知识点整理

第一章 集合与函数概念

一：集合的含义与表示

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东                           西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

3、集合的表示：{…} 

（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来  {a,b,c……}

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合

（2）无限集：含有无限个元素的集合

（3）空集：不含任何元素的集合　　

5、元素与集合的关系：

      （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA

      （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

◆注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N    

正整数集  N*或 N+  

整数集Z  

有理数集Q  

实数集R

6、集合间的基本关系

（1）.“包含”关系（1）—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或BＡ）

注意：有两种可能（1）A是B的一部分；

（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

（2）.“包含”关系（2）—真子集

如果集合，但存在元素xB且x￠A，则集合A是集合B的真子集

如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)读作A真含与B

（3）．“相等”关系：A=B  

“元素相同则两集合相等”

如果AB  同时 BA 那么A=B

（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

（5）集合的性质

① 任何一个集合是它本身的子集。AA

②如果 AB, BC ,那么 AC

 ③如果AB且BC，那么AC

④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

7、集合的运算

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域

（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 

(2) 画法

A、描点法：  B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。

 （3）函数图像平移变换的特点：

      1）加左减右——————只对x

      2）上减下加——————只对y

  3）函数y=f(x)  关于X轴对称得函数y=-f(x)

4）函数y=f(x)  关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5）函数y=f(x)  关于原点对称得函数y=-f(-x)

6）函数y=f(x)  将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=| f(x)|

7）函数y=f(x)  先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

三、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）、求函数的解析式的主要方法有： 

1）代入法：

2）待定系数法：

3）换元法：

4)拼凑法：

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零； 

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

    (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.  

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，  

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

4、区间的概念：

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

5、值域 （先考虑其定义域）

（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；  

（2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。

(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。  

(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

6.分段函数   

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 

（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数

8、函数的单调性(局部性质)及最值

（1）、增减函数

（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种

（2）、 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）、函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

任取x1，x2∈D，且x1作差f(x1)－f(x2)；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数。

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 

9：函数的奇偶性（整体性质）

（1）、偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）、奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

b、确定f(－x)与f(x)的关系；

c、作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

     a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；

                         奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除认为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；

一奇一偶的乘积是奇函数；

      a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

(1)再根据定义判定;

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; 

(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

10、函数最值及性质的应用

（1）、函数的最值

a 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

b 利用图象求函数的最大（小）值

c 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（2）、函数的奇偶性与单调性

   奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

   偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

（3）、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。

（4）、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

（5）、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0）。

第二部分练习题及解析

第一章 集合与函数的概念

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为(　　)

A．3                B．6

C．7                D．8

解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．

答案：C

2．下列五个写法，其中错误写法的个数为(　　)

①{0}∈{0,2,3}；②Ø {0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝Ø

A．1                B．2  

C．3                D．4

解析：②③正确．

答案：C

3．使根式与分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式＋有意义的x的允许值集合可表示为(　　)

A．M∪F                B．M∩F  C．∁MF                D．∁FM

解析：根式＋有意义，必须与同时有意义才可．

答案：B

4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于(　　)

A．N                B．M  C．R                D．Ø

解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.

答案：A

5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为(　　)

A．R                B．[0，＋∞)  C．[2，＋∞)                D．[3，＋∞)

解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.

答案：D

6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于(　　)

A．20－2x(0C．20－2x(5≤x≤10)                D．20－2x(5解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.

答案：D

7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的(　　)

甲

　乙

图1

解析：水面升高的速度由慢逐渐加快．

答案：B

8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)

①y＝f(|x|)  ②y＝f(－x)  ③y＝xf(x)  ④y＝f(x)＋x

A．①③                B．②③  C．①④                D．②④

解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y＝f(－x)为奇函数；③令F(x)＝xf(x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)．所以F(－x)＝F(x)．所以y＝xf(x)为偶函数；④令F(x)＝f(x)＋x，所以F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]．所以F(－x)＝－F(x)．所以y＝f(x)＋x为奇函数．

答案：D

9．已知0≤x≤，则函数f(x)＝x2＋x＋1(　　)

A．有最小值－，无最大值                B．有最小值，最大值1

C．有最小值1，最大值                D．无最小值和最大值

解析：f(x)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，画出该函数的图象知，f(x)在区间[0，]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝f()＝.

答案：C

10．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图2甲所示，则函数f(|x|)的图象是图2乙中的(　　)

甲

　乙

图2

解析：因为y＝f(|x|)是偶函数，所以y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x≥0的图象保留，再关于y轴对称得到的．

答案：B

11．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)

A．f(－)C．f(2)解析：由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)，又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，则f(2)答案：D

12.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f的值是(　　)

A．0  B.   C．1  D. 

解析：令x＝－，则－f()＝f(－)，又∵f()＝f(－)，∴f()＝0；令x＝， f()＝f()，得f()＝0；令x＝， f()＝f()，得f()＝0；而0·f(1)＝f(0)＝0，∴f＝f(0)＝0，故选A.

答案：A

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．设全集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，则∁UA∩∁UB＝________.

解析：∁UA∩∁UB＝∁U(A∪B)，而A∪B＝{a，b，c，d，e}＝U.

答案：Ø

14．设全集U＝R，A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1≤x<2}，则∁U(A∩B)＝________.

解析：A∩B＝{x|1≤x<2}，∴∁R(A∩B)＝{x|x<1或x≥2}．

答案：{x|x<1或x≥2}

15．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a的取值范围为________．

解析：函数f(x)的对称轴为x＝1－a，则由题知：1－a≥3即a≤－2.

答案：a≤－2

16．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是__________．

解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.

∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)答案：f(－2)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)

17．(10分)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，

(1)当x∈N*时，求A的子集的个数；

(2)当x∈R且A∩B＝Ø时，求m的取值范围．

解：(1)∵x∈N*且A＝{x|－2≤x≤5}，

∴A＝{1,2,3,4,5}．故A的子集个数为25＝32个．

(2)∵A∩B＝Ø，

∴m－1>2m＋1或2m＋1<－2或m－1>5，

∴m<－2或m>6.

18．(12分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠Ø且B⊆A，求a，b的值．

解：(1)当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1；

(2)当B含有一个元素时，由Δ＝0得a2＝b，

当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1

当B＝{－1}时，由1＋2a＋b＝0，得a＝－1，b＝1.

19．(12分)已知函数f(x)＝ (a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．

解：∵f(x)＝且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.

又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．

∴ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．

故(b－1)2－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：a＝，从而f(x)＝＝，

∴f(－4)＝＝4，f(4)＝＝，即f[f(－4)]＝.

20．(12分)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a的值．

解：f(x)＝42＋2－2a.

(1)当<0即a<0时，f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2＝3，解得：a＝1－.

(2)0≤≤2即0≤a≤4时，f(x)min＝f＝2－2a＝3，解得：a＝－ (舍去)．

(3)  >2即a>4时，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18＝3，解得：a＝5＋，

综上可知：a的值为1－或5＋.

21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：

解：设甲、乙两地距离为x千米(x>0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2.

由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：

y2＝4x＋1800＋(＋4)×300＝7x＋3000.

令y1－y2<0得x<200.

①当0②当x＝200时，y1＝y2，此时选用汽车或火车均可；

③当x>200时，y1>y2，此时应选用火车．

故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．

22．(12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．

(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；

(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．

解：(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4)＝2＋1＝3.

(2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f[x(x－2)]≤f(8)，又∵对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

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