2017年浙江省高中数学竞赛

一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分.

1.在多项式的展开式中的系数为          ．

2.已知,则实数          ．

3.设在中有两个实数根,则的取值范围为          ．

4.设,,且,则          ．

5.已知两个命题,命题:函数()单调递增；命题：函数（）．若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为          ．

6.设是中所有有理数的集合，对简分数，，定义函数，则在中根的个数为          ．

7.已知动点，，分别在轴上，圆和圆上，则的最小值为          ．

8.已知棱长为1的正四面体，的中点为，动点在线段上，则直线与平面所成的角的取值范围为          ．

9.已知平面向量，，，满足，，，，若，则所有取不到的值的集合为          ．

10.已知方程有三个根．若，则实数          ．

二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）

11.设，，，2，…．对每个，求的实数解．

12.已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于，两点．若的中点为原点，直线交直线于．

（1）求的大小；

（2）求的最大值．

13.设数列满足：，，1,2,3，…．

证明：如果为有理数，则从某项后为周期数列．

14.设，，；，，，证明：存在不全为零的数，，，使得和同时被3整除．

15.设为的一个排列，记，，求．

2017年浙江省高中数学竞赛答案

一、填空题

1.    2.2    3.    4.（） 5.     6.5         7.   8.    9.     10.

三、解答题

11.证明：利用数学归纳法．

（1）是的解．　

当时，是的解.

当时，设，则.

由此可得是的解（对于所有的）.

（2）当时，．

当时，．

当时，设，则．

由此可得都不是的解（对于所有的）．

（3）当时，．

当时，（）.

当时，设，则．

由此可得都不是的解（对于所有的）．

因此，对每个，的实数解为．

12.解：（1）联立可得．

设点的坐标为，点的坐标为，

则，．　

于是有．　

因为的中点为，所以，因此的斜率，

因为直线交直线于，所以，故的斜率为，

即得，因此与垂直，．

（2）

．

令，则，

由于，故 . 

因此（当时取到最大值，也即）．

综上所述，的最大值为．

13.证明：（1）若为有理数，则为一个有理数数列．

（2）对于任意的，设，，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立：

或．　(*)

与有相同的分母（不进行约分）．

（3）设，，则，为整数，由于，1，2,3，…，因此．

（4）若存在两个自然数，使得，则由（2）中得到的（*）递推公式以及，1,2,3，…，可得从第项开始是一个周期数列，周期为．

（5）由（3）可知对于任意的，的值只有（有限个），故总能找到，使得，从而有．

综上所述，如果为有理数，则从某项后为周期数列．

14.证明：不妨设，，，，．则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数，，，使得．(*)

记，这里．

情形（1）当时，则，或者，不全为零．

若，则取，，有（*）式成立．

若，不全为零，不妨设，则取,,,且

即(*)式.

情形（2）当或2时，即．

记，，这里，．

令，，，则，，且不全为零，且，

类似可以证明．

综上所述，可以取到不全为零的数，，，使得（*）式成立．

15.解：问题等价于圆周上放置个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值记为．

不妨设，则数字1必与它相邻，否则设（，），则可将，，…，的数字改变为，，…，上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为

．

于是可确定．再说明数字2也必与数字相邻，即．

事实上，若（），则交换，，…，为，，…，，此时的目标改变值为

．　

因此目标取到最小值时，，，．由此出发，依次可得，．　在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大对小，小对大放置．由此规律即得，，，，…．

下面用递推法计算．　

考虑个数字，我们在的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，这两个数字，在，的中间插入，1，即可得到．

因此，，

其中，

由此可得，

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