一、选择题（每小题只有一个正确答案）

1．下列函数中，是二次函数的为（       ）

A．  ．  ．  ． 

2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的对称轴是（　　）

A． x=1 ． x=﹣1 ． x=3 ． x=﹣3

3．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　）

A． y=（x+2）2﹣5 ． y=（x+2）2+5 ． y=（x﹣2）2﹣5 ． y=（x﹣2）2+5

4．（已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（　　）

A． 1 ． 2 ． 3 ． 4

5．已知二次函数（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（  ）

A． 或1 ． 或1 ． 或 ． 或

6．下列具有二次函数关系的是( )

A． 正方形的周长y与边长x ． 速度一定时，路程s与时间t

C． 三角形的高一定时，面积y与底边长x ． 正方形的面积y与边长x

7．给出下列四个函数：y=﹣2x，y=2x﹣1，y=（x＞0），y=﹣x2+3（x＞0），其中y随x的增大而减小的函数有（　　）

A． 3个 ． 2个 ． 1个 ． 0个

8．在直角坐标系xOy中，二次函数C1，C2图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表：

A． 图象C1，C2均开口向下

B． 图象C1的顶点坐标为（2.5，﹣8.75）

C． 当x＞4时，y1＞y2

D． 图象C1、C2必经过定点（0，﹣5）

9．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（　　）

A． ①②③ ． ①②④ ． ①③④ ． ②③④

10．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（　　）

A．  ．  ．  ． 

11．如图，抛物线分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为　　

A．  ． 8 ． 7 ． 9

12．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（　　）

A． 153 ． 218 ． 100 ． 216

二、填空题

13．二次函数y＝kx2－x－2经过点(1，5)，则k＝_________.

14．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.

15．若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是______．

16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m），（3，n）在抛物线上，则m_____n（填“＞”、“=”或“＜”）．

17．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2．

三、解答题

18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．

（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；

（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）

19．二次函数y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3．

（1）求该二次函数的对称轴；

（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；

（3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m．

20．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

21．已知二次函数y=kx2+（k+1）x+1（k≠0）．

（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；

（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．

22．如图，抛物线与轴仅有一个公共点，经过点的直线交该抛物线于点，交轴于点，且点是线段的中点．

求这条抛物线对应的函数解析式；

求直线对应的函数解析式．

23．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．

（1）求m的值及点B的坐标；

（2）求△ABC的面积；

（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．

参

1．D

【解析】

【分析】

先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定答．

【详解】

A选项：一次函数，错误；

B选项：原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，错误；

C选项：不是整式，错误；

D选项：原函数可化为：y=2x2+2x，正确．

故选：D．

【点睛】

考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+c(a≠0)（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数.

2．A

【解析】

【分析】

由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．

【详解】

∵y＝2（x−1）2＋3，

∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x＝1，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．

3．A

【解析】

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），

先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），

所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．

4．D

【解析】

【分析】

由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，

∴ab＜0，

∵与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵a＞0，x=﹣＜1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，

故②正确；

③∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

故③正确；

④当x=﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

故④正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

5．A

【解析】

【分析】

首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．

【详解】

依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，

故b＞0，且b=2﹣a，

a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，

于是0＜a＜2，

∴﹣2＜2a﹣2＜2，

又a﹣b为整数，

∴2a﹣2=﹣1，0，1，

故a=，1，，

b=，1，，

∴ab=或1，故选A．

【点睛】

根据开口和对称轴可以得到b的范围。按照左同右异规则。当对称轴在y轴的左侧，则a,b符号相同，在右侧则a,b符号相反。

6．D

【解析】

【分析】

根据题意，列出函数解析式就可以判定．

【详解】

A、y=4x，是一次函数，错误；

B、s=vt，v一定，是一次函数，错误；

C、y=hx，h一定，是一次函数，错误

D、y=x2，是二次函数，正确．

故选D．

【点睛】

本题考查二次函数的定义．

7．A

【解析】

【详解】

①y=﹣2x，正比例函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故正确；

②y=2x﹣1，一次函数，k＞0，故y随着x的增大而增大，故错误；

③y=（x＞0）反比例函数，k＞0，在第一象限内，y随x的增大而减小，故正确；

④y=﹣x2+3（x＞0），二次函数，k＜0，故在第四象限内y随x的增大而减小，故正确；

故符合题意的有3个.

故选A.

【点睛】

本题考查正比例函数，一次函数，反函数和二次函数的性质，熟练掌握各个函数的增减性是解此题的关键.

8．D

【解析】

【分析】

观察表格可知，x=1与x=3时，y1=-8，y2=-11，那么二次函数C1，C2的对称轴都是直线x=2，得出选项B错误；根据x＜2时，y1、y2都是随着x的增大而减小；当x＞2时，y1、y2都是随着x的增大而增大，得出图象C1，C2均开口向上，那么选项A错误；根据增加相同的x，y1增加的数小于y2增加的数，得出当x＞4时，y2＞y1，选项C错误；根据对称轴都是直线x=2，且都过点（4，-5），得出图象C1、C2必经过定点（0，-5），得出选项D正确．

【详解】

∵x=1与x=3时，y1=-8，y2=-11，

∴二次函数C1，C2的对称轴都是直线x=2，故选项B错误；

∵当x＜2时，y1、y2都是随着x的增大而减小；当x＞2时，y1、y2都是随着x的增大而增大，

∴图象C1，C2均开口向上，故选项A错误；

∵x=3时，y1=-8，y2=-11，x=4时，y1=y2=-5，

∴增加相同的x，y1增加的数小于y2增加的数，

∴当x＞4时，y2＞y1，故选项C错误；

∵二次函数C1，C2的对称轴都是直线x=2，且都过点（4，-5），

∴图象C1、C2必经过定点（0，-5），故选项D正确．

故选D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，观察表格从中获取有用信息是解题的关键．

9．A

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

∵抛物线开口向下，

a＜0；

∵抛物线的对称轴为直线x=-=1＞0，

∴b＞0；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2-4ac＞0，故②正确；

∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0），

∴抛物线与x轴的另个交点是（-1，0），

∴当x=1时，y最大，即a+b+c≥ax2+bx+c，故③正确；

∵B（x2+1，y1）、C（x2+2，y2）在对称轴右侧，x2+1＜x2+2，

∴y1＞y2，故④错误；

故选A．

【点睛】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．

10．A

【解析】

【分析】

直接利用二次函数图象得出a，b的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案．

【详解】

抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴右侧，则a，b互为相反数，则b＞0，故一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，正确得出a，b的符号是解题的关键．

11．A

【解析】

【分析】

根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解可做C点关于直线的对称点，做D点关于x轴的对称点，连接那么E、F就是直线与x轴和抛物线对称轴的交点，求出长度即可．

【详解】

作C点关于直线的对称点，做D点关于x轴的对称点，连接．

则E、F就是直线与x轴和抛物线对称轴的交点，此时即为点P运动的最短路径长，

则有，；

故点P运动的最短路径长．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出、点的坐标是解题关键．

12．C

【解析】

【分析】

根据函数图象中的数据可以求得二次函数的解析式，从而可以得到x与y的关系，再根据题意即可得到关于x的方程，从而可以求得x的值，本题得以解决．

【详解】

解：设函数解析式为y=ax2+bx+c，

则， 

解得，

∴y=0.1x2-8x+153，

∵C型小正方形白色块数与黑色块数之和是：25×25-7×7×3-5×5=453，

∴x+（0.1x2-8x+153）=453，

解得，x1=100，x2=-30（舍去），

∴y=0.1×1002-8×100+153=353，

即C型小正方形黑色块数为100．

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．

13．8

【解析】分析：把（1，5）代入y=kx2-x-2中，即可得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可求得k的值．

详解：∵二次函数y=kx2-x-2经过点（1，5），

∴5=k-1-2，解得k=8；

故答案为8．

点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点的坐标适合解析式．

14．－5

【解析】

【详解】

∵函数y＝(m－3)是二次函数，

∴=2 ，且m-3≠0，

解得m=﹣5.

故答案为﹣5.

【点睛】

本题考查二次函数的定义，解此题的关键在于根据二次函数的定义得到自变量的指数为2，且系数不为0.

15．

【解析】

【详解】

抛物线与x轴没有交点，

，

，

解得，

的取值范围是．

故答案为：．

16．＞

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质和二次函数的图象具有对称性可以判断m、n的大小，从而可以解答本题．

【详解】

∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为（2，4），

∴该抛物线的开口向上，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，

∵点（﹣2，m），（3，n）在抛物线上，2﹣（﹣2）=4，3＜4，

∴m＞n，

故答案是：＞．

【点睛】

考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

17．

【解析】

【分析】

设矩形的长为xm，则宽为m，根据矩形的面积公式得出函数解析式，继而将其配方成顶点式，由x的取值范围结合函数性质可得最值．

【详解】

设矩形的长为xm，则宽为m，

菜园的面积S=x•=-x2+15x=-（x-15）2+，（0＜x≤20）.

∵当x＜15时，S随x的增大而增大，

∴当x=15时，S最大值=m2，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量x的取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键．

18．(1) （﹣1，﹣2）；(2) 见解析.

【解析】

【分析】

（1）把h=-1代入y=x2-2hx+h，化为顶点式，即可求出点D的坐标；

（2）先根据二次函数的性质得出x=h时，函数有最小值h-h2．再分h≤-1，-1＜h＜1，h≥1三种情况求解即可．

【详解】

（1）当h=-1时，y=x2+2x-1=（x+1）2-2，

则顶点D的坐标为（-1，-2）；

（2）∵y=x2-2hx+h=（x-h）2+h-h2，

∴x=h时，函数有最小值h-h2．

①如果h≤-1，那么x=-1时，函数有最小值，此时m=（-1）2-2h×（-1）+h=1+3h；

②如果-1＜h＜1，那么x=h时，函数有最小值，此时m=h-h2；

③如果h≥1，那么x=1时，函数有最小值，此时m=12-2h×1+h=1-h．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法．进行分类讨论是解题的关键．

19．（1）对称轴方程为x=1；（2）n=﹣2m+2；（3）整数m的值为﹣2．

【解析】

【分析】

（1）根据求解即可；

（2）由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；

（3）由开口向下及函数值都不不大于6可得，解之即可．

【详解】

（1）∵y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3，

∴对称轴方程为x=﹣=1．

（2）∵y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3=（m+1）（x﹣1）2﹣2m+2，

由题意知直线l的解析式为y=n，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴n=﹣2m+2；

（3）抛物线y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3的顶点坐标是（1，﹣2m+2）．

依题可得，

解得﹣2≤m＜﹣1，

∴整数m的值为﹣2．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图像与性质，一般式和顶点式的转化，根据题意画出函数的图象，由题意得出对应方程或不等式组是解题的关键．

20．（1）；（2）；（3）当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.

【解析】

【分析】

（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”即可得w与x之间的函数关系式；（3）将所得函数解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可解答．

【详解】

（1）∵与满足一次函数关系.

∴设与的函数表达式为 .

将，代入中，得

 解得

∴与之间的函数表达式为.

（2）由题意，得.

∴与之间的函数表达式为.

（3）.

∵，∴抛物线开口向下.

由题可知：，

∴当时，有最大值，元.

答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．

21．（1）证明见解析；（2）k=±1．

【解析】

【分析】

（1）根据根的判别式可得结论；

（2）利用求根公式表示两个根，因为该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，可得k=±1．

【详解】

(1)证明：  

∴无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；

(2)当y=0时,  

∵该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，

∴k=±1.

【点睛】

考查抛物线与x轴的交点，掌握公式法在解题中的应用.

22． ；  ．

【解析】

【分析】

（1）利用△=﹣=0时，抛物线与x轴有1个交点得到，然后解关于a的方程求出a，即可得到抛物线解析式；

（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．

【详解】

∵抛物线与轴仅有一个公共点，

∴，解得（舍去），，

∴抛物线解析式为；

∵，

∴顶点的坐标为，

∵点是线段的中点，

即点与点关于点对称，

∴点的横坐标为，

当时，，则，

设直线的解析式为，

把，代入得，解得，

∴直线的解析式为．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数（a，b，c是常数，a≠0），△=﹣决定抛物线与x轴的交点个数：△=﹣＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=﹣=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=﹣＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式．

23．（1）（﹣1，0）；（2）12（3）（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）

【解析】

【分析】

（1）先把点A坐标代入解析式，求出m的值，进而求出点B的坐标；

（2）根据二次函数的解析式求出点C的坐标，进而求出△ABC的面积；

（3）根据S△ABD＝S△ABC求出点D纵坐标的绝对值，然后分类讨论，求出点D的坐标．

【详解】

（1）∵函数过A（3，0），

∴﹣18+12+m=0，

∴m=6，

∴该函数解析式为：y=﹣2x2+4x+6，

∴当﹣2x2+4x+6=0时，x1=﹣1，x2=3，

∴点B的坐标为（﹣1，0）；

（2）当x=0时，y=6，

则C点坐标为（0，6），

∴S△ABC==12；

（3）∵S△ABD=S△ABC=12，

∴S△ABD==12，

∴|h|=6，

①当h=6时：﹣2x2+4x+6=6，

解得：x1=0，x2=2

∴D点坐标为（0，6）或（2，6）；

②当h=﹣6时：﹣2x2+4x+6=﹣6，

解得：x1=1+，x2=1﹣

∴D点坐标为（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）；

∴D点坐标为（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）．

【点睛】

本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解答（3）问需要分类讨论，此题难度一般．下载本文