一、基础知识

1、事件的分类与概率：

（1）必然事件：一定会发生的事件，用表示，必然事件发生的概率为 

（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用表示，不可能事件发生的概率为 

（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母进行表示，随机事件的概率 

2、事件的交并运算： 

（1）交事件：若事件发生当且仅当事件与事件同时发生，则称事件为事件与事件的交事件，记为，简记为  

多个事件的交事件：：事件同时发生

（2）并事件：若事件发生当且仅当事件与事件中至少一个发生（即发生或发生），则称事件为事件与事件的并事件，记为 

多个事件的并事件：：事件中至少一个发生

3、互斥事件与概率的加法公式：

（1）互斥事件：若事件与事件的交事件为不可能事件，则称互斥，即事件与事件不可能同时发生。例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件，“出现3点”为事件，则两者不可能同时发生，所以与互斥

（2）若一项试验有个基本事件：，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以之间均不可能同时发生，从而两两互斥

（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若互斥，则有

例如在上面的例子中，事件为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得，所以根据加法公式可得： 

（4）对立事件：若事件与事件的交事件为不可能事件，并事件为必然事件，则称事件为事件的对立事件，记为，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：，关于对立事件有几点说明：

① 公式的证明：因为对立，所以，即互斥，而，所以，因为，从而

② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解

③ 对立事件的相互性：事件为事件的对立事件，同时事件也为事件的对立事件

④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可知：对立，则一定互斥；反过来，如果互斥，则不一定对立（因为可能不是必然事件）

4、事件与概率的乘法公式：

（1）事件：如果事件（或）发生与否不影响事件（或）发生的概率，则称事件与事件相互。例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件，“第二个骰子的点数是2”为事件，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以

（2）若，则与，与，与也相互

（3）概率的乘法公式：若事件，则同时发生的概率，比如在上面那个例子中，，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件，则。

（4）重复试验：一项试验，只有两个结果。设其中一个结果为事件（则另一个结果为），已知事件发生的概率为，将该试验重复进行次（每次试验结果互不影响），则在次中事件恰好发生次的概率为

① 公式的说明：以“连续投掷次硬币，每次正面向上的概率为”为例，设为“第次正面向上”，由均匀的硬币可知，设为“恰好2次正面向上”，则有： 

而

②的意义：是指在次试验中事件在哪次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中代表了符合条件的不同情况总数共3种

5、条件概率及其乘法公式：

（1）条件概率：

（2）乘法公式：设事件，则同时发生的概率 

（3）计算条件概率的两种方法：（以计算为例）

① 计算出事件发生的概率和同时发生的概率，再利用即可计算

② 按照条件概率的意义：即在条件下的概率为事件发生后，事件发生的概率。所以以事件发生后的事实为基础，直接计算事件发生的概率

例：已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率。

解：方法一：按照公式计算。设事件为“甲未中奖”，事件为“乙中奖”，所以可得：，事件为“甲未中奖且乙中奖”，则。所以 

方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为 

6、两种乘法公式的联系：

事件的交事件概率： 

含条件概率的交事件概率： 

    通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后。所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）

二、典型例题：

例1：从这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（     ）

A.  ①              B. ②④              C.  ③              D. ①③

思路：任取两数的所有可能为两个奇数；一个奇数一个偶数；两个偶数，若是对立事件，则首先应该是互斥事件，分别判断每种情况：①两个事件不是互斥事件，② “至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况，所以不互斥，③ “至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立，④ “至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况，所以不互斥。综上所述，只有③正确

答案：C

例2：5个射击选手击中目标的概率都是，若这5个选手同时射同一个目标，射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是（     ）

A.     B.      C.       D. 

思路：所求中有“至少一次”，且若正面考虑问题所涉及的情况较多。所以考虑从问题的对立面入手，设所求事件为事件，则为“射击三次没有一次五人均命中目标”，考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为，所以，从而可得 

答案：C

例3：甲，乙，丙三人的去译一个密码，分别译出的概率为，则此密码能译出概率是（     ）

A.                B.               C.                D.  

思路：若要译出密码，则至少一个人译出即可。设事件为“密码译出”，正面分析问题情况较多，所以考虑利用对立面，为“没有人译出密码”，则

，从而 

答案：C

例4：某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________

思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了），第一次回答正确错误均可。所以 

答案： 

例5：掷3颗骰子，已知所得三个数都不一样，求含有1点的概率

思路：首先判断出所求的为条件概率，即在3个数都不一样的前提下，含有1点的概率，设事件表示“含有1点的概率”，事件为“掷出三个点数都不一样”，事件为“三个点数都不一样且有一个点数为1”，则有，，所以由条件概率公式可得： 

答案： 

例6：甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出。已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为，则甲胜出的概率为（    ）

A.                 B.                 C.                 D.  

思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件为“甲在第局获胜”，事件为“甲胜出”，则，依题意可得：，两场比赛相互，所以

从而

答案：A

例7：如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互，则电流能在之间通过的概率是（     ）

A.              B.             C.              D.  

思路：先分析各元件的作用，若要在之间通过电流，则必须通过，且这一组与两条路至少通过一条。设为“通过”，则，设为“通过”，，那么“至少通过一条”的概率，从而之间通过电流的概率为 

答案：B

例8：假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为，且各引擎是否有故障是的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行；要使得4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是（     ）

A.           B.             C.            D.  

思路：所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高，所以只需计算两种引擎成功的概率即可，引擎正常运行的概率为，设事件为“4引擎飞机成功飞行”，事件为“个引擎正常运行”，可知引擎运行符合重复试验模型，所以，所以。设事件为“2引擎飞机成功飞行”，则，依题意：，即，进而解出 

答案：B

例9：从中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______

思路一:本题涉及条件概率的问题，设事件为“甲取到的数比乙大”，事件为“甲取到的数是5的倍数”，则所求概率为。若用公式求解，则需求出，事件即为“甲取到了5的倍数且甲数大于乙数”，由古典概型可计算出概率。甲能够取得数为，当甲取5时，乙有种取法，当甲取10时，乙有种取法，当甲取15时，乙有种取法，所以，因为，所以

思路二：本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取5,10,15对乙的影响不同，所以分情况讨论。当甲取的是5时，甲能从5的倍数中取出5的概率是，此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4，所以甲取出5且大于乙数的概率，同理，甲取的是10时，乙可取的由9个数，所以甲取出10且大于乙数概率为，甲取的是15时，乙可取14个数，所以甲取出15且大于乙数的概率为，所以甲取到的数是5的倍数后，甲数大于乙数的概率为 

答案： 

小炼有话说：本题两种处理条件概率的思路均可解决问题，但第二种方法要注意，所发生过的只是甲取到5的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率。即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后，抽到哪个5的倍数（具体分类讨论）且甲数大于乙数的概率”。

例10：甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_______

思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球。所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率受取袋的影响，为条件概率。设事件为“取出甲袋”，事件为“取出白球”，分两种情况进行讨论。若取出的是甲袋，则，依题意可得：，所以；若取出的是乙袋，则，依题意可得：，所以，综上所述，取到白球的概率 

答案： 下载本文