一、填空题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝ ．
2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为 ．
3．函数的定义域是 ．
4．已知函数f（x）＝ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝ ．
5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是 ．
6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝ ．
7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是 ．
8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是 ．
9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝ ．
10．已知函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是 ．
11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为 ．
12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是 ．
二、选择题（共4小题）.
13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（ ）
A．证明所有实数的平方都不是正数
B．证明平方是正数的实数有无限多个
C．至少找到一个实数，其平方是正数
D．至少找到一个实数，其平方不是正数
14．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝elnx，g（x）＝x
B．
C．f（x）＝x0，g（x）＝1
D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}
15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．（0，1]∪[3，+∞）
C． D．
三、解答题（共5小题）.
17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．
18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．
19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
20．（16分）给出关于函数f（x）的一些条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：
定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．
（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；
（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；
（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．
21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若，求函数g（x）的值域；
（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．
参
一、填空题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝ {1，2} ．
解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，
∴A∩B＝{1，2}．
故答案为：{1，2}．
2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为 {0} ．
解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，1，2}，
则图中阴影部分所表示的集合为：
∁U（A∪B）＝{0}．
故答案为：{0}．
3．函数的定义域是 （，1） ．
解：由题意得：，
解得：＜x＜1，
故答案为：（，1）．
4．已知函数f（x）＝ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝ 2 ．
解：函数f（x）＝ax﹣1的图象经过（1，1）点，
可得：1＝a﹣1，
解得：a＝2．
∴f（x）＝2x﹣1
那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1＝3时，x的值．
由2x﹣1＝3，解得：x＝2．
∴f﹣1（3）＝2．
故答案为2．
5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是 （1.5，2） ．
解：因为f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28，
所以f（1）＝9＞0，f（2）＝﹣4＜0，f（1.5）＝1＞0，
由零点的存在性定理可得，f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．
故答案为：（1.5，2）．
6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝ ﹣x﹣2﹣x+1 ．
解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）﹣2﹣x+1＝﹣x﹣2﹣x+1，
又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣2﹣x+1，
故答案为：﹣x﹣2﹣x+1．
7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是 （﹣，﹣） ．
解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，
则ax2+5x+b＝0的实数根是3和2，
由根与系数的关系，得3+2＝﹣，3×2＝，
解得a＝﹣1，b＝﹣6，
不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，
即6x2+5x+1＜0，
即（2x+1）（3x+1）＜0，
解得﹣＜x＜﹣，
∴不等式的解集是（﹣，﹣），
故答案为：（﹣，﹣）．
8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是 （1，2] ．
解：当x≤2时，y＝﹣x+8≥6，
要使函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），
则有x＞2时，函数y＝logax+5≥6，
∴，解得1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．
9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝ 1 ．
解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；
又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，
则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+0+（﹣1）+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝1，
故答案为：1．
10．已知函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是 8 ．
解：函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
令x﹣3＝1，即x＝4时，y＝1，故定点A（4，1），
又点A在一次函数的图象上，
所以有，即2m+n＝1，
所以＝，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是8．
故答案为：8．
11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为 （﹣∞，5） ．
解：由题意可得：|x﹣2|＞﹣|x+3|+m在R上恒成立，
即m＜|x﹣2|+|x+3|在R上恒成立，
只需m＜（|x﹣2|+|x+3|）min即可，
又|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，当且仅当x﹣2与x+3的符号异号取等号，
所以m＜5，
故答案为：（﹣∞，5）．
12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是 4 ．
解：若[t]＝1，则t∈[1，2），
若[t2]＝2，则t∈[），（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），
若[t3]＝3，则t∈[，），
若[t4]＝4，则t∈[，），
若[t5]＝5，则t∈[，），
其中，，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，
综上，当t＝4时，可以找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）上，
但当t＝5时，无法找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）∩[）上，
∴正整数n的最大值为4．
故答案为：4．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（ ）
A．证明所有实数的平方都不是正数
B．证明平方是正数的实数有无限多个
C．至少找到一个实数，其平方是正数
D．至少找到一个实数，其平方不是正数
解：因为“全称量词命题”的否定是“存在量词命题”，
所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：
“至少有一个实数的平方不是正数”．
故选：D．
14．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝elnx，g（x）＝x
B．
C．f（x）＝x0，g（x）＝1
D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}
解：A．f（x）的定义域是（0，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
B．f（x）＝x﹣2，（x≠﹣2），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
D．f（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，g（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，
两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选：D．
15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解：因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，
因为loga3＜logb3，①当a＞1，b＞1时，则有a＞b＞1；②当0＜a＜1，0＜b＜1时，则有0＜b＜a＜1，
所以“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的必要不充分条件．
故选：B．
16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．（0，1]∪[3，+∞）
C． D．
解：根据题意，由于m为正数，y＝（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，
函数y＝+m为增函数，
分2种情况讨论：
①、当0＜m≤1时，有≥1，
在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，
函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②、当m＞1时，有＜1，
y＝（mx﹣1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，
函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，
解得m≤0或m≥3，
又由m为正数，则m≥3，
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．
故选：B．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．
解：由已知可得A＝{﹣2，1}，
因为B⊆A，则B＝∅或{﹣2}或{1}或{﹣2，1}，
当B＝∅时，△＝a2﹣4（2a﹣2）＝a2﹣8a+8＜0，无解，
当B＝{﹣2}时，则，解得a＝4，
当B＝{1}时，则，无解，
当B＝{﹣2，1}时，则，解得a＝1，
综上，实数a的值为1或4．
18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．
【解答】证明：假设x+y是有理数，则x+y＝（m，n∈Z）．
∵x是有理数，
∴x＝（p，q∈Z），
∴x+y＝+y＝，
∴y＝﹣＝，
∵m，n，p，q∈Z，
∴mp∈Z，mq﹣pm∈Z，
∴y是有理数，与y是无理数相矛盾．
∴假设错误，x+y是无理数，得证．
19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
解：（1）因为幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，
所以（m﹣1）2＝1且m2﹣4m+2＞0，
解得m＝0．
（2）由（1）得f（x）＝x2，
当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为0，f（x）的最大值为4，
故A＝[0，4]，
因为g（x）＝2x﹣k在x∈[﹣1，2]上单调递增，
故g（x）的最小值为，g（x）的最大值为4﹣k，
故B＝，
因为命题p：x∈A，命题：q：x∈B，且命题p是q成立的必要条件，
故B⊆A，
所以，解得，
所以实数k的取值范围为．
20．（16分）给出关于函数f（x）的一些条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：
定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．
（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；
（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；
（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．
解：（1）若不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集，即f（x﹣1）≤0恒成立，
由f（﹣1）＝0，所以函数f（x）不可能单调递增或单调递减，
所以①②都不能选，只能选③④，此时f（x）＝0，不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集；
所以选③④；
（2）若不等式f（x﹣1）＞0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤；
（3）若选①③：
由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），
所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，
又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，
则f（x）在（﹣∞，0）上严格减函数，
由f（x﹣1）＞0，则x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，解得x＜0或1＜x＜2，
所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；
若选①④⑤：
由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，
又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，
则f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，
由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，
所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）；
若选②③：
由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），
所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，
又f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，
则f（x）在（0，+∞）上严格增函数，
由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜或x﹣1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，
所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（2，+∞）；
若选②④⑤：
由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，
又f（x）f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，
则f（x）在（0，+∞）上严格减函数，
由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，
所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）．
21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若，求函数g（x）的值域；
（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．
解：（1）∵f（x）＝f（﹣4﹣x），x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．
∴f（x）的对称轴为x＝﹣2，可得x1＝﹣3，x2＝﹣1（不妨设x1＜x2），
设f（x）＝a（x+3）（x+1）（a≠0），
由f（0）＝3a＝3，得a＝1，
∴f（x）＝x2+4x+3
（2）∵＝＝x++4，
当x＞0时，x++4≥2+4，当且仅当x＝时取等号，此时g（x）∈[2+4，+∞）；
当x＜0时，x++4≤﹣2+4，当且仅当x＝﹣时取等号，此时g（x）∈（﹣∞，﹣2+4]，
∴函数g（x）的值域是（﹣∞，﹣2+4]∪[2+4，+∞）．
（3）不等式g（2x）﹣k•2x≥0可化为2x++4﹣k•2x≥0，
即k≤1+3+4•恒成立，
令t＝，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，
令h（t）＝3t2+4t+1，t∈[，2]，图象开口向上对称轴为t＝﹣，
∴当t＝时，h（t）取得最小值为h（）＝，∴k≤．
∴实数k的取值范围为（﹣∞，]．下载本文
