课题：圆与方程                              课时安排：  2  课时

一、复习目标：

圆与方程

了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）.

掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化.

能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）.

能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

用代数方法处理几何问题的思想

体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用.

二、复习重难点：圆的标准方程和一般方程

三、高考内容及要求：

1、圆的方程：

⑴标准方程：

⑵一般方程：.

2、两圆位置关系：

⑴外离：；

⑵外切：；

⑶相交：；

⑷内切：；

⑸内含：.

五、课堂教学：

问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？

例1、基础训练：求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.

探究1：过坐标原点且与圆相切的直线的方程为      

解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或.

探究2：已知直线与圆相切，则的值为        .

解：∵圆的圆心为（1，0），半径为1，∴，解得或.

练习巩固：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.

解：设所求圆的方程为，则，

解得或，∴圆的方程为或.

问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？

例2、基础训练：求直线被圆截得的弦的长.

探究1：直线截圆得的劣弧所对的圆心角为    

解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.

探究2：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则        .

解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.

练习巩固：已知圆，直线.

（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.

解：（1）∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.

（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.

问题导学三：如何判断直线与圆的位置关系？

例3、基础训练：已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

探究1：直线与圆没有公共点，则的取值范围是        

解：依题意有，解得.∵，∴.

探究2：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是          .

解：依题意有，解得，∴的取值范围是.

练习巩固：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.

问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？

例4、基础训练：判断圆与圆的位置关系，并画出图形.

探究1：圆和圆的位置关系是      

解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交.

探究2：若圆与圆相切，则实数的取值集合是          .

解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.

练习巩固：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.

解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.

问题导学五：和圆相关的最值有哪些解决途径，体现那些思想方法？

例5、基础训练：已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.

探究1：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是       

解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.

探究2：已知，，点在圆上运动，则的最小值是        .

解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.

练习巩固：已知点在圆上运动.

（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.

解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.

（2）设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.

问题导学六：如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息？

例6、基础训练：已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

探究1：已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于       

解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为.

探究2：由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是          .

解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.

练习巩固：设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.

解：设动点的坐标为.由，得，

化简得.

当时，化简得，整理得；

当时，化简得.

所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

当时，点的轨迹是轴.

问题导学七：圆中动点的变化，带来求其轨迹方程的方法是什么？

例7、基础训练：已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

探究1：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是           

解：设.∵，∴，

∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是.

探究2：已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是          .

解：设.∵是的平分线，∴， ∴.由变式1可得点的轨迹方程是.

练习巩固：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.

解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是的中点，∴点的坐标为，且.∵直线经过定点，∴，∴，化简得.∴点的轨迹方程是.

问题导学八：实际生活中我们又该如何利用所学的圆知识进行“数学化”，来解决问题？

例8、基础训练：某圆拱桥的水面跨度20，拱高4.现有一船宽10，水面以上高3，这条船能否从桥下通过？

探究1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低

        时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）

解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.

∵圆经过点（10，0），（0，4），∴，解得.

∴圆的方程是.  令，得.

故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.

探究2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约

      ，台风将影响城，持续时间约为      .（结果精确到0.1）

解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是.

依题意有，解得.

∴.

∴从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.

练习巩固：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10，顾客购买这种商品选择地或地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.

解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，.设是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为元，则，∴，化简得.∴、两地售货区域的分界线是以为圆心，为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货，在曲线外的居民选择去地购货，在曲线上的居民去、两地购货均可.

六、反思总结：1、圆的标准方程和一般方程

2、直线与圆、圆与圆的位置关系的要点

3、复习、学到哪些解决问题策略，掌握了哪些数学思想方法

七、作业安排：配套专题练习

八、教学反馈：

问题导学法通过创设特定的问题情景，引导学生在解决面临的问题中，主动获取和运用知识、技能；激发其学习主动性、自主学习能力和创造性解决问题的能力的课堂教学方式.本教学方式的三个基本特征是：①以问题的提出和解决为中心.即教学过程不是简单的知识传递讲解过程，而是根据课本知识要求和学生的知识经验，把教学问题问题化.问题的提出和解决贯穿教学过程.②以发展学生运用知识综合解决问题能力和创新意识及学习能力为重点.③教师引导学生自主合作探索学习为关键.即教师是教学过程中问题情境的创设者，解决问题过程的指导者，学生学习的鼓励者.

在新课程的高三复习中我们数学教师要把握好《新课程标准》、《教学要求》和《考试说明》中的重要信息，从学生实际出发，在复习内容上要进一步创新，要以问题为纽带，编制教案和学案，促进学生加深对复习内容的理解和学习负担的减轻，从被动接受向主动探求转变从而促进高三课堂复习效益的提高.使“双案制”教学成为问题导学的载体、提高学习质量的抓手.下载本文