第19题 解三角形

一、原题呈现

【原题】记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点

D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．

（1）证明：BD b =；

（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．

解法一：（1）由sin sin BD ABC a C ∠=及正弦定理得2

sin sin a C ac b BD b ABC b b ====∠

（2）由余弦定理得

2

2222223cos 2223

b c b b c a A b c b c ⎛⎫

+- ⎪+-⎝⎭==

⨯⨯⨯⨯整理得22211203a c b +-=，即2211

203

a c ac +-

=， 所以2

33

c a c a ==

或， 当3c a =时，由2b ac =

得b =，

此时)

1a b a c +=<，不满足题意，

当23c a =

时，由2b ac =

得3

b a =， 所以2227cos 212a

c b ABC ac +-∠==

解法二：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =

∠，由正弦定理知：sin sin c b

C ABC

=∠，即

sin sin C c

ABC b

=∠，

∴ac

BD b

=

，又2b ac =， ∴BD b =，得证．

（2）由题意知：2,,33

b b BD b AD DC ==

=， ∴222

2

2

241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠=

=⋅，同理2222

2

21099cos 2233

b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠

=-∠， ∴2222

22

1310994233

b b

c a b b --

=，整理得222

1123b a c +=，又2b ac =， ∴422

21123b b a a +=，整理得4224

61130a a b b -+=，解得2213a b =或2232

a b =，

由余弦定理知：2222

24cos 232a c b a ABC ac b

+-∠==-，

当2213

a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当223

2a b =时，7cos 12ABC ∠=；

综上，7

cos 12

ABC ∠=

． 【就题论题】本题第（1）问比较简单，利用正弦定理进行边角代换，即可得出结论．第（2）问求解的关键是利用正弦定理、余弦定理整理出,a b 的关系式，再利用余弦定理求cos ABC ∠．

二、考题揭秘

【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查数算与逻辑推理的核心素养．难度：中等偏易

【考情分析】新教材高考，解三角形是必考题，一般以解答题形式考查，考查主要

（1）正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．

（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．

（3）应用正弦、余弦定理的解题技巧

①求边：利用公式a＝

sin

sin

b A

B

，b＝

sin

sin

a B

A

，c＝

sin

sin

a C

A

或其他相应变形公式求

解．

②求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝

sin

a B

b

，sin B＝

sin

b A

a

，sin C

＝

sin

c A

a

或其他相应变形公式求解．

③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．

④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．

（4）判定三角形形状的途径：

①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．

②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．（5）三角形面积公式的应用原则

①对于面积公式S＝ɑb sin C＝ɑc sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的转化．

（6）应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：

①根据题意，画出示意图，并标出条件；

②将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；

③检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．

【易错警示】

（1）已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．

（2）等式两边都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．

三、以例及类

（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 解答题

(2021福建省厦门市高三三模)

1. 锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足

4sin s sin sin in C B a B C +=． （1）求A ；

（2）若4b =，ABC 的面积为D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求

AD ．

【答案】（1）3

A π

=；（2）AD =

. 【解析】

【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角并化简得到sin A =，再结合锐角三角形得到角A 即可；

（2）先利用面积公式求得c 边，再结合角平分线，利用BAD CAD BAC S S S +=△△△和面积公式，列式计算求得AD 即可.

【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b c

A B C

==，

4sin s sin sin in C B a B C +=，

sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，即

sin 4sin sin sin B C A B C =

又因为sin sin 0B C ≠，所以4sin A =，即sin A =， 又因为ABC 为锐角三角形，所以3

A π

=；

（2）由1sin 2

ABC

S

bc A ==14sin 23c π

⨯⨯=3c =，

因为BAC ∠的角平分线为AD ，所以126

BAD CAD BAC π

∠∠∠===， 又因为BAD CAD BAC S S S +=△△△，

所以11sin sin 2626c AD b AD ππ

⋅+⋅=11

3sin 4sin 2626

AD AD ππ

⨯⋅+⨯⋅=，

所以

74AD =7

AD =． 【点睛】思路点睛：

一般地，解有关三角形的题目时，常运用正弦定理（或余弦定理）进行边角互化，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.

（2021福建省福州市高三5月二模） 2.

ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6

b A a B π=-.

（1）求B ；

（2）若D 是ABC 的外接圆的劣弧AC 上一点，且3a =，4c =，1AD =，求

CD .

【答案】（1）3

π

；（2）3. 【解析】

【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解； (2)利用余弦定理求出边b ，借助圆内接四边形性质求得ADC ∠，最后又由余弦定理建立方程得解.

【详解】（1）ABC 中，由正弦定理有

sin cos()sin sin sin cos()66

b A a B B A A B ππ

=-⇒=-，

从而1

sin sin sin sin )2

B A A B B =+，化简得，

1sin sin cos 22

A B A B =，

因为0A π<<，即sin 0A ≠，所以tan B =0B π<<，故3

B π

=.

（2）在ABC 中，由余弦定理知，

2222cos b a c ac B =+-22

34234cos

133

π

=+-⨯⨯⋅=，即 b =

又由于A ，B ，C ，D 四点共圆，从而23

ADC B π

π∠=-=， 在ADC 中，设DC x =，由余弦定理得，

2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，

即得22

213121cos

3

x x π

=+-⋅⋅⋅，化简得，2120x x +-=，解得3x =或 4x =-（舍去）， 故3DC =.

【点睛】思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. （广东省汕头市高三二模）

3. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A 地接到两份外卖单，他须分别到B 地､D 地取餐，再将两份外卖一起送到C 地，运餐过程不返回A 地.A ，B ，C ，D 各地的示意图如图所示，

2km BD =，AD =，120ABD ∠=︒，45DCB ∠=︒，30CDB ∠=︒，假设小李到达B ､D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：

AB BD DB BC →→→)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：

1.414≈ 1.732≈)

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】根据正弦定理先求解出,BC CD 的值，再根据余弦定理求解出AB 的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.

【详解】解：在BCD △中，由正弦定理可知：sin sin BC BD BDC BCD

=∠∠，

即：2sin 30sin 45BC =︒︒，解得：BC =

由sin sin CD BD CBD BCD =∠∠，即：2sin105sin 45CD =︒︒，解得：1CD = (由余弦定理可得22cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，

解得=1CD +或者1CD ，

,CBD DCB CD BD ∠>∠∴>

=1CD ∴)

在ABD △中，由余弦定理可知：222

cos 2AB BD AD ABD AB BD

即2412cos1204AB AB

+-︒=，解得2AB =或4AB =-(舍)；

①若送餐路径为：AB BD DB BC →→→，则总路程=67.414km +≈

①若送餐路径为：AD DB BC →→，则总路程=2 6.878km ≈

①若送餐路径为：AB BD DC →→，则总路程=221 6.732km ++≈

①若送餐路径为：AD DB BD DC →→→，则总路程

=

22110.196km ++≈

所以最短送餐路径为AB BD DC →→， 此路径的送餐时间为：6.7326020.19620

⨯=(分钟). 【点睛】关键点点睛：本题是实际问题中解三角形的应用，解答问题的关键在于通过正余弦定理求解出每一段未知的线段长度，然后再去分析每一条路径对应的总路程并确定出最短路径以及送餐时间.

（2021广东省广州市天河区高三三模）

4. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知22cos c b a B -=．

（1）求角A 的值；

（2）若ABC

的面积S c =

=sin sin B C 的值 【答案】（1）

3

π；（2）12． 【解析】

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A 角；

（2）由三角形面积求得b ，由余弦定理求得a ，然后用正弦定理可得sin sin B C ．

【详解】（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B -=， sin 2sin()2sin cos 2sin()2sin cos 2(sin cos cos sin )B A B A B A B A B A B A B π=---=+-=+2sin cos 2cos sin A B A B -=，

又B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以()1cos ,02A A π=

∈，3A π=； （2

）11sin sin 223ABC S bc A b π===△

，b =

2222212cos 292

a b c bc A =+-=+-⨯=，3a =，

又3sin sin sin sin 3

a b c A B C π==== sin 1B =，1sin 2C = 所以1sin sin 2

B C =．

【点睛】方法点睛：正弦定理、余弦定理、三角形面积是解三角形的常用公式，解题方法是利用正弦定理进行边角转换，化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形求角，然后再根据问题先用相应公式计算．

（2021河北省张家口市高三三模）

5. 在四边形ABCD 中，,1,2AB CD AB AC BD ===，且

sin sin DBC DCB ∠∠=.

（1）求AD 的长；

（2）求ABC 的面积.

【答案】（1）AD =（2 【解析】

【分析】（1）在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD ==设.AD x = 在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理，列方程22144724x x x x

+-+-=-，解得AD ；

（2）在ACD △中，由222AD CD AC +=，得到AD CD ⊥，直接利用面积公式求出ABC 的面积.

【详解】（1）因为在四边形ABCD 中，AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =

在ABD △和ACD △中，由1,AB AC ==22144724x x x x

+-+-=-， 所以()()

2221447.x x +-=-+-

解得x =AD =.

（2）在ACD △中，2AD AC CD ===，

得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，

所以12ABC S AB AD =⋅=.

所以ABC 【点睛】（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．

（2）平面四边形问题通常转化为解三角形来处理.

（2021河北省唐山市高三三模）

6. 如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π

∠=，点E 是AD 上一点，

2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.

（1）求BEC ∠的大小；

（2）若BCE 的面积S 为BC .

【答案】（1）∠BEC ＝

3π；（2）BC = 【解析】

【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2

BEC ∠=，故可求其大小. （2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.

【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠

222222

2•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BC BC

+-+-⋅⋅＝＋＝

∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3

BEC π∠=． （2）设AEB α∠＝，则23DEC πα∠=

-，其中203πα<<， ∵DE ＝2AE ＝4， ∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33

CE DE ππαα=--=， ∵△BCE

的面积1sin 23cos cos()3

S BE CE παα=⋅⋅=-

==

2sin(2)16

πα==--，

2sin(21)6α=--， ∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝

⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=， 此时24cos BE α==，482cos()3

CE πα==-， ∴在△BCE 中，由余弦定理得：

2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，

∴BC =

（2021湖北省襄阳市高三下学期5月第二次模拟）

7. 如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，已

知1c =，12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+

，cos 7

BAD ∠=．

（1）求b 边的长度；

（2）求ABC 的面积．

【答案】（1）4b =；（2）

【解析】

【分析】（1）角化边即可求解；

（2）设,AB AC θ=，根据cos 7

BAD ∠=列方程即可求解 【详解】（1）由条件12sin cos sin sin sin 4

c A B a A b B b C =-+， 可得：22

12cos 4ca B a b bc =-+，即222221224a c b ca a b bc ac +-⋅=-+， 化简可得：4c b =，因为1c =，所以4b =

（2）因为D 为中点，

所以()

12AD AB AC =+， 设,AB AC θ=，由()()()

22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b c b θ=+=++⋅=++⋅ 得17||2

AD =， 又()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+=，

所以1cos 7||||17AB AD BAD AB AD ⋅=∠==⋅ 化简可得：228cos 8cos 110θθ+-=

解得1cos 2

θ=或11cos 14θ=-， 又14cos 0θ+>，

所以1cos 2θ=，则sin θ==，

所以ABC 的面积为11sin 14222

bc A =⨯⨯⨯=【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.

（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）

8. 平面凸四边形ABCD 中，9034BAD BCD AD AB ∠=∠=︒==，.

（1）若45ABC ∠=︒，求CD ；

（2）若BC =AC .

【答案】（1）

2；（2） 【解析】

【分析】（1）先利用勾股定理求出BD ，利用差角公式求出sin DBC ∠，再利用直角三角形性质可求CD ；

（2）先利用直角三角形及BC 求出sin cos 55

CBD CBD ∠=

∠=，再利用和角公式求出cos ABC ∠，结合余弦定理可得AC .

【详解】（1）连接BD ，在Rt BAD 中，由4390AB AD BAD ==∠=︒，. 得5BD =，①34sin cos 55

ABD ABD ∠=∠=，. ∵45ABC ∠=︒，∴45DBC ABC ∠=︒-∠，

①43sin sin 45cos cos 45sin 252510DBC ABD ABD ∠=︒⋅∠-︒⋅∠=⨯=-，

在Rt BCD 中，由90BCD ∠=︒知：sin 5102

CD BD DBC =⋅∠=⨯=.

（2）连接AC ，由（1）知5BD =，在Rt ABD △中易知

34sin cos 55

ABD ABD ∠=∠=，.

在Rt BCD 中，由5BC BD ==得CD =，

易知sin cos CBD CBD ∠=∠= ①()cos cos cos cos sin sin ABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD ∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠

4355=-=. 在ABC 中由余弦定理得：

(2

22222cos 424205

AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯= ①

AC =

（2021湖南省衡阳市高三下学期毕业班联考）

9. 如图，ABC 中，1302

BD CD BAD =∠=︒，．

（1）若AB AC =，求sin DAC ∠；

（2）若AD BD =，求AC BC

的值． 【答案】（1）sin 1DAC ∠=；（2

）

【解析】

【分析】（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得sin DAC ∠.

（2）设AD x =，求得3BC x =

，利用余弦定理列方程，求得AC =，从而求得AC BC

. 【详解】（1）设BC 边上的高为h ，11sin 2211sin 22BAD CAD BD h AB AD BAD S

S CD h AC AD CAD ⋅⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅⋅∠， 而1sin 302

BD CD AB AC BAD ==∠=︒，，∴sin 1DAC ∠=. （2）设AD x =，则3060AD BD x BAD ABD ADC ==∠=∠=︒∠=︒，，2,3CD x BC x ==，在ADC 中，由余弦定理得：

()()2

222222cos603AC x x x

x x =+-⋅

︒=，

∴AC =

，∴3

3AC BC x ==. （2021湖南省株洲市高三下学期质量检测）

10. 如图所示，在四边形ABCD

中，tan tan BAD BAC ∠=-∠=

（1）求DAC ∠的大小；

（2）若2DC =，求ADC 周长的最大值.

【答案】（1）

3π；（2）6. 【解析】

【分析】（1）根据DAC BAD BAC ∠=∠-∠，由()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，利用两角差的正切公式求解；

（2

）利用正弦定理得到,in AD AC ACD ADC =∠=∠，则ADC 的

周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，再根据23

ACD ADC π∠+∠=，利用两角和与差的三角函数转化为22sin AD AC ACD π⎛⎫++=+∠+ ⎪⎝

⎭，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为DAC BAD BAC ∠=∠-∠

，且

tan tan 2

BAD BAC ∠=-∠= 所以()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，

tan tan 1tan BAD BAC BAD BAC

∠-∠=+∠⋅∠，

-== 因为()0,DAC π∠∈， 所以3DAC π

∠=；

（2

）由正弦定理得sin si n s in DAC A DC A CD ADC D AC ∠=∠==∠

所以,in 33

AD AC ACD ADC =∠=∠，

所以ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，

22sin s n 33i ACD ACD π⎛⎫⎛⎫=+∠+-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

32sin cos 223ACD ACD ⎛⎫=+

∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭， 2n si ACD π⎛⎫=+∠+ ⎪⎝

⎭， 因为203

ACD π<∠<

， 所以5666ACD πππ<∠+<， 所以1sin 126ACD π⎛⎫<∠+≤ ⎪⎝

⎭， 所以ADC 的周长的最大值为2416+⨯=.

【点睛】方法点睛：三角形周长问题，一般地是利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为ABC 外接圆半径)，将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π，然后利用三角函数的性质求解.

（2021江苏省扬州中学高三3月调研）

11. 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π

∠=，DPA θ∠=．

（1）用θ表示直道DP 的长度；

（2）计划在ADP △区域内种植观赏植物，在CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万

元，新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．

【答案】（1）1sin DP θ=，566ππθ<<；（2

） 【解析】

【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得1sin DP θ=，566

ππθ<<， （2）分别求出APD S △，ADC S △，可得DPC S △，设三项费用之和为f

，可得(

)1cos 12sin 2

f θθθ+=+，566ππθ<<，利用导数求出最值. 【详解】解：（1）过点D 作DD AB '⊥，垂足为D ，

在Rt ABC 中，

∵AB BC ⊥，6BAC π∠=

，3AB =，

∴BC =

在Rt ADD '中，

∵1AD '=

，DD '=2AD =，

∴sin DAD '∠=

∴3DAD π'∠=

， ∵6BAC π∠=

， ∴6

DAP π

∠=， 在ADP △中，由正弦定理可得sin sin 6

AD DP πθ=， ∴1sin DP θ=，566

ππθ<<， （2）在ADP △中，由正弦定理可得sin sin AD AP ADP θ=∠，

∴

5

2sin

6

sin

AP

π

θ

θ

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

=

，

∴

5

sin

16

sin

2sin

APD

S AP PD

πθ

θ

θ

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭=⋅⋅=

△

，

又

11

sin22

222 ADC

S AD DC ADC

=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△

∴

5

sin

6

sin

DPC ADC APD

S S S

πθ

θ

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭=-=

△△△

，

设三项费用之和为f，

则(

)

55

sin sin

1 66

211 sin sin sin

f

πθπθ

θ

θ

θθ

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

--

⎪ ⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎪

=⨯+⨯+⨯

⎪

⎪

⎝⎭

5

sin

1

6

sin sin

πθ

θθ

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

=+

1

cos1

2

sin

θ

θ

+

=+，

5

66

ππ

θ

<<，

∴()

2

1

cos

2

sin

f

θ

θ

θ

-

=

'

-

，令()0

fθ

'=，解得

2

3

π

θ=，

当

2

,

63

ππ

θ⎛⎫

∈ ⎪

⎝⎭

时，()0

fθ

'<，函数f单调递减，

当

25

,

36

ππ

θ⎛⎫

∈ ⎪

⎝⎭

时，()0

fθ

'>，函数f单调递增，

∴(

)

min

2

3

f f

π

θ⎛⎫

==

⎪

⎝⎭

（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）

12. 已知ABC中，D是AC边的中点，且①3

BA=；

①BC=

①BD=

①60A ∠=︒.

（1）求AC 的长；

（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长.

上面问题的条件有多余，现请你在①，①，①，①中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.

【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）

5. 【解析】

【分析】若删去①①，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删①，在ABD △中和ABC 中分别利用余弦定理建立关系可求解，再利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE

的长；删①，在ABD △中，由余弦定理有2cos

ADB ∠=，在BCD △中，cos

CDB ∠=

，由cos cos ADB CDB ∠=-∠求得x ，利用ABE ACE ABC S S S +=可

求AE 的长. 【详解】删①.

（1）设,AD CD x BA y ===，

在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=，

在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，

联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==；

（2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=

得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得5

m =； 删①，

则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅，

即2796cos60AD AD =+-⋅，解得1AD =或2AD =，

则2AC =或4，有2解，不满足题意；

删①，

在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，

即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意； 删①.

（1）设AD CD x ==，

在ABD △中，由余弦定理有22222cos

2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅， 同理，在BCD △中，cos

CDB ∠=，

cos cos ADB CDB ∠∠=-，2

=1x =，2AC ∴=； （2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=

得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得m =. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是熟练应用余弦定理建立等量关系求解. （2021江苏省苏州市高三下学期三模）

13. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11(0)k k a b c

+=>．

（1）若2k C π==，求A 的值；

（2）若k =2，求当C 最大时ABC 的形状．

【答案】（1）4A π=；（2）正三角形. 【解析】

【分析】（1）由11a b c +=，结合2C π=，利用正弦定理化简得到

c 1o 1sin s A A +=24A A π⎛⎫+= ⎪⎝

⎭求解；

（2）由112a b c +=，得到2ab c a b =+，由余弦定理得到222

cos 2a b c C ab

+-=()2142a b ab b a a b ⎡⎤=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦

，再利用基本不等式求解. 【详解】（1

）11a b +=

sin 11sin si 2n 2A A π⎛⎫- ⎪⎝==⎭

+

即c 1o 1sin s A

A +=

sin cos cos A A A A +=⋅，

24A A π⎛⎫+= ⎪⎝

⎭， 所以24A A π

+=或24

A A ππ+=-， 解得4

A π=； （2）112a b c

+=，即2a b ab c +=， 所以2ab c a b =+， 由余弦定理得2

222222cos 22ab a b a b c a b C ab ab ⎛⎫+- ⎪+-+⎝⎭==， ()()22141412222a b ab ab b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+-≥-=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦

， 当且仅当a b =时，等号成立，此时3C π

=，ABC 是正三角形．

【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

（2021山东省泰安肥城市高三三模）

14. 已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的

面积为S

2224)S c b =+-．

（1）求C ；

（2）求bc a

的取值范围． 【答案】（1）3C π=

；（2

bc a

<< 【解析】 【分析】（1

)2224S c b =+-

)

2224a b c S +-=，根据余弦

定理以及三角形的面积公式可得1cos 4sin 2

C ab C =⨯，化简整理即可求出结果；

（2）根据正弦定理把bc a

变形为2sin 2sin B A

，进而得到23sin A A

π⎛⎫- ⎪⎝⎭然后以函数的思想根据角A 的范围求值域即可.

【详解】解:（1

)2224S c b =-

)

2224a b c S +-=

∴1cos 4sin 2

C ab C =⨯

sin C C = ∵cos 0C ≠

，∴tan C =

又(0,)C π∈ ∴3C π

=．

（2

）

ABC ∆的外接圆半径为1 ∴2sin c C

=

，即2sin c C =

又

sin sin sin a b c A B C ==， ∴2sin a A =，2sin b B =

∴bc a

=

=23sin sin A B A A

π⎛⎫- ⎪⎝⎭==

1

cos sin

22

sin

A A

A

⎫

+⎪

⎝⎭

=

3

2tan A

=+

又因为ABC

∆是锐角三角形

∴

2

2

A

B

π

π

⎧

<<

⎪⎪

⎨

⎪<<

⎪⎩

，即

2

2

32

A

A

π

π

π

⎧

<<

⎪⎪

⎨

⎪<-<

⎪⎩

，

∴

62

A

ππ

<<

∴tan

3

>

A

，

1

tan A

<<

3

2tan2

A

<<，

∴bc

a

<<

【点睛】解三角形中的求值域的问题，有两种解题思路：

（1）找到边与边之间的关系，利用均值不等式求出最值，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来确定范围；

（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，以函数的思想求值域，注意转化的角的范围是关键.

（2021山东省潍坊市高三三模）

15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC

∠，ABM的面积是BCM面积的2倍．

（1）求

sin

sin

C

A

；

（2）若

1

cos

4

B=，2

b=，求ABC的面积．

【答案】（1）2；（2

）

4

．

【解析】

【分析】（1）由2

ABM BCM

S S

=

△△，ABM MBC

∠=∠，得到2

AB BC

=，由正弦定理得

sin

2

sin

C AB

A BC

==；

（2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =

的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =

△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2

ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2

BCM BC S BM MBC =⋅∠△． 因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，

所以2AB BC =． 由正弦定理得

sin 2sin C AB A BC == （2）由sin 2sin C A

=得2c a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 又因为1cos 4

B =

，2b =， 所以2221444a a a +-⨯4=， 所以1a =，从而2c =． 又因为1cos 4B =

且0πB <<，

所以sin 4

B =．

因此 11sin 122244ABC a S c B =

=⨯⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.下载本文