注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共21题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 

1．（2020春•崇川区期末）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（　　）

A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣3

2．（2020春•如皋市期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0

3．（2020•吴中区二模）一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根    

C．没有实数根 D．无法判断

4．（2020•海安市模拟）把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（　　）

A． B．

C． D．

5．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零

6．（2019秋•宿豫区期末）某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根    

C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

7．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是　   　．

8．（2020春•如皋市期末）已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为　   　．

9．（2020•仪征市模拟）如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是　   　．

11．（2020•海门市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　   　．

12．（2020•宝应县一模）关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　   　．

13．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是　   　．

14．（2019秋•邗江区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是　   　．

三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（2017秋•卢龙县期末）解方程：

（1）（y+2）2＝（3y﹣1）2

（2）x2+4x+2＝0（配方法）

16．（2020春•如皋市期末）解下列方程：

（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；

（2）x2﹣4x﹣3＝0．

17．（2019秋•海州区校级期末）若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．

（1）求b的值；

（2）当b取正数时，求此时方程的根．

18．（2019秋•宜兴市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．

19．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．

20．（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．

（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）指出A与C哪个大？说明理由．

21．（2019春•江都区期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．

【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．

【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．

同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．

同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．

…

（2）请你也提出一个合理的猜想：　   　

【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．

（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．

答案解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 

1．（2020春•崇川区期末）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（　　）

A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣3

【分析】利用因式分解法求解可得．

【解析】∵x2﹣3x＝0，

∴x（x﹣3）＝0，

则x＝0或x﹣3＝0，

解得x＝0或x＝3，

故选：B．

2．（2020春•如皋市期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0

【分析】若方程有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，可据此判断出正确的选项．

【解析】A、△＝36﹣4×9＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误；

B、△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，原方程没有实数根，故B错误；

C、△＝9﹣4×5＝﹣11＜0，原方程没有实数根，故C错误；

D、△＝81﹣4×2×5＝41＞0，原方程有两个不相等的实数根，故D正确．

故选：D．

3．（2020•吴中区二模）一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根    

C．没有实数根 D．无法判断

【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．

【解析】根据题意得：△＝（﹣2）2﹣4×20，

即该方程有两个相等的实数根，

故选：B．

4．（2020•海安市模拟）把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（　　）

A． B．

C． D．

【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．

【解析】x2﹣x﹣5＝0，

x2﹣3x＝15，

x2﹣3x15，

（x）2．

故选：C．

5．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零

【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．

【解析】∵﹣x2+4x﹣2

＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2

＝﹣（x﹣2）2+2，

又∵（x﹣2）2≥0，

∴（x﹣2）2≤0，

∴﹣（x﹣2）2+2≤2，

∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．

故选：B．

6．（2019秋•宿豫区期末）某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根    

C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根

【分析】利用题意得x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，则可求出c＝9，所以原方程为x2﹣8x+9＝0，然后计算判别式的值判断方程根的情况．

【解析】x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，

1+8﹣c＝0，解得c＝9，

所以原方程为x2﹣8x+9＝0，

因为△＝（﹣8）2﹣4×9＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

7．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是　x1＝﹣2，x2＝1　．

【分析】利用因式分解法解方程．

【解析】（x+2）（x﹣1）＝0，

x+2＝0或x﹣1＝0，

所以x1＝﹣2，x2＝1．

故答案为x1＝﹣2，x2＝1．

8．（2020春•如皋市期末）已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为　（x﹣3）2＝11　．

【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．

【解析】方程x2﹣6x﹣2＝0，

移项得：x2﹣6x＝2，

配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．

故答案为：（x﹣3）2＝11．

9．（2020•仪征市模拟）如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是　2　．

【解析】根据题意得，解得，

所以方程为x2﹣2x﹣3＝0，

所以4a+b＝4×1﹣2＝2．

故答案为2．

10．（2020春•广陵区校级期中）当x＝　1　时，代数式x2﹣x与x﹣1的值相等．

【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．

【解析】依题意得：x2﹣x＝x﹣1，

∴x2﹣2x+1＝0，

即（x﹣1）2＝0，

解得：x＝1．

故答案为：1．

11．（2020•海门市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m　．

【分析】利用判别式的意义得到△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，然后解不等式即可．

【解析】根据题意得△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，

解得m．

故答案为m．

12．（2020•宝应县一模）关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　k≥2　．

【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的范围．注意二次根式是非负数．

【解析】∵关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（）2﹣4×1×（﹣1）＞0且k﹣2≥0，

解得：k≥2．

故答案为：k≥2．

13．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是　x或x　．

【分析】分2＜2x﹣1和2x﹣1≤2两种情况，分别列出方程，解之可得．

【解析】①若2＜2x﹣1，即x＞1.5时，

x+1＝2x，

解得x＝1（舍）；

②若2x﹣1≤2，即x≤1.5时，

x（2x﹣1）＝x+1，

解得x或x，

故答案为：x或x．

14．（2019秋•邗江区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是　x＝﹣7或x＝4　．

【分析】将方程变形为a（﹣x﹣2+m）2+b＝0，将﹣x﹣2看做原方程中的x可得答案．

【解析】∵方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，

∴方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，

解得x＝﹣7或x＝4，

故答案为：x＝﹣7或x＝4．

三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（2017秋•卢龙县期末）解方程：

（1）（y+2）2＝（3y﹣1）2

（2）x2+4x+2＝0（配方法）

【分析】（1）利用直接开平方法解方程；

（2）利用配方法解方程．

【解析】（1）y+2＝±（3y﹣1）

y+2＝3y﹣1，y+2＝﹣（3y﹣1）

y1，y2；

（2）x2+4x+4＝2

（x+2）2＝2

x+2

x1＝﹣2，x2＝﹣2．

16．（2020春•如皋市期末）解下列方程：

（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；

（2）x2﹣4x﹣3＝0．

【分析】（1）利用因式分解法求解可得；

（2）利用配方法求解可得．

【解析】（1）∵x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0，

∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，

则2x﹣1＝0或x﹣1＝0，

解得x＝0.5或x＝1；

（2）∵x2﹣4x＝3，

∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，

∴x﹣2，

∴x＝2．

17．（2019秋•海州区校级期末）若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．

（1）求b的值；

（2）当b取正数时，求此时方程的根．

【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．

（2）由（1）可知b＝2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．

【解析】（1）由题意可知：△＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，

解得：b＝2或b＝﹣10．

（2）当b＝2时，

此时x2﹣4x+4＝0，

∴x1＝x2＝2

18．（2019秋•宜兴市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．

【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．

（2）根据因式分解法求出方程的两根，然后列出不等式即可求出答案．

【解析】（1）由题意，得△＝（2k+1）2﹣8k

＝（2k﹣1）2

∵（2k﹣1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）由求根公式，得，x2＝﹣k．

∵方程有一个根是正数，

∴﹣k＞0．

∴k＜0

19．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；

（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，

解得：x1＝k，x2＝k+1．

当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，

解得：k＝12；

当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，

解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．

答：k的值为12或3．

20．（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．

（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）指出A与C哪个大？说明理由．

【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；

（2）把C﹣A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答．

【解答】（1）证明：B﹣A＝（a2﹣3a+7）﹣（a+2）

＝a2﹣3a+7﹣a﹣2

＝a2﹣4a+5

＝（a2﹣4a+4）+1

＝（a﹣2）2+1，

∵（a﹣2）2≥0，

∴（a﹣2）2+1≥1，

∴B﹣A＞0，

∴B＞A；

（2）解：C﹣A＝（a2+2a﹣18）﹣（a+2）

＝a2+2a﹣18﹣a﹣2

＝a2+a﹣20

＝（a+5）（a﹣4）

∵a＞2，

∴a+5＞0，

当2＜a＜4时，a﹣4＜0，

∴C﹣A＜0，即A＞C，

当a＞4时，a﹣4＞0，

∴C﹣A＞0，即A＜C

当a＝4时，C﹣A＝0，即A＝C．

21．（2019春•江都区期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．

【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．

【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．

同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．

同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．

…

（2）请你也提出一个合理的猜想：　当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）　

【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．

（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．

【分析】（1）通过解方程组求得a、b的值．

（2）可以根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象性质进行猜想；

（3）举出反例．

【解析】（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；

当x＝1时，a+b+3＝4．

可得方程组．

解得：．

当x＝2时，ax2+bx+3＝3；

当x＝3时，ax2+bx+3＝0．

故答案是：3；0；

（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；

故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；

（3）甲的说法不正确．

举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．

乙的说法正确．

证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．

∵（x﹣1）2≥0．

∴﹣（x﹣1）2+4≤4．

∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．下载本文