一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q等于（ ）
A．{x|3＜x＜7} B．{x|3＜x＜10} C．{x|3＜x＜4} D．{x|4＜x＜7}
2．若直线2x﹣y+2=0与直线y=kx+1平行，则实数k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
3．已知函数f（x）=，则f（f（））等于（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．8
4．若a=20.6，b=lg0.6，c=lg0.4，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
5．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．共点的三条直线只能确定一个平面
C．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
D．存在两条异面直线同时平行于同一个平面
6．已知直线3x﹣2y=0与圆（x﹣m）2+y2=1相交，则正整数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数f（x）=x+lg（x﹣2）的零点所在区间为（ ）
A．（2，2.0001） B．（2.0001，2.001） C．（2.001，2.01） D．（2.01，3）
8．如图，网格纸上校正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）
A．16+4π B．16+2π C．48+4π D．48+2π
9．若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=4上有n个点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则n等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=logf（x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（4，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
11．点A，B分别为圆M：x2+（y﹣3）2=1与圆N：（x﹣3）2+（y﹣8）2=4上的动点，点C在直线x+y=0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．设函数f（x）=﹣4x+2x+1﹣1，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，4] B．（﹣∞，4] C．（﹣4，0] D．[4，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分,将答案填在答题卡中横线上）
13．在空间直角坐标系中，设A（m，2，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=，则m= ．
14．已知f（x）为R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=log6x，则f（﹣4）+f（9）= ．
15．过点A（4，﹣1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是 ．
16．在正三棱锥P﹣ABC中，点P，A，B，C都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且球心O到底面ABC的距离为，则球O的表面积为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离的一半．
（1）求m的值；
（2）判断直线l与圆C：x2+（y﹣2）2=的位置关系．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，分E，F，G别为PD，AB，CD的中点，PD⊥平面ABCD
（1）证明AC⊥PB
（2）证明：平面PBC∥平面EFG．
19．（12分）已知函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，λ＜0，求g（λ）的取值范围．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1，AA1的中点
（1）求证：AB⊥平面AA1C1C
（2）判断MN与平面ABC1的位置关系，求四面体ABC1M的体积．
21．（12分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），已知该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在33℃的保鲜时间是24小时
（1）求k的值
（2）该食品在11℃和22℃的保鲜时间．
22．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）
（1）求直线12x﹣5y﹣1=0被圆C截得的弦长
（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点
（i）求证：为定值
（ii）若|PN|2+|QN|2=24，求直线L的方程．
2016-2017学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q等于（ ）
A．{x|3＜x＜7} B．{x|3＜x＜10} C．{x|3＜x＜4} D．{x|4＜x＜7}
【考点】并集及其运算．
【分析】直接利用集合的并集的运算法则，求出P∪Q即可．
【解答】解：集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q={x|3＜x＜10}，
故选：B．
【点评】本题考查集合的并集的基本运算，考查基本知识的应用．
2．若直线2x﹣y+2=0与直线y=kx+1平行，则实数k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据两条直线平行，它们的斜率相等，得出k的值．
【解答】解：∵直线2x﹣y+2=0等价于y=2x+2，与直线y=kx+1平行，
∴k=2；
故选：C
【点评】本题考查了两条直线平行的判定与应用问题，解题时应用两直线平行，斜率相等，即可得出答案．
3．已知函数f（x）=，则f（f（））等于（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．8
【考点】函数的值．
【分析】由已知得f（）=﹣（）2=﹣2，从而f（f（））=f（﹣2），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（）=﹣（）2=﹣2，
f（f（））=f（﹣2）==8．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意函数性质的合理运用．
4．若a=20.6，b=lg0.6，c=lg0.4，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=20.6＞20=1，
c=lg0.4＜b=lg0.6＜lg1=0，
∴c＜b＜a．
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
5．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．共点的三条直线只能确定一个平面
C．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
D．存在两条异面直线同时平行于同一个平面
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】A，平行于同一直线的两个平面平行可能相交；
B，共点的三条直线可能不在一个平面内；
C，无数条直线平行时，不能确定这两个平面平行；
D，根据线面平行的判定定理判断．
【解答】解：对于A，平行于同一直线的两个平面平行可能相交，故错；
对于B，共点的三条直线可能不在一个平面内，故错；
对于C，无数条直线平行时，不能确定这两个平面平行，故错；
对于D，根据线面平行的判定，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了空间线面位置关系，是对空间想象能力的考查，属于基础题．
6．已知直线3x﹣2y=0与圆（x﹣m）2+y2=1相交，则正整数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意圆心（m，0）到直线3x﹣2y=0的距离d小于半径r=1，由此利用点到直线的距离公式有求出正整数m的值．
【解答】解：∵直线3x﹣2y=0与圆（x﹣m）2+y2=1相交，
∴圆心（m，0）到直线3x﹣2y=0的距离d小于半径r=1，
∴d=＜1，
解得|m|＜，
∵m是正整数，∴m=1．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
7．函数f（x）=x+lg（x﹣2）的零点所在区间为（ ）
A．（2，2.0001） B．（2.0001，2.001） C．（2.001，2.01） D．（2.01，3）
【考点】二分法的定义．
【分析】由函数零点的存在性定理，结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可．
【解答】解：f（2.001）=2.001+lg（2.001﹣2）=2.001﹣3＜0，f（2.01）=2.001+lg（2.01﹣2）=2.01﹣2＞0，
由函数零点的存在性定理，函数ff（x）=x+lg（x﹣2）的零点所在的区间为（2.001，2.01）
故选：C
【点评】本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．
8．如图，网格纸上校正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）
A．16+4π B．16+2π C．48+4π D．48+2π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，该几何体的左边是底面面积为16，高为3的四棱锥，右边为半个圆锥，且其底面半径为2，高为3，即可求出其体积．
【解答】解：由三视图可知，该几何体的左边是底面面积为16，高为3的四棱锥，
右边为半个圆锥，且其底面半径为2，高为3，故体积为=16+2π，
故选B．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，是基础题目．
9．若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=4上有n个点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则n等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论．
【解答】解：圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=4是一个以（5，﹣1）为圆心，2为半径的圆．
圆心到4x+3y﹣2=0的距离为d==3，
所以圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=4上有n个点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，n=1，
故选A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，用到点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
10．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=logf（x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（4，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
【考点】复合函数的单调性．
【分析】令u=f（x），则y=logu在（0，+∞）递减，由图象可得f（x）在x轴上方的增减区间，由复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求区间．
【解答】解：令u=f（x），则y=logu在（0，+∞）递减，
而f（x）在（﹣∞，0）递减，在（4，+∞）递增，
由复合函数的单调性，可得
函数g（x）=logf（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）．
故选：A．
【点评】本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查数形结合思想方法，属于中档题．
11．点A，B分别为圆M：x2+（y﹣3）2=1与圆N：（x﹣3）2+（y﹣8）2=4上的动点，点C在直线x+y=0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】根据题意，算出圆M关于直线l对称的圆M'方程为（x+3）2+y2=1．当点P位于线段NM'上时，线段AB的长就是|AC|+|BC|的最小值，由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算，即可得出|AC|+|BC|的最小值．
【解答】解：设圆C'是圆M：x2+（y﹣3）2=1关于直线x+y=0对称的圆
可得M'（﹣3，0），圆M'方程为（x+3）2+y2=1，
可得当点P位于线段NM'上时，线段AB长是圆N与圆M'上两个动点之间的距离最小值，
此时|AC|+|BC|的最小值为AB，
N（3，8），圆的半径R=2，
∵|NM'|===10，
可得|AB|=|NM'|﹣R﹣r=10﹣2﹣1=7
因此|AC|+|BC|的最小值为7，
故选：A．
【点评】本题给出直线l与两个定圆，求圆上两个点A、B与直线l上动点P的距离之和的最小值，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
12．设函数f（x）=﹣4x+2x+1﹣1，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，4] B．（﹣∞，4] C．（﹣4，0] D．[4，+∞）
【考点】函数的值．
【分析】由题意求出f（x）的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于a的不等式组求解．
【解答】解：∵f（x）=﹣4x+2x+1﹣1=﹣（2x）2+2×2x﹣1=﹣（2x﹣1）2≤﹣1，
∴∀x1∈R，f（x）=﹣4x+2x+1﹣1∈（﹣∞，﹣1]，
∵∃x2∈R，使f（x1）=g（x2），
∴g（x）=lg（ax2﹣4x+1）的值域包含（﹣∞，﹣1]，
当a=0时，g（x）=lg（﹣4x+1），不成立；
当a≠0时，要使g（x）=lg（ax2﹣4x+1）的值域包含（﹣∞，﹣1]，
则ax2﹣4x+1≥0的解集是R，
∴，解得a≥4．
∴实数a的取值范围是[4，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分,将答案填在答题卡中横线上）
13．在空间直角坐标系中，设A（m，2，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=，则m= 1 ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】直接由空间中的两点间的距离公式列式求解．
【解答】解：∵A（m，2，3），B（1，﹣1，1），
∴，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，是基础的计算题．
14．已知f（x）为R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=log6x，则f（﹣4）+f（9）= 2 ．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）为R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=log6x，
∴f（﹣4）+f（9）=f（4）+f（9）=log+log69=log6（4×9）=log636=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．
15．过点A（4，﹣1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是 x+y﹣3=0，或x+4y=0 ．
【考点】直线的截距式方程．
【分析】分类讨论：当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．
【解答】解：设直线在x轴为a，y轴截距为b，
①当a=b=0时，直线过点（4，﹣1）和（0，0），
其方程为=，即x+4y=0．
②当a=b≠0时，
直线方程为x+y=a，
把点（4，﹣1）代入，得4﹣1=a，
解得a=3，
∴直线方程为x+y﹣3=0．
故答案为：x+y﹣3=0，或x+4y=0
【点评】本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，易错点是容易忽视a=b=0的情况，造成丢解．
16．在正三棱锥P﹣ABC中，点P，A，B，C都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且球心O到底面ABC的距离为，则球O的表面积为 12π ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．
【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
设球O的半径为R，
则正方体的边长为，
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=，
△ABC为边长为R的正三角形，S△ABC=（R）2=R2，
∴h=，
∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为R﹣==，∴，
∴S=4πR2=12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题．
三、解答题（共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2016秋•南平期末）已知两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离的一半．
（1）求m的值；
（2）判断直线l与圆C：x2+（y﹣2）2=的位置关系．
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
【分析】（1）求出两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离，利用两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离的一半，建立方程，即可求m的值；
（2）求出C到直线l的距离，即可得出结论．
【解答】解：（1）2x﹣y+1=0化为4x﹣2y+2=0，则两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于=，
∴点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离==，
∵m＞0
∴m=5；
（2）圆C：x2+（y﹣2）2=的圆心C（0，2），半径r=，
∵C到直线l的距离d==，
∴l与圆C相切．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查两条平行线间的距离，点到直线的距离公式，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•南平期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，分E，F，G别为PD，AB，CD的中点，PD⊥平面ABCD
（1）证明AC⊥PB
（2）证明：平面PBC∥平面EFG．
【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连结BD，推导出PD⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．
（2）推导出GE∥平面PBC，GF∥平面PBC，由此能证明平面PBC∥平面EFG．
【解答】证明：（1）连结BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵PB⊂平面PBD，∴AC⊥PB．
（2）∵G、E分别为CD、PD的中点，∴CE∥PC，
又GE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，
∴GE∥平面PBC，
在正方形ABCD中，G、F分别为CD、AB的中点，
∴GF∥BC，又GF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴GF∥平面PBC，
∵GF∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19．（12分）（2016秋•南平期末）已知函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，λ＜0，求g（λ）的取值范围．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）利用配凑法进行求解即可．
（2）求出函数g（x）的表达式，结合一元二次函数单调性的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）∵f（x+1）=x+3a=x+1+3a﹣1，
∴f（x）=x+3a﹣1，
∵f（a）=3，∴f（a）=a+3a﹣1=4a﹣1=3，
得4a=4，则a=1，
即函数f（x）的解析式f（x）=x+2；
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+1=x•（x+2）+λ（x+2）+1
=x2+（2+λ）x+2λ+1，
函数的对称轴为x=﹣，
若函数g（x）在（0，2）上具有单调性，λ＜0，
则﹣≤0或﹣≥2，
即λ≥﹣2或λ≤﹣6，
∵λ＜0，
∴λ≤﹣6或﹣2≤λ＜0，
则g（λ）的取值范围是λ≤﹣6或﹣2≤λ＜0．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的判断和应用，根据一元二次函数的性质是解决本题的关键．
20．（12分）（2016秋•南平期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1，AA1的中点
（1）求证：AB⊥平面AA1C1C
（2）判断MN与平面ABC1的位置关系，求四面体ABC1M的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出AB⊥ACAA1⊥AB，由此能证明AB⊥平面AA1C1C．
（2）取BB1中点D，推导出平面MND∥平面ABC1，从而MN∥平面ABC1，过N作NH⊥AC1于H，M到平面ABC1的距离为，由此能求出四面体ABC1M的体积．
【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=，BC=3，
AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，
∵AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，
∵AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1C．
解：（2）MN∥平面ABC1．
取BB1中点D，
∵M，N分别为B1C1，AA1的中点，
∴MD∥BC1，
又四边形ABB1A1为平行四边形，∴DN∥AB，
∵MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC1，
∴MN∥平面ABC1，
∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离，
过N作NH⊥AC1于H，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，∴NH⊥平面ABC1，
∴NH===，
∴M到平面ABC1的距离为，
∴四面体ABC1M的体积===．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．（12分）（2016秋•南平期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），已知该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在33℃的保鲜时间是24小时
（1）求k的值
（2）该食品在11℃和22℃的保鲜时间．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由题意可得，x=0时，y=192；x=33时，y=24．代入函数y=ekx+b，解方程，可得k的值；（2）分别将x=11，22带入函数y=ekx+b，求出对应的保鲜时间即可．
【解答】解：（1）由题意可得，x=0时，y=192；x=33时，y=24．
代入函数y=ekx+b，得：ek×0+b=192①，ek×33+b=24②
②÷①，解得：k=﹣；
（2）由（1）得：x=11时，e11k+b=x③，
∴③÷①得：e11k==，解得：x=96，
故该食品在11℃的保鲜时间是96小时；
x=22时，e22k+b=y④，
∴④÷①得：e22k==，解得：y=48，
故该食品在22℃的保鲜时间是48小时．
【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．
22．（12分）（2016秋•南平期末）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）
（1）求直线12x﹣5y﹣1=0被圆C截得的弦长
（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点
（i）求证：为定值
（ii）若|PN|2+|QN|2=24，求直线L的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）先求出圆的方程，再求直线12x﹣5y﹣1=0被圆C截得的弦长
（2）（i）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x﹣3=0，利用韦达定理即可证明；
（ii）若|PN|2+|QN|2=24，利用韦达定理，求出直线的斜率，即可求直线L的方程．
【解答】解：（1）由题意，C（a，0），z\则kCM=，
∴•（﹣）=﹣1，∴a=﹣1，
∴C（﹣1，0），|CM|=2，即r=2，
∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．
圆心到直线12x﹣5y﹣1=0的距离为1，∴所求弦长为2=2；
（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x﹣3=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣．
（i）==为定值；
（ii）|PN|2+|QN|2=+
=﹣（4+2k）（x1+x2）+10=+16=24，
∴k=1或﹣，
∴直线L的方程为y=x或y=﹣．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．下载本文
