——易错归纳，各个击破

类型一　求长度时忽略三边关系

1．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为(　　)

A．12  B．9

C．12或9  D．9或7

2．学习了三角形的有关问题后，王老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另外两条边的长．”同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5”．你认为小明回答是否正确：________，理由是______________________．

3．某等腰三角形的一边长是5cm，周长是20cm，求此等腰三角形其他两边的长．

4．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．

类型二　当腰和底不明求角度时没有分类讨论

5．已知某等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为(　　)

A．50°  B．80°

C．50°或80°  D．40°或65°

6．某等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数为__________．

7．已知某等腰三角形的两个内角的度数之比为2∶1，求这个等腰三角形顶角的度数．

8．★若一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，试求该大等腰三角形顶角的度数(要求画出相应图形，并写出求解过程)．

类型三　三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论

9．某等腰三角形的一内角为80°，则此等腰三角形腰上的高与底边的夹角的度数是__________．

10．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于________________．

11．★某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，试求这个等腰三角形各内角的度数．

类型四　两点固定，另一点不固定，确定三角形个数时漏解

12．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为【易错7】(　　)

A．7个  B．8个

C．9个  D．10个

第12题图　第13题图

13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．【易错7】

参与解析

1．A

2．不正确　3，3，6不能构成三角形

3．解：当腰长为5cm时，底边长为20－5×2＝10(cm)．∵5＋5＝10，∴不能构成三角形．当底边长为5cm时，腰长为(20－5)×＝7.5(cm)．∵7.5＋5＞7.5，∴可以构成三角形，∴当5cm为底边时，其他两边的长为7.5cm，7.5cm.

4．解：设腰长为xcm.分两种情况进行讨论．(1)当腰长与腰长的一半的和是9cm时，x＋x＝9，解得x＝6，∴底边长为15－×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不能组成三角形．

(2)当腰长与腰长的一半的和是15cm时，x＋x＝15，解得x＝10，∴底边长为9－×10＝4(cm)．∵4＋10＞10，∴10cm，10cm，4cm能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm，底边长为4cm.

5．C　6.80°或20°

7．解：分两种情况进行讨论：(1)当底角与顶角的度数比是2∶1时，等腰三角形的顶角是180°×＝36°；(2)当顶角与底角的度数比是2∶1时，等腰三角形的顶角是180°×＝90°.即该等腰三角形的顶角为36°或90°.

8．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD.∵∠CDA＝180°－∠BDA＝180°－(180°－∠B－∠BAD)＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；

(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°.

(3)如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C.∵∠BDC＝180°－∠BDA＝2∠A，∴∠C＝2∠A，∴∠ABC＝2∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°；

(4)如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝x，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝2x.∵AB＝AC，∴∠DBC＝－x.∵CD＝BC，∴∠BDC＝∠DBC，∴2x＝－x，∴x＝.

综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或.

方法点拨：本题应使用方程思想，根据等腰三角形等边对等角，再结合三角形的内角和求角度．正确把握题意，归纳出四种情形，防止漏解是解题关键．

9．10°或40°　10.70°或20°

11．解：分两种情况进行讨论：(1)如图①，当△ABC(AB＝AC)为锐角三角形时，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠A＝70°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝55°；(2)如图②，当△ABC(AB＝AC)为钝角三角形时，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠DAB＝70°，∴∠BAC＝110°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠BAC)＝35°.综上所述，这个等腰三角形各内角的度数分别为70°，55°，55°或110°，35°，35°.

12．B　解析：符合条件的点数有8个，如图所示．

第12题图

13．5　解析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故符合条件的C点有5个．

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