刘 忠（江西省永丰中学特级教师）
（原创）
数学试卷讲评课该怎么上，是按题号顺序一道题接一道题地讲，还是简单地打乱顺序讲，抑或用其他方法讲？这个问题一直是数学教育工作者努力探求的问题. 教学实践表明，首先确定哪些题该讲、哪些题不该讲，再就该讲的题从大众化的思想方法、模型化的知识题型、规范化的解题过程等角度去归类讲解，是上好数学试卷讲评课的基本策略.
一、该不该讲
笔者曾经听过一节高三理科重点班试卷讲评公开课，这节课老师只讲了前5个较简单的选择题（全卷共22道题），在课堂上老师 “表演”得非常精彩. 但当我们得知班平均120多分（满分150分），且此5题又基本无人错时，我们真为这些学生感到难过啊！这位老师没有针对性地、根本没有考虑学生实际情况的试卷讲评有什么用呢？
老师在讲评试卷之前首先要批改试卷，而批改试卷不仅要给出学生的得分，更重要的还要记载学生的错误情况.试卷改完后，老师既要把学生的得分情况（包括及格率、优秀率、平均分、最高分等）统计好，还要把学生答题的错误情况统计好（大题可按答对60%就算对的方法统计），并将试卷逐份浏览，以掌握每个学生的答题情况.做完了这些工作之后才能进课堂讲评试卷了.试卷讲评课首先要对试卷的难度作出评价，再将统计好的学生得分情况告诉学生（千万不要点得分低的学生的名），使同学们知道自己在这次考试中所处的“地位”，以利于他们对这次考试进行总结.接下来，就要根据统计好的全班学生每道题的错误情况确定哪些题该讲哪些题不该讲了.
二、该怎么讲
试卷讲评课是复习课的一种类型. 我们知道，在复习过程中不能“以考代教”，这是因为，即使将若干套试卷合在一起也不可能覆盖所有的知识点和方法点，特别是在近几年的高考试题不注重知识点覆盖率（主要注重思想和方法的覆盖率）的情况下。因此我们就更有必要在试卷讲评时将要讲的试题按照大众化的思想方法、模型化的知识题型、规范化的解题过程等去归类讲解，并在此基础上讲清试题的来龙去脉、讲清试题的推广与引申，以达到在试卷讲评的同时复习知识和方法的目的.
1、讲“大众化”的思想方法
数学考试离不开考查数学的思想和方法，在复习过程中我们当然要对它们进行归纳总结.虽然我们偶尔也会讲一讲某些技巧性较强的思想和方法，但我们千万不能本末倒置、千万不能把强化“通性通法”置之脑后. 有这样一些老师，他们热衷于向学生灌输思维巧妙、技巧极强的解题方法，他们认为这样做可以使学生“居高临下”.实际上这些老师的做法不但不能使学生居高临下，相反地还会导致学生邯郸学步. 究竟什么样的方法才是好方法呢？笔者认为，一般学生最容易想到、最容易掌握的方法才是真正的好方法. 据“最近发展区”理论，教师应正确地认识学生现有发展水平和其潜在的发展可能，合理地组织教学，使教学建立在学生通过一定努力就可能达到要求的智力发展水平的知识水平上，并据此确定知识的广度、深度. 只有这样学生才能掌握较多的数学思想和方法，并且能灵活运用，从而在考试中取得好成绩.
在一次考试中有这样一道题：证明不等式. 本题的解法有多种，但就下面两种方法而言我们应该选择哪一种呢？
解1 构造函数
∴为单调递减函数，∴
亦即.
解2 数学归纳法. 所证不等式可变形为：.（1）当n＝3时，不等式显然成立.（2）假设当时不等式成立，即，则当n=k+1时，. ∵
∴. ∴当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式时成立.
因为本题是关于正整数n的命题，用数学归纳法证明非常自然，而导数法因技巧性相对较强而难于想到，所以最好选数学归纳法.
通性通法很多，除了课本上介绍的思想、方法以外，我们还可以结合试卷上的试题特点从以下一些思想、方法的角度去讲解：
（1）分离常数法.如：已知函数y=，①求值域; ②作图象.
(∵y==, ∴值域为{y|y}，图象略).
（2）分离变量法. a≥f(x) a≥［f(x)］max,; a≤f(x) a≤［f(x)］min. 如：已知1+2x+3x·a≥0在(－∞,1上恒成立，求a的取值范围. (a≥－1).
（3）反客为主法.如：设不等式mx2-2x-m+10对于满足
|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围 .(将已知不等式变形为关于m的不等式，将客元m变为主元便易得出结论).
（4）利用数列的递推公式求通项公式的方法.①倒序相加法：如：求S= ()；②错位相消法；③待定系数法：如：已知数列{an}满足a1=2，求.(=2n-1+1) ；④累加法：如：已知数列{an}满足a1=1，an+1-an=n,求an. ；⑤累乘法：如：已知数列{an}满足a1=,.
（5）求函数值域的方法.①判别式法(x有无数个不可取的值时不可用此法).如：.；②单调性法.如：；③图象法；④复合法.如：；⑤换元法.如： ;⑥利用已知值域求值域的方法.如： ((-1，1))；⑦几何 法. 如： .
（6）构造法.①构造向量.如：已知实数m,n,a,b满足,求mx+ny的最大值.(设=(m,n), =(x,y), 最大值为).②构造平移.如：函数与的图象关于( )对称. A. x轴 B. y轴 C. 直线 D. 直线.(不妨设a>0, 先将函数图象向左平移a个单位,得到函数与的图象.再将与的图象向右平移a个单位,即得结论 C ).
（7）运动变化观. 如：正三棱锥相邻两个侧面所成的角是，求的取值范围.(当正三棱锥的顶点在底面的起始位置时，两“侧面”所成的角为π，在顶点向上运动到无穷高的终此位置时，所求的角几乎等于正三棱柱相邻两侧面所成的角，故()).
2、讲模型化的知识题型
将知识和题型模型化，有些人不赞成. 他们认为这样做不仅禁锢了学生的思维、阻碍了学生的发展、形成了学生的定势，而且还影响了学生发散性思维的形成. 对于这个有不同看法的问题实际上是探究性教学与接受性教学孰优孰劣的问题. 虽然现在提倡的是探究性教学，但也有的专家提出，初中的勾股定理、高中的球的体积公式学生也探究得出？所有的公式定理你都去探究一番吗？其实数学能够发展到今天，正是不断接受前人的研究成果、不断将典型问题模型化的功劳. 因此，我们在试卷讲评时要大胆地将知识、题型归类和模型化. 以下一些知识、方法的归类和模型化可供大家参考。
（1）一元二次方程根的分布问题：对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
①两实根都小于k②两实根都在(k1,k2)内③一根小于k1，另一根大于k2④两根有且只有一根在(k1,k2)内⑤两根中一根小于k，另一根大于kaf(k)<0.⑥两实根分别在(k1,k2) 、(k3,k4)内
（2）二次函数在给定闭区间上的值域：对于函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0),x∈[p,q] .①若h （3）排列组合基本模型：①分组：如：10个人平均分成两组有多少种不同的分法.；②将信投入信箱：设A={a1, a2, a3 ,a4},B={b1, b2, b3},则A→B的映射有多少个？(34)；③不相邻（插入法）；④相邻（捆绑法）；⑤“两不”：如：6人站一排，甲不站排头乙不站排尾，共有多少种站法？(504)；⑥相同的球放入不同的盒子（隔板法）：6个相同的球放入3不同的盒子每个盒子都不空，共有多少种不同的放法？(10). （4）①过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)引圆的两条切线，则切点弦所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. （5）①在等差数列{an}中，若项数为2n，则S偶-S奇＝nd,；若项数为2n+1，则； ②在等比数列{an}中，若项数为2n，则；若项数为2n+1，则. （6）①对于定义在R上的函数y=f (x)，若f (a+x)=f (b－x)，则y=f (x)的图象关于直线 x=对称 ；②已知定义在R上的函数y=f (x)，则函数y= f (a+x)与y=f (b－x)的图象关于直线 x=对称. 3、讲规范化的解题过程 会与对永远是数学考试的一对矛盾，如何解决这对矛盾是数学教师和学生永恒的主题. 但不少学生总是不以为然，他（她）们甚至在会与对之间画等号. 实际上会做的题会因为算错、看错、抄错等原因而致错，甚至有的情况下会因为结论写得不符合要求而扣分甚至得零分. 那么怎样才能避免这些错误呢？那就是老师在平常的教学过程中要讲，在试卷讲评时更要讲，要结合学生的错误情况有针对性地讲，并再一次告诉他们： （1）考试要精力集中、字迹清秀、操作规范、计算正确、不涂改. 精力集中、做事一板一眼是一种优秀品质，对成才大有裨益. 好的习惯靠平常养成，等出了问题再来纠正就非常困难了，所谓积重难返嘛. （2）出现错题要重做，要查明原因，要把失误点记入“错题集”.只有把失误控制在平常，才能取得考试的好成绩. （3）要避免不下结论或下错结论的事情发生.如： ①不要把函数的单调区间写成,或 “”，或. ②求函数的定义域和值域，不能只求出x和y的取值范围，而不把x和y的范围写成集合的形式，如不能将定义域写成“”. ③要注意区间的开闭.其实，区间的开闭问题是数学中的一个“敏感”问题. 如：函数y= 这个题的正确答案为，若为就只能得零分了. ④应用题得出结果后要标明单位. ⑤利用数学归纳法证明数学问题时，在验证了及证明了n=k和n=k+1成立后要有一个结论性的表述：由（1）（2）可知，命题当时都成立. ⑥注意角的范围而不写错结论. 如立体几何中求异面直线所成的角.当用解三角形的方法历尽“千辛万苦”才求出一个角为120°时，如果你的结论就是120°，那么这个填空题的得分又只能是零分了. 在解析几何中求直线的倾斜角也有类似的情况. ⑦有的选择题和填空题，题目问的是多个命题中错误命题的个数，而你做了不少类似的题，问的又都是正确命题的个数.在这种情况下你就很有可能因填上的是正确命题的个数而得零分. 总之，数学试卷讲评课的上法是很有学问的，我们要努力探求好的方法. 以上观点是本人的一些体会，不当之处请大家指正!下载本文
