求拐点坐标，通常是在数学中的函数图像分析中遇到的问题。拐点，就是函数图像上凹凸性发生改变的点。要求出拐点坐标，可以按照以下步骤操作：
求一阶导数：首先，你需要求出给定函数的一阶导数。一阶导数可以帮助我们了解函数在某一点的切线斜率，也就是函数在该点的增减性。
求二阶导数：接下来，对一阶导数再求导，得到二阶导数。二阶导数可以反映函数图像的凹凸性。
找出二阶导数为零或不存在的点：这些点可能是拐点。将二阶导数设为零，解出对应的x值。
判断凹凸性：在得到的每一个x值的左右两侧，分别取一个点，代入二阶导数中，根据其符号判断该点的凹凸性。如果二阶导数在x值左侧为正，在右侧为负，或者反之，则该点就是拐点。
求出拐点坐标：将上一步找出的x值代入原函数，求出对应的y值，这样就得到了拐点的坐标。
举个例子，如果函数是$f = x^3 - 3x$，其一阶导数是$f’ = 3x^2 - 3$，二阶导数是$f” = 6x$。令$f” = 0$，解得$x = 0$。在$x = 0$的左侧，二阶导数为负，函数图像为凸；在$x = 0$的右侧，二阶导数为正，函数图像为凹。因此，$x = 0$是一个拐点。将$x = 0$代入原函数，得到$y = 0$，所以拐点坐标是$$。
下载本文
