引 入 乘法公式
第一讲 因式分解
第二讲 函数与方程
第三讲 三角形的“四心”
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2 已知，，求的值．
解：．
练 习
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 ) ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
说明：（2）x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3） ＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）__________________________________________________。
（2）__________________________________________________。
（3）__________________________________________________。
（4）__________________________________________________。
（5）__________________________________________________。
（6）__________________________________________________。
（7）__________________________________________________。
2、
3、若则，。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、若多项式可分解为，则、的值是（ ）
A、， B、， C、， D、，
2、若其中、为整数，则的值为（ ）
A、或 B、 C、 D、或
2．提取公因式法
例2 分解因式：
（1） （2）
解： （1）．=
（2）==
=．或
＝＝＝
＝＝
3：公式法
例3 分解因式： （1） （2）
解：(1) =
(2) =
课堂练习
一、，，的公因式是______________________________。
4．分组分解法
例4 （1） （2）．
（2）=
==．
或
=
=
=．
第二讲 函数与方程
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
例1 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
例2 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．
例3 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
（2）求的值；
（3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，
∴，．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝
＝＋6＝，
∴| x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
由②得 a＜．∴a的取值范围是a＜4．
练 习
1．选择题：若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
2．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝ ．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
例1 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．
2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的
例1 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
练 习
1．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a (a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
第三讲 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
图3.2-1
图3.2-2
如图3.2-1 ，在三角形△ABC中，有三条边，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）
图3.2-5
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）
图3.2-8
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.下载本文
