一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i，a，b∈R，则a+bi=（ ）
A．2+3i ．﹣3+2i ．3﹣2i ．﹣3﹣2i
2． =（ ）
A．10 ．15 ．60 ．20
3．设空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），则•=（ ）
A．（2，4，3） ．（3，4，4） ．9 ．﹣5
4．函数y=的导数为（ ）
A． B． C． D．
5．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是（ ）
A．四个内角都大于90° ．四个内角中有一个大于90°
C．四个内角都小于90° ．四个内角中有一个小于90°
6．若=21，则n的值为（ ）
A．8 ．7 ．6 ．5
7．有6位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照，现老师排在最中间，学生从中间到两边都按身高从高到低排列，则所有的排列方法种数为（ ）
A．26 ． C． ．
8．在空间直角坐标系中， =（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则与，，所成角都相等的单位向量为（ ）
A．（1，1，1） ．（，，）
C．（，，） ．（，，）或（﹣，﹣，﹣）
9．在（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中，x4的系数为（ ）
A． + ． -
C． ++ ． --
10．在空间直角坐标系中，A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），若四点A，B，C，D共面，则（ ）
A．2x+y+z=1 ．x+y+z=0 ．x﹣y+z=﹣4 ．x+y﹣z=0
11．将1，2，3，4，5，6这六个数字组成一个没有重复数字的六位数，若1和2相邻，且3和4不相邻，则这样六位数的个数为（ ）
A．288 ．144 ．72 ．36
12．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）≥2k（k≥2，k∈N*）时，总有f（k﹣1）≥2k﹣1成立，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若f（1）≥2，则f（n）≥2n ．若f（4）＜16，则f（n）＜2n
C．若f（4）≥16，则当n≥4时，f（n）≥2n ．若f（1）＜2，则f（n）＜2n
13．已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切（其中e为自然对数的底数），则的取值范围为（ ）
A．（0，） ．（0，1） ．（0，+∞） ．[1，+∞）
14．已知实数a，b，c∈（0，1），设+， +， +这三个数的最大值为M，则M的最小值为（ ）
A．5 ．3+2 C．3﹣2 D．不存在
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
15．设i为虚数单位，若ω=﹣+i，则|ω|= ．
16．现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为 （用a，b表示）
17．设a≥0，若P=+，Q=+，则P Q（请用“＞”，“＜““=“符号填）
18．设函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，则实数b= ．
19．在60°的二面角α﹣l﹣β的棱l上有两点A，B，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，AC⊥l．BD⊥l，若AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为 ．
20．计算Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，可以采用以下方法：构造等式：Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，在上式中令x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n﹣1．类比上述计算方法，计算Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn= ．
三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21．有5名同学参加3门兴趣特长类选修课程的学习．
（1）若要求每位同学只能选一门课程，求不同选课方法种数；
（2）若要求每位同学只能选一门课程，其中甲乙两人选同一门课程，求不同选课方法种数．
22．已知a∈R，且在（﹣）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大．
（1）若a=1，求展开式中的常数项；
（2）若展开式中x3的系数为63，求a的值．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=14，且an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*）
（1）求，，；
（2）由（1）猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．
24．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=BC=2CD=2，AD=，PE=2BE．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的大小为45°，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
25．设a，b∈R，函数f（x）=ax+．g（x）=x2+b，
（1）若a=﹣3，b=0，求函数h（x）=f（x）•g（x）在区间（0，1]上的最值；
（2）若函数m（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的最大值；
（3）若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数b的取值范围．
2015-2016学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i，a，b∈R，则a+bi=（ ）
A．2+3i ．﹣3+2i ．3﹣2i ．﹣3﹣2i
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】由已知条件再根据复数相等的充要条件即可得到a，b的值，则a+bi的答案可求．
【解答】解：由2+ai=b﹣3i，a，b∈R，
再根据复数相等的充要条件得：a=﹣3，b=2．
则a+bi=﹣3+2i．
故选：B．
2． =（ ）
A．10 ．15 ．60 ．20
【考点】排列及排列数公式．
【分析】根据排列公式计算即可．
【解答】解： =5×4×3=60，
故选：C．
3．设空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），则•=（ ）
A．（2，4，3） ．（3，4，4） ．9 ．﹣5
【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】由已知利用向量数量积公式直接求解．
【解答】解：∵空间向量=（1，2，1），=（2，2，3），
∴•=1×2+2×2+1×3=9．
故选：C．
4．函数y=的导数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】导数的运算．
【分析】直接利用导数的运算法则求解即可．
【解答】解：函数y=的导数为：y′=．
故选：D．
5．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是（ ）
A．四个内角都大于90° ．四个内角中有一个大于90°
C．四个内角都小于90° ．四个内角中有一个小于90°
【考点】数学归纳法．
【分析】运用反证法证明命题时，首先必须对结论否定，“至少有一个”的否定是“没有一个”，即可得到假设．
【解答】解：用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，
首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”，
即为“凸四边形的四个内角都小于90°”．
故选：C．
6．若C+C=21，则n的值为（ ）
A．8 ．7 ．6 ．5
【考点】组合及组合数公式．
【分析】利用组合数公式求解求解．
【解答】解：∵C+C=21，
∴+=21，
由n∈N*，
解得n=6．
故选：C．
7．有6位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照，现老师排在最中间，学生从中间到两边都按身高从高到低排列，则所有的排列方法种数为（ ）
A．26 ．A C．A D．C
【考点】计数原理的应用．
【分析】先排老师，再选3个排在左边，右边的就确定，问题得以解决．
【解答】解：老师排在最中间，只需排好左右两边，先排左边，右边的顺序就确定了，有C63种排法
故选：D．
8．在空间直角坐标系中， =（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则与，，所成角都相等的单位向量为（ ）
A．（1，1，1） ．（，，）
C．（，，） ．（，，）或（﹣，﹣，﹣）
【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】设满足题意的向量为（x，y，z），由题意得到关于x，y，z的方程解之．
【解答】解：设所求的单位向量为=（x，y，z），则由与，，所成角都相等得到
，所以x=y=z，且x2+y2+z2=1，所以x=y=z=或；
故选D．
9．在（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中，x4的系数为（ ）
A．C+C B．C﹣C
C．C+C+C D．C﹣C﹣C
【考点】二项式系数的性质．
【分析】先将多项式化简，转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求出各项系数即可．
【解答】解：∵（1+x+x2）（1﹣x）10=（1﹣x3）（1﹣x）9
∴（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中含x4的系数为
（1﹣x）9的含x4的系数加上其含x的系数
∵（1﹣x）9展开式的通项为Tr+1=C9r（﹣x）r
令r=4，1分别得展开式含x4，x项的系数为C94，C91，
故（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中含x4的系数为C94+C91，
故选：A．
10．在空间直角坐标系中，A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），若四点A，B，C，D共面，则（ ）
A．2x+y+z=1 ．x+y+z=0 ．x﹣y+z=﹣4 ．x+y﹣z=0
【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间中的点的坐标．
【分析】利用空间向量共面的基本定理，列出关系式，化简求解即可．
【解答】解：∵A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），
∴=（0，1，﹣1），=（﹣2，2，2），=（x﹣1，y﹣1，z+2），
∵四点A，B，C，D共面，
∴存在实数λ，μ使得， =λ+μ，
∴（x﹣1，y﹣1，z+2）=λ（0，1，﹣1）+μ（﹣2，2，2），
∴，解得2x+y+z=1，
故选：A．
11．将1，2，3，4，5，6这六个数字组成一个没有重复数字的六位数，若1和2相邻，且3和4不相邻，则这样六位数的个数为（ ）
A．288 ．144 ．72 ．36
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意知1与2相邻，相邻用捆绑法，3和4不相邻，利用插空法，可得结论．
【解答】解：先把1和2捆绑在一起，看做一个复合元素再和5，6全排，形成了4个空，将3，4插入其中，
故有A33A22A42=144个．
故选：B．
12．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）≥2k（k≥2，k∈N*）时，总有f（k﹣1）≥2k﹣1成立，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若f（1）≥2，则f（n）≥2n ．若f（4）＜16，则f（n）＜2n
C．若f（4）≥16，则当n≥4时，f（n）≥2n ．若f（1）＜2，则f（n）＜2n
【考点】反证法．
【分析】根据条件的递推关系，利用反证法进行判断即可．
【解答】解：若f（n）＜2n假设f（n）＜2n，不成立，则f（n）≥2n，
根据递推条件得f（n﹣1）≥2n﹣1成立，…f（2）≥22，f（1）≥2成立，与f（1）＜2，矛盾，
故假设不成立，
故若f（1）＜2，则f（n）＜2n成立，即D是真命题，
故选：D
13．已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切（其中e为自然对数的底数），则的取值范围为（ ）
A．（0，） ．（0，1） ．（0，+∞） ．[1，+∞）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设切点为（m，n），求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得m，n的方程，化简可得b=1﹣a，代入所求式子，令t=3﹣a，t∈（2，3），可得==t+﹣6，运用对勾函数的单调性，可得所求范围．
【解答】解：设切点为（m，n），
由y=ex﹣b的导数为y′=ex﹣b，
直线y=x+a与曲线y=ex﹣b相切，
可得em﹣b=1，n=m+a=em﹣b，
即有m=b=1﹣a，
即a+b=1，（a，b∈（0，1）），
则==，
令t=3﹣a，t∈（2，3），即a=3﹣t，
可得==t+﹣6，
由t+的导数为1﹣，
由2＜t＜3，可得1﹣＜0，
则t+在（2，3）递减，
可得t+∈（6，），
则的取值范围为（0，）．
故选：A．
14．已知实数a，b，c∈（0，1），设+， +， +这三个数的最大值为M，则M的最小值为（ ）
A．5 ．3+2 C．3﹣2 D．不存在
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得+≤M， +≤M， +≤M，由不等式的可加性和乘1法和基本不等式，可得最小值．
【解答】解：由题意可得+≤M， +≤M， +≤M，
即有3M≥+++++=（+）+（+）+（+），
由0＜a＜1，可得+=[a+（1﹣a）]（+）=3++
≥3+2=3+2．当且仅当a=（1﹣a），即a=2﹣时，取得最小值3+2；
同理可得+在b=2﹣时，取得最小值3+2；
+在c=2﹣时，取得最小值3+2．
则3M≥3（3+2）．即M≥3+2．
可得M的最小值为3+2．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
15．设i为虚数单位，若ω=﹣+i，则|ω|= 1 ．
【考点】复数求模．
【分析】直接由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由ω=﹣+i，
则|ω|=．
故答案为：1．
16．现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为 aa，ab，bb （用a，b表示）
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意可知，所有的排列为aa，ab，bb，问题得以解决．
【解答】解：现有两本相同的数学书，两本相同的英语书（记a，b分别表示数学书和英语书），从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为
aa，ab，bb，
故答案为：aa，ab，bb
17．设a≥0，若P=+，Q=+，则P ＜ Q（请用“＞”，“＜““=“符号填）
【考点】不等式比较大小．
【分析】平方作差即可得出．
【解答】解：∵Q2﹣P2=2a+8﹣2﹣=2（﹣＞0，
∴Q2＞P2，
∵a≥0，∴P，Q＞0．
∴Q＞P．
故答案为：＜．
18．设函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，则实数b= ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】根据函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，得到f′（）=+a=0，f（）=+a+b，即可求出b．
【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，
∵函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），当x=时，f（x）取极小值0，
∴f′（）=+a=0，f（）=+a+b，
∴a=﹣2，b=．
故答案为：．
19．在60°的二面角α﹣l﹣β的棱l上有两点A，B，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，AC⊥l．BD⊥l，若AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为 2 ．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】利用已知条件确定＜＞120°，利用=，通过向量的数量积的运算求出CD的距离．
【解答】解：由已知，可得AC⊥AB，BD⊥AB，
∵二面角的大小为60°，
则＜，＞=60°．
∴＜＞=120°，
∴=
=+++2+2+2
=36+16++2×6×8×cos120°=68．
∴=2．
故答案为：2
20．计算Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，可以采用以下方法：构造等式：Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，在上式中令x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n﹣1．类比上述计算方法，计算Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn= n（n+1）•2n﹣2 ．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】构造等式：Cn1x+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n（1+x）n﹣1，两边对x求导，两边同乘以x，再两边求导后赋值即可．
【解答】解：构造等式：Cn1x+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n（1+x）n﹣1，
两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，
两边同乘以x，得xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=nx（1+x）n﹣1，
再两边求导，得Cn1+22Cn2x2+32Cn3x3+…+n2Cnnxn=n[（1+x）n﹣1+（n﹣1）x（1+x）n﹣2]
令x=1，得Cn1+22Cn2x2+32Cn3x3+…+n2Cnnxn=n（n+1）•2n﹣2，
故答案为：n（n+1）•2n﹣2．
三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21．有5名同学参加3门兴趣特长类选修课程的学习．
（1）若要求每位同学只能选一门课程，求不同选课方法种数；
（2）若要求每位同学只能选一门课程，其中甲乙两人选同一门课程，求不同选课方法种数．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】（1）每位同学有3种选课方法，由分步计数原理可得，
（2）3门课程让甲乙先选一门，再剩下的3人每位同学有3种选课方法，由分步计数原理可得．
【解答】解：（1）由题意得每位同学有3种选课方法，由分步计数原理，得一共有35=243种，
（2）3门课程让甲乙先选一门，再剩下的3人每位同学有3种选课方法，得一共有C3133=81种
22．已知a∈R，且在（﹣）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大．
（1）若a=1，求展开式中的常数项；
（2）若展开式中x3的系数为63，求a的值．
【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．
【分析】（1）由题意可得=最大，∴n=9，再根据a=1，通项公式 Tr+1=••（﹣1）r•，令x得幂指数等于0，求得r的值，可得展开式的常数项．
（2）展开式中的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r=4，利用通项公式可得展开式中x3的系数，再根据次系数为 63，求得a的值．
【解答】解：（1）∵在（﹣）n的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大，∴=最大，∴n=9，
a=1，根据展开式中的通项公式 Tr+1=••（﹣1）r•，令9﹣=0，求得r=6，
故展开式的常数项为•=．
（2）展开式中的通项公式 Tr+1=••（﹣a）r• 中，令9﹣=3，
求得r=4，故展开式中x3的系数为••（﹣a）4=63，求得a=±2．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=14，且an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*）
（1）求，，；
（2）由（1）猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法．
【分析】（1）可令n=1，2，3，代入已知等式，结合a1=S1；an=sn﹣sn﹣1（n＞1），计算即可得到所求值；
（2）猜想可得数列{}的通项公式=n2（n∈N*）．运用数学归纳法证明．验证当n=1时，等式成立；再假设n=k（k∈N*），=k2成立，证明当n=k+1时，结合假设和ak+1=Sk+1﹣Sk，化简整理，即可得证．
【解答】解：（1）an=（+）Sn﹣2n﹣1（n∈N*），
可得n=1时，a1=S1=（+1）S1﹣1，
解得S1=2，即有=1；
n=2时，a2=S2﹣S1=（+）S2﹣2=14，
解得S2=16， =4；
n=3时，a3=S3﹣S2=（+）S3﹣22，
解得S3=72， =9；
（2）由（1）猜想可得数列{}的通项公式为=n2（n∈N*）．
下面运用数学归纳法证明．
①当n=1时，由（1）可得=1成立；
②假设n=k（k∈N*），=k2成立，
当n=k+1时，ak+1=Sk+1﹣Sk=（+）Sk+1﹣2k+1﹣1，
即有（﹣）Sk+1=Sk﹣2k=2k•k2﹣2k=（k2﹣1）•2k，
则Sk+1=（k+1）（k﹣1）•2k，
当k=1时，上式显然成立；
当k＞1时，Sk+1=2（k+1）2•2k=（k+1）2•2k+1．
即=（k+1）2，
则当n=k+1时，结论也成立．
由①②可得对一切n∈N*， =n2成立．
24．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=BC=2CD=2，AD=，PE=2BE．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的大小为45°，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出PC⊥AD，从而AD⊥平面PCD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）取AB的中点F，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABC，AD⊂平面ABCD，
∴PC⊥AD，
又CD⊥AD，∴AD⊥平面PCD，
又AD⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）取AB的中点F，连结CF，则CF⊥AB，
如图，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，a），（a＞0），E（，﹣，），
=（），=（0，0，a），=（，﹣，），
设=（x，y，z）是平面PAC的一个法向量，
则，取x=1，得=（1，﹣，0），
设平面EAC的法向量=（a，b，c），
则，取a=1，得=（1，﹣，﹣），
∵二面角P﹣AC﹣E的大小为45°，
∴cos45°=|cos＜＞|===，
解得a=2，此时=（1，﹣，﹣2），
∴=（），
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|===．
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．
25．设a，b∈R，函数f（x）=ax+．g（x）=x2+b，
（1）若a=﹣3，b=0，求函数h（x）=f（x）•g（x）在区间（0，1]上的最值；
（2）若函数m（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的最大值；
（3）若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数b的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）将a，b的值代入h（x），求出h（x）的导数，从而求出h（x）的最值；
（2）问题转化为a≤﹣2x，在x∈（0，1]时恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）问题转化为a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）=x2﹣的图象都有3个交点，结合函数的单调性以及函数的图象判断即可．
【解答】解：（1）a=﹣3，b=0时，h（x）=﹣3x3+x（x≠0），
∴h′（x）=﹣9x2+1，
由h′（x）≤0得：x≤﹣或x≥，
由h′（x）≥0得﹣≤x≤，
∴h（x）在（0，]递增，在[，1）递减，
又x→0时，h（x）→0，h（）=，h（1）=﹣2，
∴h（x）在（0，1]上的最大值是h（）=，
在（0，1]上的最小值是h（1）=﹣2；
（2）m（x）=ax++x2+b，m′（x）=a﹣+2x，
由题意x∈（0，1]时，m′（x）≤0恒成立，
即a≤﹣2x，在x∈（0，1]时恒成立，
又﹣2x在x∈（0，1]递减，
∴﹣2x在（0，1]上的最小值是﹣1，
∴a≤﹣1，即a的最大值是﹣1；
（3）原问题转化为：若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程x2﹣=ax﹣b有三个不同的解，求b的范围，
即a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）=x2﹣的图象都有3个交点，
∵F′（x）=2x+=，
由F′（x）＞0，得x＞﹣且x≠0，
由F′（x）＜0，解得：x＜﹣，
∴F（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，0），（0，+∞）递增，
如图示：
，
a＜﹣1时，只需y=ax﹣b与函数F（x）（x＞0）有1个交点，
∴直线y=ax﹣b和F（x）（x＜0）有2个交点，
a=﹣1时，F′（x）=2x+==﹣1，解得：x=﹣1，
此时，切线方程是y=﹣x+1，
即当b=﹣1，a=﹣1时，直线y=ax﹣b和F（x）=x2﹣（x＜0）的图象相切，
∴当﹣b≥1时，即b≤﹣1时，
∴当﹣b≥1即b≤﹣1时，
对任意a∈（﹣∞，﹣1），直线y=ax﹣b与函数F（x）的图象恒有3个交点，
若对任意实数a∈（﹣∞，﹣1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解．
2016年8月27日下载本文
