一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．（3分）2021的相反数是（　　）

A．﹣2021 B．2021 C． D．

2．（3分）从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（　　）

A．5.7×106 B．57×106 C．5.7×107 D．0.57×108

3．（3分）如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为（　　）

A．15° B．25° C．35° D．45°

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a﹣2＝﹣a2 B．a2+a3＝a5 C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a6

5．（3分）如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（　　）

A．测得的最高体温为37.1℃    

B．前3次测得的体温在下降    

C．这组数据的众数是36.8    

D．这组数据的中位数是36.6

6．（3分）如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（　　）

A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图    

C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同

7．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形

内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ，则梯子顶端上升了（　　）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米

9．（3分）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（　　）

A．100 B．121 C．144 D．169

10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①0；②2b﹣4ac＝1；③a；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）

11．（3分）计算：|1|+（π﹣2021）0＝　           　．

12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为 　    　．

13．（3分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若3，则k＝　              　．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为 　               　．（结果保留π）

15．（3分）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有x，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知π，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数…现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为 　                　．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则的值为 　              　；若CE＝CF，则的值为 　              　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）

17．（5分）先化简，再求值：（1），其中x＝1．

18．（7分）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）证明四边形BEDF是菱形．

19．（10分）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是 　   　年级教师；（填“七”或“八”或“九”）

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有 　   　人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

20．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接OD，求△BOD的面积．

21．（9分）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．

（1）求证：AB＝BC；

（2）若⊙O的直径AB为9，sinA．

①求线段BF的长；

②求线段BE的长．

22．（10分）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足yx2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．

（1）直接写出b，c的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

23．（11分）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　               　，其内切圆的半径长为 　               　；

（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝　               　；（结果用含a的式子表示）

②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°，tan54°）

（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　               　；（结果保留π）

②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；

（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．

2021年湖北省随州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．（3分）2021的相反数是（　　）

A．﹣2021 B．2021 C． D．

【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．

故选：A．

2．（3分）从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（　　）

A．5.7×106 B．57×106 C．5.7×107 D．0.57×108

【解答】解：5700万＝57000000＝5.7×107，

故选：C．

3．（3分）如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为（　　）

A．15° B．25° C．35° D．45°

【解答】解：过三角形的60°角的顶点F作EF∥AB，

∴∠EFG＝∠1＝45°，

∵∠EFG+∠EFH＝60°，

∴∠EFH＝60°﹣∠EFG＝60°﹣45°＝15°，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠2＝∠EFH＝15°，

故选：A．

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a﹣2＝﹣a2 B．a2+a3＝a5 C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a6

【解答】解：A．a﹣2，故本选项不合题意；

B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；

D．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；

故选：D．

5．（3分）如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（　　）

A．测得的最高体温为37.1℃    

B．前3次测得的体温在下降    

C．这组数据的众数是36.8    

D．这组数据的中位数是36.6

【解答】解：由折线统计图可以看出这7次的体温数据从第1次到第7次分别为37.1℃、37.0℃、36.5℃、36.6℃、36.8℃、36.8℃、36.7℃．

A、测得的最高体温为37.1℃，故A不符合题意；

B、观察可知，前3次的体温在下降，故B不符合题意；

C、36.8℃出现了2次，次数最高，故众数为36.8℃，故C不符合题意；

D、这七个数据排序为36.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃．中位数为36.8℃．故D符合题意．

故选：D．

6．（3分）如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（　　）

A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图    

C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同

【解答】解：如图所示：

故该组合体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，

故选：A．

7．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形

内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由图可知大正方形中的两个小正方形连长分别为2cm、cm．

∴大正方形的边长为3（cm）．

则大正方形的面积为27，

阴影部分的面积为27﹣12﹣3＝12（cm2）．

则米粒落在图中阴影部分的概率为．

故选：A．

8．（3分）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ，则梯子顶端上升了（　　）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米

【解答】解：如图所示，

在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB6（米）；

在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB6（米），EC8（米）；

∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．

故选：C．

9．（3分）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（　　）

A．100 B．121 C．144 D．169

【解答】解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，

∵q＝143，

∴（n+1）2﹣1＝143，

解得：n＝11，

∴p＝n2＝112＝121，

故选：B．

10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①0；②2b﹣4ac＝1；③a；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，

∴C（0，c），B（﹣2c，0）．

由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0．

①：∵a＞0，b＜0，

∴a﹣b＞0，

∴．故①错误；

②：把B（﹣2c，0）代入解析式，得：

4ac2﹣2bc+c＝0，又c≠0，

∴4ac﹣2b+1＝0，

即2b﹣4ac＝1，故②正确；

③：∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（﹣2c，0），

∴x1＝﹣2和x2＝﹣2c为相应的一元二次方程的两个根，

由韦达定理可得：x1•x2（﹣2）×（﹣2c）＝4c，

∴a．故③正确；

④：如图，

∵a，2b﹣4ac＝1，

∴c＝2b﹣1．

故原抛物线解析式为yx2+bx+（2b﹣1），顶点坐标为（﹣2b，﹣b2+2b﹣1）．

∵C（0，2b﹣1），OB＝2OC，

∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．

∴对称轴为直线x＝﹣2b．

要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，

∵△APB为等腰直角三角形，

∴PQ[2﹣4b﹣（﹣2）]＝2﹣2b，

∴P（﹣2b，2b﹣2），且有2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，

整理得：b2＞1，

解得：b＞1或b＜﹣1，这与﹣1＜b＜0矛盾，故④错误．

综上所述，正确的有②③，一共2个，

故选：B．

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）

11．（3分）计算：|1|+（π﹣2021）0＝　　．

【解答】解：|1|+（π﹣2021）0

1+1

．

故答案为：．

12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为 　40°　．

【解答】解：连接BD，如图．

∵AD为直径，

∴∠ABD＝90°，

∵∠C与∠ADB所对的弧为，

∴∠ADB＝∠C＝50°．

∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．

故答案为：40°．

13．（3分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若3，则k＝　　．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，

∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，

∴3．

解得k．

经检验，k是原方程的解．

故答案为：．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为 　π　．（结果保留π）

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC，

∴∠BAC＝60°，cos∠ABC，

∴AB＝3，

∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，

∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，

∴点B所经过的路径长π，

故答案为：π．

15．（3分）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有x，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知π，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数…现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为 　　．

【解答】解：∵，

∴利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，

∵且，

∴，

∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：．

故答案为：．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则的值为 　　；若CE＝CF，则的值为 　　．

【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，

∴OA＝OC＝OB，

∵OD平分∠AOC，

∴OG⊥AC，且点G为AC的中点，

∴OG∥BC，且OGBC，即；

②∵OD＝OA，

∴OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵OG⊥AC，

∴∠DGE＝90°，

∴∠GDE+∠DEG＝90°，

∵CE＝CF，

∴∠CEF＝∠CFE，

∵∠CEF＝∠DEG，∠CFE＝∠OFB，∠ODB＝∠OBD，

∴∠OFB+∠OBD＝90°，

∴∠FOB＝90°，即CO⊥AB，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴BC：OB；

由（1）知，OG∥BC

∴△BCF∽△DOF，

∴．

故答案为：；．

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）

17．（5分）先化简，再求值：（1），其中x＝1．

【解答】解：（1）

，

当x＝1时，原式2．

18．（7分）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）证明四边形BEDF是菱形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）如图，连接BD，交AC于O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，

∵AE＝CF，

∴EO＝FO，

∴四边形BEDF是平行四边形，

又∵BD⊥EF，

∴平行四边形BEDF是菱形．

19．（10分）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是 　七　年级教师；（填“七”或“八”或“九”）

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有 　2400　人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

【解答】解：（1）a＝35+15＝50，b＝60﹣40＝20，c＝10+15+20＝45，

故答案为：50，20，45；

（2）七年级教师的接种率为：30÷40×100%＝75%，八年级教师的接种率为：35÷50×100%＝70%，九年级教师的接种率为：40÷60×100%≈67%，

∵75%＞70%＞67%，

∴统计的教师中接种率最高的是七年级教师，

故答案为：七；

（3）根据抽样结果估计未接种的教师约有：80002400（人），

故答案为：2400；

（4）把七年级1名教师记为A，八年级1名教师记为B，九年级2名教师记为C、D，

画树状图如图：

共有12种等可能的结果，选中的两名教师恰好不在同一年级的结果有10种，

∴选中的两名教师恰好不在同一年级的概率为．

20．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接OD，求△BOD的面积．

【解答】解：（1）由y2过点C（1，2）和D（2，n）可得：

，

解得：，

故y2，

又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得：

，

解得，

故y1＝﹣x+3．

（2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），

故OB＝3，

而点D到y轴的距离为2，

∴S△BOD3．

21．（9分）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．

（1）求证：AB＝BC；

（2）若⊙O的直径AB为9，sinA．

①求线段BF的长；

②求线段BE的长．

【解答】解：（1）证明：连接OD，如图，

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE．

∵BC⊥DE，

∴OD∥BC．

∴∠ODA＝∠C．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠A．

∴∠A＝∠C．

∴AB＝BC．

（2）①连接BD，则∠ADB＝90°，如图，

在Rt△ABD中，

∵sinA，AB＝9，

∴BD＝3．

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD．

∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，

∴∠A＝∠FDB．

∴sin∠A＝sin∠FDB．

在Rt△BDF中，

∵sin∠BDF，

∴BF＝1．

②由（1）知：OD∥BF，

∴△EBF∽△EOD．

∴．

即：．

解得：BE．

22．（10分）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足yx2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．

（1）直接写出b，c的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

【解答】解：（1）b═，c═1．

（2）由y══，

可知当x═时，y有最大值，

故大棚最高处到地面的距离为米；

（3）令y═，则有═，

解得x1═，x2═，

又∵0≤x≤6，

∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6═（米），

又大棚的长为16米，

∴需要搭建支架部分的土地面积为16═88（平方米），

故共需要88×4═352（根）竹竿，

答：共需要准备352根竹竿．

23．（11分）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　1　；

（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝　　；（结果用含a的式子表示）

②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°，tan54°）

（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留π）

②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由

【解答】解：（1）如图所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，

∴AB5，设斜边上高为h，由等面积法可知：

AC•BC＝h•AB，

．

设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：

S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．

即3×4÷2AC•rBC•rAB•r，

即6，

∴r1．

故答案为：，1；

（2）①：由已知中图可知，△ABC的面积为，

由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC，

解得：h1+h2+h3．

故答案为：．

②：类比①中方法可知（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五边形ABCDE，

设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，如图2．

易知S五边形ABCDE＝5S△OAB，

过O作OQ⊥AB于点Q，∠EAB108°，

故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ•tan54°，

故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5，从而得到：

h1+h2+h3+h4+h5tan54°．

（3）①：若以BC作为△OCB和△ACB的底，则△OCB和△ACB等高，

∴S△OCB＝S△ACB．

∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．

∵AB切⊙O于点B，

∴∠OBA＝90°，

又OB＝2，OA＝4，

∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，

∵BC∥OA，

∴∠OBC＝∠AOB＝60°，

∴△OCB为等边三角形．

∴∠COB＝60°，

∴S扇形OCB．

故阴影部分面积为．

故答案为：．

②如图3，连接DF，过点E作EG∥DF交AF的延长线于点G，则点G即为所求．

连接DG，

∵S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDEF+S△DEF，

∵EG∥DF，

∴S△DEF＝S△DGF，

∴S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDF+S△DGF＝S五边形ABCDG．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；

（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，

得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，

解得：a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，

∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），

∴B（3，0），

设直线BD解析式为y＝kx+e，

∵B（3，0），D（1，﹣4），

∴，

解得：，

∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，

过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，

设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，

得﹣3＝2×0+d，

解得：d＝﹣3，

∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，

结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，

解得：x1＝0（舍），x2＝4，

故P1（4，5），

过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，

∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，

∴四边形OBGC是正方形，

设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，

解得：x，

∴E（，0），

在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，

∵四边形OBGC是正方形，

∴OC＝OG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，

∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，

即∠OCE＝∠GCF，

∴△OCE≌△GCF（ASA），

∴FG＝OE，

∴BF＝BG﹣FG＝3，

∴F（3，），

设直线CF解析式为y＝k1x+e1，

∵C（0，﹣3），F（3，），

∴，

解得：，

∴直线CF解析式为yx﹣3，

结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3x﹣3，

解得：x1＝0（舍），x2，

∴P2（，），

综上所述，符合条件的P点坐标为：P1（4，5），P2（，）；

（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴，

解得：，

∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴，

解得：，

∴直线BC解析式为y＝x﹣3，

设M（t，t﹣3），

①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，

∵MQ∥x轴，

∴Q（t，t﹣3），

∴|t﹣3|＝|t﹣（t）|，

解得：t＝﹣9或，

∴M1（，），Q1（，）；M2（﹣9，﹣12），Q2（3，﹣12）；

②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，

∵N（t，0），

∴Q（﹣1，0），

∴|t﹣3|＝|t﹣（﹣1）|，

解得：t＝1，

∴M3（1，﹣2），Q3（﹣1，0）；

③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，

∴Q（，），

∴|t﹣3|＝2|t﹣（）|，

解得：t＝﹣3或，

∴M4（﹣3，﹣6），Q4（0，﹣3）；M5（，），Q5（，）；

综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：

M1（，），Q1（，）；M2（﹣9，﹣12），Q2（3，﹣12）；M3（1，﹣2），Q3（﹣1，0）；M4（﹣3，﹣6），Q4（0，﹣3）；M5（，），Q5（，）．下载本文