第五章    有理数

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列说法不正确的是（　　）

A．0既不是正数，也不是负数    

B．0的绝对值是0    

C．一个有理数不是整数就是分数    

D．1是绝对值最小的正数

2.一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有42000名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“42000”用科学记数法表示正确的是（　　）

A．42×103    B．4.2×103    C．4.2×104    D．4.24

3.下列选项中，比﹣3小的数是（　　）

A．﹣1    B．0    C．    D．﹣5

4.若a＜0，b＞0，则（　　）

A．a+b＝0    B．a﹣b＞0    C．ab＜0    D．＞0

5.冰箱冷藏室的温度零上6℃，记作+6℃，冷冻室的温度零下18℃，记作（　　）

A．18℃    B．12℃    C．﹣18℃    D．﹣24℃

6.a，b两数在数轴上的位置如图，则下列不正确的是（　　）

A．a+b＜0    B．ab＜0    C．a﹣b＜0    D．＜0

二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

7.计算：＝　　．

8.|a﹣5|+3的最小值是　　．

9.如果定义新运算“&”，满足a&b＝a×b+a﹣b，那么1&3＝　　．

10.定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a▽b＝﹣a﹣b2，例如：2▽3＝﹣2﹣32＝﹣11，则（2020▽1）▽2＝　　．

11.规定：向右移动2记作+2，那么向左移动3记作：　　．

12.已知|a|＝5，﹣b＝9，ab＜0，则a+b的值为　　．

13.a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a+b＝　　．

14.近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2020年9月底，全国建设开通5G基站超510000个，将数据510000用科学记数法可表示为　　．

15.甲数的与乙数的相等，甲数与乙数的比为　　．

16.数轴上点A表示﹣2，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是　　　．

17.已知下列各数：a，|a|，a2，a2﹣1，a2+1，其中一定不为负数的有　　个．

18.如图是一个3×3的正方形格子，要求横、竖、对角线上的三个数之和相等，请根据图中提供的信息求出m等于　　．

三、解答题（本大题共7小题，共分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|．

20.求未知数x：

（1）x﹣40%x＝；

（2）x：＝：．

21.某仓库在某天运进和运出一批货物，运进为“+”，运出为“﹣”，单位为“吨”．分别记为﹣15，+25，﹣10，﹣20，+40，﹣15．

（1）原库存为10吨，则当天最终库存多少吨？

（2）若运进运出每车费用50元，一车装5吨，则当天总运费为多少元？

22.某工厂生产一批零件，规定零件的长度允许有0.1cm的误差，现检验员随机抽查了5个零件，超过规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果如下表：

（2）在合格的产品中，几号零件的质量最好？为什么？

23.请根据情景对话回答下面的问题：

小明：这条数轴上的两个点A、B表示的数都是绝对值是4的数，点A在点B的左边；

小宇：点C表示负整数，点D表示正整数，且这两个数的差为3；

小智：点E表示的数的相反数是它本身；

（1）求A、B、C、D、E五个不同的点对应的数．

（2）求这五个点表示的数的和．

24.一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，返回记为负数，他的记录如下（单位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10，

（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？

（2）守门员全部练习结束后，共跑了多少米？

（3）在练习过程中，守门员离开球门线的最远距离是多少米？

25.我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：

（1）＝　　（a≠0）；

（2）＝　　（ab≠0）；

（3）若abc≠0，的值为　　；

（4）拓展应用：试比较a与大小．

参与解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列说法不正确的是（　　）

A．0既不是正数，也不是负数    

B．0的绝对值是0    

C．一个有理数不是整数就是分数    

D．1是绝对值最小的正数

【答案】D

【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，说法正确；

B、0的绝对值是0，说法正确；

C、一个有理数不是整数就是分数，说法正确；

D、1是绝对值最小的正数，说法错误，0.1的绝对值比1还小．

故选：D．

【知识点】有理数

2.一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有42000名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“42000”用科学记数法表示正确的是（　　）

A．42×103    B．4.2×103    C．4.2×104    D．4.24

【答案】C

【解答】解：42000＝4.2×104，

故选：C．

【知识点】科学记数法—表示较大的数

3.下列选项中，比﹣3小的数是（　　）

A．﹣1    B．0    C．    D．﹣5

【答案】D

【解答】解：A、﹣1＞﹣3，故本选项不符合题意；

B、0＞﹣3，故本选项不符合题意；

C、＞﹣3，故本选项不符合题意；

D、﹣5＜﹣3，故本选项符合题意；

故选：D．

【知识点】有理数大小比较

4.若a＜0，b＞0，则（　　）

A．a+b＝0    B．a﹣b＞0    C．ab＜0    D．＞0

【答案】C

【解答】解：∵a＜0，b＞0，

∴a、b异号，

因此a+b不一定等于0，可能是正数、负数或0，故A不符合题意；

a﹣b＜0，因此B不符合题意；

ab＜0，故C符合题意；

＜0，故D不符合题意；

故选：C．

【知识点】有理数的乘法、有理数的减法、有理数的除法、有理数的加法

5.冰箱冷藏室的温度零上6℃，记作+6℃，冷冻室的温度零下18℃，记作（　　）

A．18℃    B．12℃    C．﹣18℃    D．﹣24℃

【答案】C

【解答】解：温度零上6℃，记作+6℃，冷冻室的温度零下18℃，记作﹣18℃，

故选：C．

【知识点】正数和负数

6.a，b两数在数轴上的位置如图，则下列不正确的是（　　）

A．a+b＜0    B．ab＜0    C．a﹣b＜0    D．＜0

【答案】C

【解答】解：根据题意得：b＜0＜a，|b|＞|a|，

所以a+b＜0，故选项A不合题意；

ab＜0，故选项B不合题意；

a﹣b＞0，故选项C符合题意；

，故选项D不合题意．

故选：C．

【知识点】有理数的除法、数轴、有理数的加法、有理数的乘法、有理数的减法

二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

7.计算：＝　　．

【解答】解：原式＝（）5××（）5＝，

故答案为．

【知识点】有理数的乘方

8.|a﹣5|+3的最小值是　　．

【答案】3

【解答】解：∵|a﹣5|≥0，

∴|a﹣5|+3的最小值是：3．

故答案为：3．

【知识点】非负数的性质：绝对值

9.如果定义新运算“&”，满足a&b＝a×b+a﹣b，那么1&3＝　　．

【答案】1

【解答】解：根据题中的新定义得：1&3＝1×3+1﹣3＝3+1﹣3＝1．

故答案为：1．

【知识点】有理数的混合运算

10.定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a▽b＝﹣a﹣b2，例如：2▽3＝﹣2﹣32＝﹣11，则（2020▽1）▽2＝　　．

【答案】2017

【解答】解：根据题中的新定义得：2020▽1＝﹣2020﹣1＝﹣2021，

则原式＝（﹣2021）▽2＝2021﹣4＝2017．

故答案为：2017．

【知识点】有理数的混合运算

11.规定：向右移动2记作+2，那么向左移动3记作：　　．

【答案】-3

【解答】解：向右移动2记作+2，那么向左移动3记作﹣3．

故答案为：﹣3．

【知识点】正数和负数

12.已知|a|＝5，﹣b＝9，ab＜0，则a+b的值为　　．

【答案】-4

【解答】解：由题意可知：a＝±5，b＝﹣9，

∵ab＜0，

∴a＝5，

∴a+b＝5﹣9＝﹣4，

故答案为：﹣4．

【知识点】有理数的加法、绝对值、有理数的乘法

13.a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a+b＝　　．

【答案】-1

【解答】解：∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1，

b是绝对值最小的数，∴b＝0，

∴a+b＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【知识点】绝对值

14.近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2020年9月底，全国建设开通5G基站超510000个，将数据510000用科学记数法可表示为　　．

【答案】5.1×105

【解答】解：510000＝5.1×105，

故答案为：5.1×105．

【知识点】科学记数法—表示较大的数

15.甲数的与乙数的相等，甲数与乙数的比为　　．

【答案】10：9

【解答】解：∵甲数的与乙数的相等，

∴甲×＝乙×，

∴甲数与乙数的比为：甲：乙＝：＝10：9．

故答案为：10：9．

【知识点】有理数的除法

16.数轴上点A表示﹣2，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是　　　．

【答案】-6或2

【解答】解：当B点在A的左边，则B表示的数为：﹣2﹣4＝﹣6；

若B点在A的右边，则B表示的数为﹣2+4＝2．

【知识点】数轴

17.已知下列各数：a，|a|，a2，a2﹣1，a2+1，其中一定不为负数的有　　个．

【答案】3

【解答】解：a可以为正数、负数、0；

|a|≥0，一定不是负数；

a2≥0，一定不是负数；

a2﹣1，可以为正数、负数、0；

a2+1一定为正数；

所以一定不为负数的有3个．

故答案为：3．

【知识点】绝对值、正数和负数

18.如图是一个3×3的正方形格子，要求横、竖、对角线上的三个数之和相等，请根据图中提供的信息求出m等于　　．

【答案】7

【解答】解：由题意知：2+6＝m+1，

解得m＝7．

故答案为7．

【知识点】有理数的加法

三、解答题（本大题共7小题，共分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|．

【解答】解：﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|

＝3+7﹣8

＝2．

【知识点】绝对值、有理数的加减混合运算

20.求未知数x：

（1）x﹣40%x＝；

（2）x：＝：．

【解答】解：（1）x﹣x＝，

x＝，

x＝．

（2）x＝×，

x＝，

x＝1．

【知识点】有理数的除法

21.某仓库在某天运进和运出一批货物，运进为“+”，运出为“﹣”，单位为“吨”．分别记为﹣15，+25，﹣10，﹣20，+40，﹣15．

（1）原库存为10吨，则当天最终库存多少吨？

（2）若运进运出每车费用50元，一车装5吨，则当天总运费为多少元？

【解答】解：（1）根据题意得：10﹣15+25﹣10﹣20+40﹣15＝10+65﹣60＝15（吨），

则当天最终库存15吨；

（2）根据题意得：50×[（15+25+10+20+40+15）÷5]＝1250（元），

则当天总运费为1250元．

【知识点】有理数的混合运算、正数和负数

22.某工厂生产一批零件，规定零件的长度允许有0.1cm的误差，现检验员随机抽查了5个零件，超过规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果如下表：

（2）在合格的产品中，几号零件的质量最好？为什么？

【解答】解：（1）因为合格零件的长度允许有0.1cm的误差，

第①件、第③件、第⑤件是合格产品；

（2）因为|﹣0.04|＜|+0.05|＜|﹣0.09|，

所以⑤号产品的质量最好，因为绝对值越小质量越好，越大质量越差．

【知识点】正数和负数

23.请根据情景对话回答下面的问题：

小明：这条数轴上的两个点A、B表示的数都是绝对值是4的数，点A在点B的左边；

小宇：点C表示负整数，点D表示正整数，且这两个数的差为3；

小智：点E表示的数的相反数是它本身；

（1）求A、B、C、D、E五个不同的点对应的数．

（2）求这五个点表示的数的和．

【解答】解：（1）∵点E表示的数的相反数是它本身，

∴E表示0，

∵A．B表示的数都是绝对值是4的数，且点A在点B左边，

∴A表示﹣4，B表示4，

∵点C表示负整数，点D表示正整数，且这两个数的差是3，

∴若C表示﹣1，则D表示2：若C表示﹣2．则D表示1．

即A、B、C、D、E五个不同的点对应的数是﹣4，4，﹣1，2，0或﹣4，4，﹣2，1，0；

（2）当A、B、C、D、E五个不同的点对应的数是﹣4，4，﹣1，2，0时，这五个点表示的数的和是﹣4+4+（﹣1）+2+0＝1；

当A、B、C、D、E五个不同的点对应的数是﹣4，4，﹣2，1，0时，这五个点表示的数的和是﹣4+4+（﹣2）+1+0＝﹣1．

【知识点】相反数、绝对值、数轴、有理数的加法

24.一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，返回记为负数，他的记录如下（单位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10，

（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？

（2）守门员全部练习结束后，共跑了多少米？

（3）在练习过程中，守门员离开球门线的最远距离是多少米？

【解答】解：（1）（+5）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（﹣6）+（+12）+（﹣10）

＝（5+10+12）﹣（3+8+6+10）

＝27﹣27

＝0，

答：守门员最后回到了球门线的位置；

（2）|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|

＝5+3+10+8+6+12+10

＝54；

答：守门员全部练习结束后，他共跑了54米；

（3）由观察可知：在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是12米．

【知识点】正数和负数、有理数的加减混合运算

25.我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：

（1）＝　　（a≠0）；

（2）＝　　（ab≠0）；

（3）若abc≠0，的值为　　；

（4）拓展应用：试比较a与大小．

【答案】【第1空】1或-1

【第2空】-2或2或0

【第3空】±4，0

【解答】解：（1）若有理数a不等于零，当a＞0时，＝1，当a＜0时，＝﹣1；

故答案为：1或﹣1；

（2）当a＞0，b＞0时，＝1+1＝2；

当a＞0，b＜0时，＝1﹣1＝0；

当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0；

当a＜0，b＜0时，＝﹣1﹣1＝﹣2．

故答案为：﹣2或2或0；

（3）当a＞0，b＞0，c＞0时，＝1+1+1+1＝4；

当a＜0，b＜0，c＜0时，＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4；

当a、b、c中有两个为正数，一个为负数时，＝1×2﹣（﹣1）×2＝0；

当a、b、c中有两个为负数，一个为正数时，＝1×2﹣（﹣1）×2＝0；

故答案为：±4，0；

（4）

当；

当，

当；

当；

当；

当．

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