2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科:网
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=
（A）{0，1} （B）{–1，0，1}
（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}
（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A） （B）
（C） （D）
（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
（A） （B）
（C） （D）
（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
（6）设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
（8）设集合则
（A）对任意实数a， （B）对任意实数a，（2，1）
（C）当且仅当a<0时，（2，1） （D）当且仅当时，（2，1）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
（10）在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．
（11）设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
（12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．
（13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
（14）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学@科网
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
（17）（本小题12分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
| 电影类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 |
| 电影部数 | 140 | 50 | 300 | 200 | 800 | 510 |
| 好评率 | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 | 0.1 |
假设所有电影是否获得好评相互．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
（18）（本小题13分）
设函数=[]．
（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；
（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
（19）（本小题14分）
已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
（20）（本小题14分）
设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M（）=．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，
M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．学科&网
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参
一、选择题
1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D
二、填空题
9． 10． 11． 12．3
13．y=sinx（答案不唯一） 14．
三、解答题
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．
由正弦定理得=，∴sinA=．
∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．
（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，
∴AC边上的高为．
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥EF．
∵AB=BC．
∴AC⊥BE，
∴AC⊥平面BEF．
（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．
又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．
∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．
如图建立空间直角坐称系E-xyz．
由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．
∴，
设平面BCD的法向量为，
∴，∴，
令a=2，则b=-1，c=-4，
∴平面BCD的法向量，
又∵平面CDC1的法向量为，
∴．
由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．
（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），
∴，∴，∴与不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
（17）（共12分）
解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0 所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直线PA的方程为y–2=． 令x=0，得点M的纵坐标为． 同理得点N的纵坐标为． 由，得，． 所以． 所以为定值． （20）（共14分） 解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以 M(α，α)= [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2， M(α，β）= [(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1． （Ⅱ）设α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，则M(α，α）= x1+x2+x3+x4． 由题意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)为奇数， 所以x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3． 所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1). 经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素． 所以集合B中元素的个数不超过4. 又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B中元素个数的最大值为4. （Ⅲ）设Sk=( x1，x 2，…，xn）|( x1，x 2，…，xn）∈A，xk =1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)， Sn+1={( x1，x 2，…，xn）| x1=x2=…=xn=0}， 则A=S1∪S1∪…∪Sn+1． 对于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证，M(α，β)≥1. 所以Sk（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素． 所以B中元素的个数不超过n+1. 取ek=( x1，x 2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）. 令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件. 故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．下载本文
