2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）第二次段考数学试卷

一、填空题：

1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B=__________．

2．设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=__________．

3．在△ABC中，若==，则△ABC是__________三角形．

4．（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是__________．

5．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为__________．

6．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为__________．

7．设方程2lnx=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为__________．

8．若不等式x2﹣logmx＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为__________．

9．已知函数f（x）=x2+2x﹣3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是__________．

10．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x0）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为__________．

11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=x+y，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是__________．

12．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为__________．

13．设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于__________．

14．已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是__________．

二、解答题：

15．（14分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

16．（14分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．

（1）求a的值；

（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；

（3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．

17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．

（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；

（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．

18．（16分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．

（1）求角A的正弦值；

（2）求边b、c；

（3）求d的取值范围．

19．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；

（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．

20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．

（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；

（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；

（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．

（附加题）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21．求函数y=sin2（2x+）的导数．

22．将水注入锥形容器中，其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．

23．证明下列命题：

（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；

（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．

24．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）

（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；

（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．

2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）第二次段考数学试卷

一、填空题：

1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1，2}．

【考点】交集及其运算． 

【专题】计算题．

【分析】利用交集的定义找出A，B的所有的公共元素组成的集合即为A∩B．

【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，

∴A∩B={1，2}

故答案为：{1，2}．

【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．

2．设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．

【考点】复数代数形式的乘除运算． 

【专题】计算题．

【分析】把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．

【解答】解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，

所以=====i．

故答案为：i．

【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．

3．在△ABC中，若==，则△ABC是等腰直角三角形．

【考点】正弦定理． 

【专题】解三角形．

【分析】由条件利用正弦定理可得sinA=cosA，sinB=cosB，可得A=B=，故C=，可得三角形为等腰直角．

【解答】解：△ABC中，∵==，再由正弦定理可得 ==，

故有sinA=cosA，sinB=cosB，∴A=B=，∴C=，

故三角形为等腰直角，

故答案为：等腰直角．

【点评】本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．

4．（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]．

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质． 

【专题】计算题．

【分析】先求导函数，由函数在区间（0，1]上是减函数，可得导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立，从而可求实数a的取值范围．

【解答】解：显然a≠0，

求导函数可得：

∵函数在区间（0，1]上是减函数，

∴在区间（0，1]上恒成立

∴

∴a≤0或1＜a≤3

∵a≠0

∴实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]

故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3]

【点评】本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，解题的关键是利用导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立建立不等式．

5．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为．

【考点】正弦函数的图象． 

【专题】二项式定理．

【分析】由条件利用正弦函数的增区间可得2ω•﹣≤，由此求得ω的最大值．

【解答】解：由函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，可得2ω•﹣≤，

求得ω≤，故ω的最大值为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．

6．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 

【专题】导数的综合应用．

【分析】求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．

【解答】解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），

所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），

把x=0代入切线方程得：y=0，

所以切线与y轴交点坐标为 （0，0）．

故答案为：（0，0）．

【点评】本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．

7．设方程2lnx=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为2．

【考点】根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法． 

【专题】数形结合．

【分析】先画出f（x）=2lnx 和g（x）=10﹣3x 这两个函数的大致图象，因为是要求整数解，所以比较下整数点

通过图象可先判断出，2＜x0＜3

再看不等式，2x﹣3＜x0因为要求整数解，所以2x﹣3也应为整数，

所以有 2x﹣3≤2

 所以x≤5/2 那么最大整数解为2

【解答】解：先画出f（x）=2lnx 和g（x）=10﹣3x 这两个函数的大致图象如图：

通过图象可先判断出2＜x0＜3

∵2x﹣3＜x0

∴2x﹣3≤2 

∴x≤5/2 

故最大整数解为2

【点评】考察了函数图象的画法和利用数学结合解决实际问题．

8．若不等式x2﹣logmx＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为[，1）．

【考点】函数恒成立问题． 

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】把已知的不等式变形，转化为一个二次函数和一个对数函数的图象高低问题，然后列出不等式求解m的取值范围．

【解答】解：由x2﹣logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图，如图所示

要使x2＜logmx在（0，）内恒成立，只要y=logmx在（0，）内的图象在y=x2的上方，

于是0＜m＜1

∵时，

∴只要时，，

∴，即．

又0＜m＜1，

∴．

即实数m的取值范围是．

【点评】本题考查了恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，正确画出图象是解答该题的关键，是中档题．

9．已知函数f（x）=x2+2x﹣3，集合M={（x， y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是4π．

【考点】二次函数的性质；交集及其运算． 

【专题】综合题；函数的性质及应用．

【分析】先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问题．

【解答】解：因为f（x）=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，f（y）=（y+1）2﹣4，

则f（x）+f（y）=（x+1）2+（y+1）2﹣8，f（x）﹣f（y）=（x+1）2﹣（y+1）2．

∴M={（x，y）=（x+1）2+（y+1）2≤8}，

N={（x，y）||y+1|≤|x+1|}．

故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形，其面积为圆面积的一半，即为4π．

故答案为：4π．

【点评】求条件（一般用不等式组来表示）所表示平面区域的面积，一般分为如下步骤：①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积．

10．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x0）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为（）．

【考点】导数的运算． 

【专题】导数的概念及应用．

【分析】首先判断出f（x）为奇函数，令f（x）=2ax（a＞0），根据条件列出不等式，解得即可．

【解答】解：由存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x0）＜0，

∴f（x）为奇函数，

令f（x）=2ax（a＞0），

∴F（x）=ax2，

∵F（2x﹣1）＜F（x）

∴F（2x﹣1）﹣F（x）=a（2x﹣1）2﹣ax2=a（3x﹣1）（x﹣1）＜0

即（3x﹣1）（x﹣1）＜0，

解得，．

故答案为：

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及不等式的解法，属于基础题．

11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=x+y，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是4．

【考点】平面向量的基本定理及其意义． 

【专题】平面向量及应用．

【分析】由||=||=•=2，=x+y，不妨设=（2，0），=（m，n），利用=2，2m=2，

解得m=1，n=．可得=x+y=．令a=2x+y，b=，解得，x=，

由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得+≤1，对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．即可得出．

【解答】解：∵||=||=•=2，

不妨设=（2，0），=（m，n），

∴=2，2m=2，

解得m=1，n=．

∵=x+y，=x（2，0）+y=．

令a=2x+y，b=，

解得，x=，

由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得+≤1，

对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．

可得（a，b）满足的区域的面积为=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了向量的运算性质、基本不等式的性质、线性规划的有关知识、的面积，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

12．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为2．

【考点】余弦定理． 

【专题】三角函数的求值．

【分析】在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简，表示出cosA，再利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算求出b的值，即为AC的长．

【解答】解：在△ABC中，AB=c=5，BC=a=3，AC=b，∠B=2∠A，

由正弦定理=得：=，即=，

整理得：b=6cosA，即cosA=，

再由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=b2+25﹣10b•，

解得：b=2（负值舍去），

则AC=b=2．

故答案为：2

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

13．设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于2．

【考点】平面向量数量积的运算． 

【专题】平面向量及应用．

【分析】利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：===．

只考虑x＞0，

则===≤2，

当且仅当时取等号．

∴的最大值等于2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．

【考点】函数与方程的综合运用． 

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x1，x2的关系．②将化为一个变量的函数g（x2）．

（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x1|+|x2|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．

【解答】解：解法一：

先考虑0≤x1≤1，0≤x2≤1的情形，

则x1+x2=1===

当m＞0，令函数g（x）=，x∈[0，1]，

由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，，

当m＜0，同理．x1、x2在其他范围同理．

综上可得．

解法二：

==，∴为点P与点Q（x2，x1）连线的斜率．P点在直线上．

由图可得直线PQ斜率的范围，即的范围．

【点评】熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．

二、解答题：

15．（14分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 

【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．

【分析】（I）利用数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式即可得出f（x）的最小正周期及对称轴方程；

（II）利用三角函数的单调性、三角形的面积计算公式及其余弦定理即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），

∴函数f（x）==sin2x+2+2cos2x

=．

∴T=，

由于，则x=（k∈N）

故函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为x=（k∈N）．

（Ⅱ）由f（A）=4得，，∴．

又∵A为△ABC的内角，∴，

∴，解得．

∵，b=1，

∴，解得c=2．

由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=4+1﹣2×=3．

∴a=．

【点评】熟练掌握数量积得坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式、三角函数的单调性、三角形的面积计算公式及其余弦定理等是解题的关键．

16．（14分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．

（1）求a的值；

（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；

（3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．

【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）由f（x）=log2﹣x为奇函数，满足f（﹣x）+f（x）=0，代入可得a的值；

（2）设1＜x1＜x2＜+∞，结合对数运算性质，判断f（x1）﹣f（x2）的符号，进而可得函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；

（3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，m＜[f（x）﹣2x]min，分析f（x）﹣2x的单调性并求出最值，可得实数m取值范围．

【解答】解：（1）由条件得：f（﹣x）+f（x）=0，

∴，

化简得（a2﹣1）x2=0，

因此a2﹣1=0，a=±1，

当a=1时，，不符合题意，

因此a=﹣1．        …

（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）

（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；

证明如下：设1＜x1＜x2＜+∞，

，

∵1＜x1＜x2＜+∞，

∴x2﹣x1＞0，x1±1＞0，x2±1＞0，

∵（x1+1）（x2﹣1）﹣（x1﹣1）（x2+1）=x1x2﹣x1+x2﹣1﹣x1x2﹣x1+x2+1=2（x2﹣x1）＞0，

又∵（x1+1）（x2﹣1）＞0，（x1﹣1）（x2+1）＞0，

∴，，

又x2﹣x1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；

（也可以利用导数证明，对照给分）          …

（3）不等式为m＜f（x）﹣2x恒成立，

∴m＜[f（x）﹣2x]min

∵f（x）在x∈[2，3]上单调递减，2x在x∈[2，3]上单调递增，

∴f（x）﹣2x在x∈[2，3]上单调递减，

当x=3时取得最小值为﹣10，

∴m∈（﹣∞，﹣10）…（14分）

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，恒成立问题，奇函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．

（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；

（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．

【考点】两角和与差的正弦函数． 

【专题】应用题；三角函数的图像与性质．

【分析】（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=MN•AQ可求

（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解

【解答】解：（1）设MN交AD交于Q点

∵∠MOD=30°，

∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）

S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…

（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ

∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）

=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．

令sinθ+cosθ=t∈[1，]，

∴S△PMN=（t+1+）

θ=，当t=，

∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）

【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键

18．（16分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．

（1）求角A的正弦值；

（2）求边b、c；

（3）求d的取值范围．

【考点】余弦定理；简单线性规划． 

【专题】综合题；数形结合．

【分析】（1）把已知的条件变形后，利用余弦定理得到cosA的值，然后根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值；

（2）根据三角形的面积公式及，a=3，联立即可求出b与c的值；

（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，利用间接法求出三角形面积并让其等于6得到关于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，两者联立消去z后表示出y的关系式，利用距离大于等于0得到一个不等式组，画出此不等式组所表示的平面区域，在平面区域内得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范围．

【解答】解：（1）由

变形得，利用余弦定理得

因为A∈（0，π），所以sinA===；

（2）∵，∴bc=20

由及bc=20与a=3

解得b=4，c=5或b=5，c=4；

（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，

则

又x、y满足

由d=+（2x+y）得到y=﹣2x+5d﹣12，画出不等式表示的平面区域得：y=﹣2x+5d﹣12是斜率为﹣2的一组平行线，

当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=；

当该直线过A点时，与y轴的截距最大，把A（4，0）代入即可求得d=4，

所以满足题意d的范围为：

【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．

19．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；

（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 

【专题】导数的综合应用．

【分析】（1）根据函数的极小值，求出a，b的值，进而可求f（x）的单调递减区间；

（2）求出g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1的表达式，利用二次函数的图象和性质，建立条件关系即可得到结论围；

（3）利用参数分离法，将不等式转化为求参数的最值问题．

【解答】解：（1）由f'（x）=3ax2﹣2x+b，因为函数在x=3时有极小值﹣9，

所以，从而解得，

所求的，所以f'（x）=x2﹣2x﹣3，

由f'（x）＜0解得﹣1＜x＜3，

所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，3），

（2）由f'（x）=x2﹣2x﹣3，故g（x）=2mx2+（2m﹣8）x+1，

当m＞0时，若x＞0，则h（x）=mx＞0，满足条件；

若x=0，则g（0）=1＞0，满足条件；

若x＜0，g（x）=2mx2+（2m﹣8）x+1，

①如果对称轴x0=≥0，即0＜m≤4时，g（x）的开口向上，

故在（﹣∞，x0]上单调递减，又g（0）=1，所以当x＜0时，g（x）＞0 

②如果对称轴x0=＜0，即4＜m时，△=（2m﹣8）2﹣8m＜0

解得2＜m＜8，故4＜m＜8时，g（x）＞0；

所以m的取值范围为（0，8）；

（3）因为f′（x）=x2﹣2x﹣3，

所以f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4等价于x2+4x+1＞k（xlnx﹣1），即，

记，则，

由φ′（x）＞0，得x＞k+1，

所以φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，

所以φ（x）≥φ（k+1）=k+6﹣kln（k+1），

φ（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+6﹣kln（k+1）＞0，即，

记，则，

所以m（x）在（0，+∞）上单调递减，又，

所以k的最大值为6．

【点评】本题主要考查函数的单调性，极值和导数的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．

20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．

（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；

（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；

（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．

【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题． 

【专题】导数的综合应用．

【分析】（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，可得一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根，可得f（x）存在极大值

和极小值．

（2）分a=b、a＞b、a＜b三种情况，求得f（x）的减区间，再求出f′（x）减区间，可得f（x）与′的公共减区间，

从而求得公共减区间的长度．

（3）由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=，故

（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求得实数m，a，b满足的条件．

【解答】解：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，…

∵a≠b，∴，

∴一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根 b和，

∴f（x）存在极大值和极小值． …

（2）①若a=b，f（x）不存在减区间．

②若a＞b，由（1）知x1=b，x2=，∴A（b，0），B ，

∴，∴（a﹣b）2 =，∴．

③当a＜b时，x1=，x2=b，同理可得a﹣b=（舍）．

综上a﹣b=…..…．

∴f（x）的减区间为即（b，b+1），f′（x）减区间为，

∴公共减区间为（b，b+），故公共减区间的长度为． …

（3）∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2 ≥m•x（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，

∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0．

若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种

情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．

∴，…

∴（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．

若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0．

若a+2b≠0，则 x1=b，，且 b=．

①当b=0，则由二次函数的性质得 a＜0，

②当b≠0，则  ，∴a=b，且b＜0．

综上可得，，a=b≤0或 a＜0，b=0．…..（16分）

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

（附加题）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21．求函数y=sin2（2x+）的导数．

【考点】简单复合函数的导数；导数的运算． 

【专题】导数的概念及应用．

【分析】法一：利用复合函数的求导公式直接求导；

法二：先用二倍角公式降幂，再利用复合函数的导数公式求导．

【解答】解：法一：=…

法二：∵…

∴…

【点评】本题考查复合函数的导数及二倍角公式，属于基本计算题，对相应的运算规则要熟练掌握

22．将水注入锥形容器中，其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．

【考点】函数模型的选择与应用；导数的运算；利用导数研究函数的单调性． 

【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．

【分析】由题，依据图形得出V关于高度h的函数及高度h关于t的函数，利用导数研究其变化规律即可得出水面上升的速度．

【解答】解：设注入水tmin后，水深为hm，由相似三角形对应边成比例可

得水面直径为，

这时水的体积为    …

由于水面高度h随时间t而变化，因而h是t的函数h=h（t）

由此可得水的体积关于时间t的导数为

由假设，注水速度为4m3/min，∴

所以当h=5时，ht'=，

当水深为5m时，水面上升的速度．        …

法（2）设t时刻水面的高度为hm

则……

由=5…∴…

【点评】本题考查建立函数模型及利用导数研究实际问题中事物变化的规律，导数在实际问题中有着广泛的运用

23．证明下列命题：

（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；

（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．

【考点】简单复合函数的导数；导数的运算． 

【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．

【分析】（1）利用复合函数导数公式及周期性定义即可证明；

（2）利用复合函数导数公式及奇偶性定义即可证明；

【解答】证明：（1）设f（x）的周期为T，则f（x）=f（x+T）．

∴f′（x）=[f（x+T）]′=f′（x+T）•（x+T）′

=f′（x+T），即f′（x）为周期函数且周期与f（x）的周期相同．…

（2）∵f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）．

∴[f（﹣x）]′=[﹣f（x）]′．

∴f′（﹣x）•（﹣x）′=﹣f′（x）．

∴f′（﹣x）=f′（x），即f′（x）为偶函数        …

【点评】本题考查复合函数的求导公式及周期性及奇偶性的证明，有一定的综合性

24．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）

（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；

（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 

【专题】计算题．

【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与g（x）的图象相切，所以g（x）在点（1，0）的导函数值为1，建立方程组，解之即可求出g（x）的解析式；

（2）先利用导数研究出函数h（x）在（0，+∞）的单调性，连续函数在区间（0，+∞）内只有一个极值，那么极大值就是最大值．

【解答】解：（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，

所以直线l的方程为y=x﹣1．

又因为直线l与g（x）的图象相切，

所以在点（1，0）的导函数值为1．

所以

（2）因为h（x）=f（x）﹣g′（x）=lnx﹣x2﹣x+1（x＞0）

所以

当时，h′（x）＞0；当时，h′（x）＜0

因此，当时，h（x）取得最大值

所以函数h（x）的值域是．（13分）

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．下载本文