数学（文史类）

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合，集合为整数集，则（ ）

A、B、C、D、

2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是（ ）

A、总体B、个体

C、样本的容量D、从总体中抽取的一个样本

3、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）

A、向左平行移动个单位长度B、向右平行移动个单位长度

C、向左平行移动个单位长度D、向右平行移动个单位长度

4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）

A、B、C、D、

5、若，则一定有（ ）

A、B、

C、D、

6、执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的的最大值为（ ）

A、B、C、D、

7、已知，，则下列等式一定成立的是（ ）

A、B、C、D、

8、如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）

A、B、

C、D、

9、设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）

A、B、C、D、

10、已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）

A、B、C、D、

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、双曲线的离心率等于____________。

12、复数____________。

13、设是定义在上的周期为的函数，当时，则____________。

14、平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________。

15、以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，。现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；

②若函数，则有最大值和最小值；学科网

③若函数，的定义域相同，且，则；

④若函数（，）有最大值，则。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的序号）。

3、解答题：本大题共6小题，共75分。

16、(本小题满分12分)

一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，。

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，不完全相同”的概率。

17、(本小题满分12分)

已知函数

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若是第二象限角，求的值。

18、(本小题满分12分)

在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。

（Ⅰ）若，证明：直线平面；

（Ⅱ）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。

19、(本小题满分12分)

设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。

（Ⅰ）证明：数列为等差数列；学科网

（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。

20、(本小题满分13分)

已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于。当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。

21、(本小题满分14分)

已知函数，其中，为自然对数的底数。

（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；学科网

（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。下载本文