燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．
O
F
E D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==
S
3
S 1S 4S 2E D
C
B
A
【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，
所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形
ACE 与三角形C E D 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.
【例 1】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边
形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【1/18】
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A B C
D E
F
【例 1】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF
的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【12】
A
B
C
D E
F G
A
B
C
D
E
F G
【例 1】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边
形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【1/18】
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A B C
D E
F
【例 1】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【12】
A
B
C
D E
F G
A
B
C D
E
F G
如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积
.[12.5]
如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占
ABC △ 面积的几分之几？[9/20]
O
E D
C
B
A
如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米
?[5/12]
x y
y x A
B C
D E F
G
E D C
B
A
【例 1】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于
G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．[96]
G
F
E D
C
B
A
【例 1】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边
形BGHF 的面积是_____平方厘米．
[14]
E
D
【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？[1/2]
A B
C
D
E O
A
B
C
D
E O
【例 1】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC
上的点，且13AE AB =，14CF BC
=，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，
则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．[15]
B
E
H B
E
B
E
【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．[27/16] 【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡
见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .[10/9]
O F E
D
C
B
A
【例 1】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，
:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积
为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．[1/19] I H
G
F
E
D
C
B
A
如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三
角形ABC 的面积．[19]
I
H G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B
A
(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，
2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．
[7]
B
C
B
点评】如果任意一个三角形各
边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求
角形GHI 的面积．[1/37]
I
H G F
E
D
C
B
A
【例 1】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分
别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？
[18]
右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
[2]
【例 1】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG
交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘
米，则ABC △的面积是多少平方厘米？[336]
N M G
A B
C
D E F
N
M
G
A B
C
D E
F
【例 1】 2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内
作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．[2]
【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m ，阴影部分的面积是 ．[16]
【例 1】如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)[39.25]
【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)[57:100]
【例 1】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．[37.5]
A
【例 1】请计算图中阴影部分的面积．[30]
【例 1】求图中阴影部分的面积．
[36]
【例 1】求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14
)[4.56]
【例 1】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的
4
15，是小圆面积的3
5．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？
[7.5]
例1一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯内侧的底面积是72cm2，在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？[5]例7 左下图是一个立体图形的侧面展开图（单位：cm），求这个立体图形的表面积和体积。[157]
【例 1】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．[214]
【例 1】(附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞
口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表
面积和体积．[785.12p 668.L]
