一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．已知函数f（x，y）＝ln（y＋|xsiny|），则（ ）。
A．不存在，存在
B．存在，不存在
C．，均存在
D．，均不存在
2．函数的原函数为（ ）。
A．
B．
C．
D．
3．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A．a＜0，b＞0
B．a＞0，b＞0
C．a＝0，b＞0
D．a＝0，b＜0
4．已知an＜bn（n＝1，2，...），若级数与均收敛，则“级数绝对收敛”是“绝对收敛”的（ ）。
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．设A，B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则＝（ ）。
A．
B．
C．
D．
6．二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x1＋x3）2－4（x2－x3）2的规范形为（ ）。
A．y12＋y22
B．y12－y22
C．y12＋y22－4y32
D．y12＋y22－y32
7．已知向量，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2线性表示，则γ＝（ ）。
A．
B．
C．
D．
8．设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E（|X－EX|）＝（ ）。
A．1/e
B．1/2
C．2/e
D．1
9．设X1，X2，...，Xn为来自总体N（μ1，σ2）的简单随机样本，Y1，Y2，...，Yn为来自总体N（μ2，2σ2）的简单随机样本，且两样本相互，记，，则（ ）。
A．
B．
C．
D．
10．设X1，X2为来自总体N（μ，σ2）的简单随机样本，其中σ（σ＞0）是未知参数，记σ＝a|x1－x2|，若E（σ）＝σ，则a＝（ ）。
A．
B．
C．
D．
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。
11. ＝ .
13．＝ .
14．设某公司在t时刻的资产为f（t），从0时刻到t时刻的平均资产等于f（t）/t－t.假设f（t）连续且f（0）＝0，则f（t）＝ .
15．已知线性方程组有解，其中a，b为常数，若，则＝ .
16．设随机变量X与Y相互，且X～B（1，p），Y～B（2，p），p∈（0，1），则X＋Y与X－Y的相关系数为 .
三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）已知可导函数y＝y（x）满足aex＋y2＋y－ln（1＋x）cosy＋b＝0，且y（0）＝0，y′（0）＝0
（1）求a，b的值.
（2）判断x＝0是否为y（x）的极值点.
18．（本题满分12分）
已知平面区域
（1）求D的面积.
（2）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.
19．（本题满分12分）
已知平面区域D＝{（x，y）|（x－1）2＋y2≤1}，计算二重积分.
20．（本题满分12分）
设函数f（x）在[－a，a]上具有2阶连续倒数，证明：
（1）若f（x）＝0，则存在ξ∈（－a，a）使得；
（2）若f（x）在（－a，a）内取得极值，则存在η∈（－a，a），使得.
21．（本题满分12分）
设矩阵A满足对任意x1，x2，x3均有.
（1）求A。
（2）求可逆转矩阵P与对角矩阵Λ使得P－1AP＝Λ。
答案及解析
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．【答案】A
【解析】f（0，1）＝0，由偏导数的定义
，
因为，，所以不存在，
，所以存在.
2．【答案】D
【解析】当x≤0时，
当x＞0时，
原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处
，
所以C1＝1＋C2，令C2＝C，则C1＝1＋C，故
，
综合选项，令C＝0，则f（x）的一个原函数为.
3．【答案】C
【解析】微分方程y′′＋ay′＋by＝0的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0，
当Δ＝a2－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零，
若C1，C2都不为零，则微分方程的解在（－∞，＋∞）无界；
当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2，
若C2≠0，则微分方程的解在（－∞，＋∞）无界；
当Δ＝a2－4b＜0时，特征方程的根为，
则通解为，
此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，再由Δ＝a2－4b＜0，知b＞0.
4．【答案】A
【解析】由条件知为收敛的正项级数，进而绝对收敛；
设绝对收敛，则由|bn|＝|bn－an＋an|≤| bn－an |＋| an |与比较判别法，得绝对收敛；
设绝对收敛，则由|an|＝|an－bn＋bn|≤| bn－an |＋| bn |与比较判别法，得绝对收敛.
5．【答案】B
【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入（B）计算知
故（B）正确.
6．【答案】B
【解析】由已知f（x1，x2，x3）＝2x12－3x22－3x32＋2x1x2＋2x1x3＋8x2x3，
则其对应的矩阵
由，得A的特征值为3，－7，0
故选（B）.
7．【答案】D
【解析】设r＝x1α1＋x2α2＝y1β1＋y2β2则x1α1＋x2α2－y1β1－y2β2＝0
又
故（x1，x2，y1，y2）T＝c（－3，1，－1，1）T，c∈R
所以r＝－cβ1＋cβ2＝c（－1，－5，－8）T＝－c（1，5，8）T＝k（1，5，8）T，k∈R
8．【答案】C
【解析】法1：由题可知EX＝1，所以，
故
选（C）
法2：随机变量X服从参数为1泊松分布，即期望E（X）＝1，
选（C）.
9．【答案】D
【解析】X1，X2，...，Xn的样本方差
Y1．Y2，...，Yn的样本方差
则，两个样本相互
所以，选D．
10．【答案】A
【解析】由题可知X1－X2～N（0，2σ2）.令Y＝X1－X2，则Y的概率密度为
，
.由E（σ）＝σ，得.故选（A）.
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。
11.【答案】2/3
【解析】
12．【答案】π/3
【解析】由题意可得，则
，
又因为，可得c′（y）＝c，由f（1，1）＝π/4可得c＝π/2，
即，故.
13．＝ .
【答案】
【解析】令，.
即有s′′（x）－s（x）＝0，解得s（x）＝C1ex＋C2e－x.
又由s（0）＝1，s′（0）＝0有C1＋C2＝1，C1－C2＝0，解得C1＝C2＝1/2.
故.
14．【答案】2et－2t－2
【解析】由题意可得方程，即.两边同时对t求导得
f（t）＝f′（t）－2t，即f′（t）－f（t）＝2t.由一阶线性微分方程通解公式有：
又由于f（0）＝0，则C－2＝0，即C＝2.故f（t）＝2et－2t－2.
15．【答案】8
【解析】由已知r（A）＝r（A，b）≤3＜4，故|A，b|＝0
即
故.
16．【答案】－1/3
【解析】因为X～B（1，p），所以DX＝p（1－p）.
因为Y～B（2，p），所以DY＝2p（1－p）.
Cov（X＋Y，X－Y）＝Cov（X＋Y，X）－Cov（X＋Y，Y）
＝Cov（X，X）＋Cov（Y，X）－Cov（X，Y）－Cov（Y，Y）
＝DX－DY＝p（1－p）－2p（1－p）＝－p（1－p）
因为X与Y相互，所以
D（X＋Y）＝DX＋DY＝3p（1－p），D（X－Y）＝DX＋DY＝3p（1－p）
故.
三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）已知可导函数y＝y（x）满足aex＋y2＋y－ln（1＋x）cosy＋b＝0，且y（0）＝0，y′（0）＝0
（1）求a，b的值.
（2）判断x＝0是否为y（x）的极值点.
【解析】（1）在题设方程两边同时对x求导得
①
将x＝0，y＝0代入题设方程得a＋b＝0；
将x＝0，y＝0，y′（0）＝0代入①式得a－1＝0
综上：a＝1，b＝－1.
（2）在等式①两边再对x求导得
②
将x＝0，y＝0，y′（0）＝0代入②式得y′′（0）＝－a－1＝－2.
由于y′（0）＝0，y′′（0）＝－2，故x＝0是y（x）的极大值点.
18．（本题满分12分）
已知平面区域
（1）求D的面积.
（2）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.
【解析】（1）面积
（2）旋转体体积为
19．（本题满分12分）
已知平面区域D＝{（x，y）|（x－1）2＋y2≤1}，计算二重积分.
【解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进 行计算：
分别采用极坐标进行计算：
所以：
20．（本题满分12分）
设函数f（x）在[－a，a]上具有2阶连续倒数，证明：
（1）若f（x）＝0，则存在ξ∈（－a，a）使得；
（2）若f（x）在（－a，a）内取得极值，则存在η∈（－a，a），使得.
【解析】（1）证明：，η介于0与x之间，
则①
②
①＋②得：③
又f′′（x）在[η2，η1]上连续，则必有最大值M与最小值m，即m≤f′′（η1）≤M；m≤f′′（η2）≤M；
从而；
由介值定理得：存在ξ∈[η2，η1] ⊂（－a，a），有，代入③得：
f（a）＋f（－a）＝a2 f′′（ξ）即
（2）证明：设f（x）在x＝x0∈（－a，a）取极值，且f（x）在x＝x0可导，则f′（x0）＝0.
又，γ介于0与x之间，则
从而
又| f′′（x）|连续，设M＝max{| f′′（γ1）|，| f′′（γ2）|}，则
又x0∈（－a，a）则|f（a）－f（－a）|≤M（a2＋x02）≤2Ma2，则即存在η＝γ1或η＝γ2∈（－a，a），有.
21．（本题满分12分）
设矩阵A满足对任意x1，x2，x3均有.
（1）求A
（2）求可逆转矩阵P与对角矩阵A使得P－1AP＝Λ.
【解析】（1）因为对任意的x1，x2，x3均成立，所以
（2）
所以A的特征值为λ1＝－2，λ2＝2，λ3＝－1.
λ1＝－2时，，可得特征向量α1＝（0，－1，1）T；
λ2＝2时，，可得特征向量α2＝（4，3，1）T；
λ3＝－1时，，可得特征向量α3＝（1，0，－2）T；
令，.
（22）（本题满分12分）
设随机变量X的概率密度为，令Y＝ex.
（1）求X的分布函数
（2）求Y的概率密度
（3）Y的期望是否存在？
【解析】（1）
（2）【法1】分布函数法
FY（y）＝P{Y≤y}＝P{eX≤y}.
当y＜0时，FY（y）＝0；
当y≥0时，FY（y）＝P{X≤lny}＝F（lny）＝y/（1＋y）；
所以Y的概率密度为.
【法2】公式法
因为y＝ex在（－∞，＋∞）上单调且处处可导，当x∈（－∞，＋∞），y＞0，此时x＝lny，所以Y的概率密度为
（3），所以不存在.下载本文
