典例分析

【例1】若，则的最小值是___________．

【例2】设，则的最小值是（   ）

A．2        B．4        C．         D．5

【例3】若为的三个内角，则的最小值为         ．

【例4】设，则（    ）

A．有最大值     B．有最小值

C．有最大值       D．有最小值

【例5】已知：（其中表示正实数），

求证：

【例6】设，求证：，当且仅当时等号成立，

进一步证明：，当且仅当时各等号成立．

【例7】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．

⑴在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）

⑵若要求在该时段内车流量超过千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

【例8】某种汽车购车费用是万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为万元，年维修费第一年是万元，以后逐年递增万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)

【例9】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告面积最小？

【例10】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为米的无盖长方体沉淀箱．污水从　孔流入，经沉淀后从孔流出．设箱体长度为米，高度为米．已知流出的水中，杂质的质量分数与的乘积成反比．现有制箱材料平方米，问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(孔的面积忽略不计) 

【例11】设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上下各留的空白，左右各留的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

【例12】某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为(单位：)的矩形．上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积. 问分别为多少(精确到0.01m) 时用料最省?

【例13】某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大．最大种植面积是多少？

【例14】对个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙： 分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．

⑴分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

⑵若采用方案乙，当时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 

【例15】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为．

现假设甲生产、两种产品的单件成本分别为元和元，乙生产、两种产品的单件成本分别为元和元，设产品、的单价分别为元和元，甲买进与卖出的综合满意度为，乙卖出与买进的综合满意度为；

⑴求和关于、的表达式；当时，求证：=；

⑵设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

⑶记⑵中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．下载本文