集合与简易逻辑解答题-含答案_动视

集合与简易逻辑解答题-含答案

2025-09-30 01:35:10 责编:小OO

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第II 卷（非选择题）

1．；()()2:30q x x m +-≤, 若p 是q 的充分非必要条件，求实数m 的取值范围。

【解析】；()()2:30q x x m +-≤ 则可知2:13,:3P x q x m ≤≤-≤≤，又因为p 是q 的充分非必要条件，

考点：集合的关系

点评：主要是考查了集合的思想来判定充分条件的运用，属于基础题。

2．命题p ：函数2

()24f x x ax =++有零点；

命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数，若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围．

【答案】2a ≤-

【解析】

试题分析：根据题意，由于命题p ：函数2()24f x x ax =++有零点；则可知判别式241602,2a a a ∆=-≥∴≥≤-或，对于命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数，则可知3-2a>1，a<1,由于命题p q ∧是真命题，则说明p,q 都是真命题，则可知参数a 的范围是2a ≤-

考点：复合命题的真值

点评：主要是考查了方程的解以及函数单调性的运用，属于基础题。

3．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|||1B x x a =-<,U R =．

（1）当3a =时，求A B ；

（2）若U A C B ⊆，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）{}|34A B x x =≤<。（2）02a ≤≤。【解析】

试题分析：由题意得，{}

|31A x x x =≥≤-或，{}|11B x a x a =-<<+。 4分

（1）3a =时，{}|24B x x =<<， ∴{}|34A B x x =≤<。 8分

（2）因为U A C B ⊆，所以1311a a +≤-≥-且，解之得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是02a ≤≤。 14分

考点：简单不等式的解法，集合的运算，不等式组的解法。

点评：中档题，讨论集合的关系、进行集合的运算，往往需要首先明确集合中的元素是什么，确定集合的元素，往往成为考查的一个重点。本题较为典型。

4．已知a >0且1≠a ，命题P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减；命题Q ：曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于不同的两点.

如果“P\\/Q ”为真且“P/\\Q ”为假，求a 的取值范围.

【解析】试题分析：解：0a > 且1a ≠

∴命题P 为真时⇔01a <<

命题P 为假时⇔ 1a

命题Q 为真时⇔

()22340,a ∆=--

> 且0,1,a a >≠ 命题Q 且

1a ≠ 由“P Q ∨”为真且“P Q ∧”为假，知P 、Q 有且只有一个正确。

（1）：P 正确，且Q

不正确⇔

（2

）：P 不正确，且Q 正确⇔

综上，a

考点：命题

点评：两个命题ｐ、ｑ的且命题p q ∧为真，当且仅当ｐ和ｑ都为真；两个命题ｐ、ｑ的或命题p q ∨为假，当且仅当ｐ和ｑ都为假。

，若A B A

=⋂,求a 的取值范围【解析】

试题分析

：，

B A A B A ⊆∴=⋂, , 则⎩⎨⎧≤+-≥-3

222a a ，解得：}{10≤≤a a 考点：集合的运算，绝对值不等式、分式不等式的解法。

点评：中档题，首先通过解不等式，明确集合的元素，根据A B A =⋂，得到

B A A B A ⊆∴=⋂, ，建立a 的不等式组。

6．已知{}2230,A x x x x R =--≤∈，{}22240,B x x mx m x R =-+-≤∈

（1）若[]1,3A B =，求实数m 的值；

（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围。

【答案】（1）1323,m m m -=⎧=⎨+≥⎩；（2）5m >，或3m <-

【解析】

试题分析：{|13}A x x =-≤≤，{|22}B x m x m =-≤≤+

（1）∵[1,3]A B ⋂=，∴21323,m m m -=⎧=⎨+≥⎩

（2）{|2,2}R C B x x m x m =<->+或∵R A C B ⊆，∴23m ->，或21m +<- ∴5m >，或3m <-

考点：集合的概念，集合的运算，不等式的解法。

点评：常见题，本题综合考查集合的概念，集合的运算，不等式的解法，解题过程中，注意区间端点处的包含与否。

7．已知命题),0(012:,:2

2>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围. 【答案】110,030a a

a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩

. 【解析】

试题分析：{}

:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或 {}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或

而,p q A

⌝⇒∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩.

考点：本题主要考查充要条件的概念，命题及其否定，简单不等式（组）的解法。点评：中档题，涉及充要条件的问题，往往具有一定综合性，可从“定义”“等价关系”“集合关系法”入手加以判断。本题利用“集合关系法”。

8．已知命题p 命题q ：2(0,),40x mx x ∃∈+∞+-=.

若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围.

【解析】

[]1,3x ∈，11m ∴->，即0m <． 5分又由240mx x +-=，0x >，得 244(x x -= 由题意， 10分由“p 且q ”为真命题，知p 和q 都是真命题，所以，符合题意的m 的取值范围是 -14分考点：命题真值

点评：解决的关键是利用全程命题和特称命题的真值来得到参数的范围，属于基础题。

9．设全集R I =，已知集合}0152|{2≤--=x x x A ，集合)}2410(log |{22+-==x x y x B ，.

（Ⅰ）求B A ，)(B C A I ；

（Ⅱ）记集合)(B C A M I =，集合},51|{R a a x a x N ∈-≤≤-=，若M N M = ，求实数a 的取值范围．

【答案】(1) }43|{<≤-=x x B A ,}63|{)(≤≤-=x x B C A I

(2) ]2,(--∞ 【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）∵集合}0152|{2≤--=x x x A ，)}2410(log |{22+-==x x y x B

∴}53|{≤≤-=x x A ， }|{><=x x x B 或 2分 ∴}43|{<≤-=x x B A 4分 }63|{)(≤≤-=x x B C A I 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，}63|{)(≤≤-==x x B C A M I

又∵M N M = ，∴N M ⊆ 8分

又集合},51|{R a a x a x N ∈-≤≤-= ∴⎩⎨⎧≥--≤-6

531a a ，解得2-≤a 11分 ∴实数a 的取值范围是]2,(--∞ 12分

考点：集合的运算

点评：主要是考查了运用数轴法来准确表示集合的补集和并集的运算，属于基础题。

10．已知集合2{|230,}A x x x x R =--≤∈， 22{|240,}B x x mx m x R =-+-≤∈

（1）若[1,3]A B ⋂=，求实数m 的值；

（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围。

【答案】（1）m=3(2) 5m >，或3m <-

【解析】

试题分析：解：{|13}A x x =-≤≤，{|22}B x m x m =-≤≤+ 3分

（1）∵[1,3]A B ⋂=，∴21323,

m m m -=⎧=⎨+≥⎩ 3分（2）{|2,2}R C B x x m x m =<->+或 .1分

∵R A C B ⊆，∴23m ->，或21m +<- .2分

∴5m >，或3m <- 1分

考点：集合的关系和计算

点评：主要是对于含有参数的集合与已知集合的关系以及计算的求解，属于基础题。

11．B ＝{x || x －m |≥1}；命题p ：x ∈ A ，命题q ：x ∈ B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．

【答案】(,3][7,)-∞-⋃+∞

【解析】

试题分析：先化简集合A

化简集合B ，由|x －m |≥1，解得x ≥ m ＋1或x ≤ m －1.

所以B ＝{x | x ≥ m ＋1或x ≤ m －1}．

因为命题p 是命题q 的充分条件，所以A ⊆B.

所以m ＋1≤-2或m －1≥6，解得m ≤－3或m ≥7，

则实数m 的取值范围是(,3][7,)-∞-⋃+∞．

考点：充分条件的判断

点评：分条件的运用，解题时注意命题的充分必要条件与集合间的子集关系之间的联系，将命题间的关系转化为集合的子集关系来解题

12．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．

(1) 当m=2时，求A B ；

(2) 若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；

(3) 若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．

【答案】(1) A B={x|-1≤x ≤4} (2) m ＝3 (3) {m|m ＞5，或m ＜－3}

【解析】试题分析：(1) 当m=2时，B ＝{x|0≤x ≤4}．1分

∴A B={x|-1≤x ≤4}3分

(2) 由已知得A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|m －2≤x ≤m ＋2}．5分

∵A ∩B ＝[1,3]，∴2123

m m -=⎧⎨+≥⎩7分 ∴m ＝3. 8分

(3)∁R B ＝{x|x ＜m －2或x ＞m ＋2}，10分

∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3. 12分

所以实数m 的取值范围是{m|m ＞5，或m ＜－3}．14分

考点：集合的交并补运算即包含关系

点评：集合运算题常借助于数轴，将已知中的集合标注在数轴上，使其满足相应的包含关系，进而确定集合边界值的满足的条件

13，2{|(1)0,}B x x m x m x R =+--<∈．（1）若{|14}A

B x x =-<<，求实数m 的值；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围．

【答案】（1）4（2）[]1,5-

【解析】

试题分析：（1()(){}

2{|(1)0,}|10B x x m x m x R x x x m =+--<∈=+-<{|14}A B x x =-<<4m ∴= （2）[]1,5A B A B A m =∴⊆∴∈-

考点：集合的交集并集运算及解不等式

点评：求集合的交集并集常借助与数轴，将所求集合标注在数轴上使其满足已知条件，从而求得参数的范围

14．有下列两个命题：

命题p ：对x R ∀∈，210ax ax ++>恒成立。

命题q ：函数2()4f x x ax =-在[1,)+∞上单调递增。

若“p q ∨”为真命题，“p ⌝”也为真命题，求实数a 的取值范围。

【答案】[4,8]

(,0)a ∈-∞

【解析】

试题分析：（1）对x R ∀∈，210ax ax ++> 恒成立，当0a =时显然成立；

. 当0a ≠时，必有200440a a a a >⎧⇒<<⎨

∆=-<⎩，所以命题:04p a ≤< 函数2()4f x x ax =-在[1,)+∞上单调递增，所以命题:8q a ≤ 由已知：p 假q 真，所以[4,8](,0)a ∈-∞

考点：本题主要考查复合命题的概念，二次函数的图象和性质。

点评：典型题，涉及命题的题目，往往综合性较强。p q ∨是真命题，意味着p,q 至少有一是真命题，p ⌝是真命题，p 一定是假命题。 15．设命题p ：函数x y a =在R 上单调递增，命题q ：不等式210x ax -+>对于x R ∀∈恒成立，若“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求实数a 的取值范围

【答案】(][)+∞⋃-,21,2

【解析】

试题分析：∵命题p ：函数x y a =在R 上单调递增,∴a>1，

又命题q ：不等式210x ax -+>对于x R ∀∈恒成立

△=(-a)2-4<0， ∴-2(1)当p 真,q 假时,有⎩

⎨⎧≥-≤>2a 2a 1a 或，∴.2a ≥ (2) 当p 假,q 真时,有⎩⎨

⎧<<-≤2a 21a ，∴-2考点：本题考查了复合命题的真假

点评：“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，根据真假表知，P ，Q 之中一真一假，因此有两种情况，要分类讨论

16，命题

2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若“p q ⌝⇒⌝”为假命题，“q p ⌝⇒⌝

”为真命题，求实数a 的取值范围

【解析】