所示，为双曲线的左
焦点，双曲线上的点与关于轴对称，
则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
练习1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）
A． B．12 C． D．24
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．
练习：1曲线与曲线的 （ ）
A．焦距相等 B．焦点相同 C．离心率相等 D．以上都不对
2 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程
考点2 双曲线的几何性质
题型1 求离心率或离心率的范围
例3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为
题型2 与渐近线有关的问题
[例4]若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
例5、（1）已知F1、F2分别是双曲线－ =1（a>0,b>0）的左、右两焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在第一象限交双曲线于点P，若∠PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程．
（2）已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率。
练习：焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A． B． C． D．
考点3 焦点三角形
点P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线焦点，若F1PF2=120o，
则F1PF2的面积
练习：设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，求的面积。
考点3 中点弦问题
已知双曲线方程为,
（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线
有一个交点，两个交点，没有交点。
(2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，
求直线AB的方程；
（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在，
求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
变式：已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
抛物线
基础梳理
1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
| 方程 | y2＝2px (p>0) | y2＝－2px (p>0) | x2＝2py (p>0) | x2＝－2py (p>0) |
| p的几何意义：焦点F到准线l的距离 | ||||
| 图形 | ||||
| 顶点 | O(0,0) | |||
| 对称 轴 | y＝0 | x＝0 | ||
| 焦点 | F | F | F | F |
| 离心 率 | e＝1 | |||
| 准线 方程 | x＝－ | x＝ | y＝－ | y＝ |
| 范围 | x≥0，y∈R | x≤0，y∈R | y≥0，x∈R | y≤0，x∈R |
| 开口 方向 | 向右 | 向左 | 向上 | 向下 |
| 焦半 径 | |PF|＝ x0＋ | |PF|＝ －x0＋ | |PF|＝ y0＋ | |PF|＝ －y0＋ |
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )．
A．1 B．2 C．4 D．8
2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是
( )．
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝－12x D．y2＝12x
3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是
( )．
A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x
4．(2012·西安月考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )．
A．4 B．6 C．8 D．12
5．(2012·长春模拟)抛物线y2＝8x的焦点坐标是________．
考向一 抛物线的定义及其应用
【例1】►(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )．
A. B．1 C. D.
【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．
A. B．3 C. D.
考向二 抛物线的标准方程及性质
【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．
(2)(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
【训练2】 已知F为抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为( )．
A．－ B．± C．－ D．±
考向三 抛物线的综合应用
【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)；
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2 (2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.下载本文
