一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．﹣5的相反数是（　　）

A． B． C．﹣5 D．5

2．下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A． B．    

C． D．

3．下列运算正确的是（　　）

A．x2•x＝2x2 B．（xy3）2＝x2y6    

C．x6÷x3＝x2 D．x2+x＝x3

4．如图，该几何体的左视图是（　　）

A． B．    

C． D．

5．下表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（　　）

6．反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx+k不经过的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波动情况是（　　）

A．本溪波动大 B．辽阳波动大    

C．本溪、辽阳波动一样 D．无法比较

8．一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．95° C．100° D．110°

9．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4

10．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）

A． B．    

C． D．

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　    　．

12．分解因式：2x2﹣4x+2＝　        　．

13．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着﹣，﹣1，0，，2．从中随机抽取一张，则抽出卡片上写的数是的概率为 　              　．

14．若关于x的一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　              　．

15．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为 　                　．

16．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝　                　．

17．如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，则k的值为 　              　．

18．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是 　    　（填序号即可）．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝2sin30°+3．

20．（12分）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生共有 　   　名；

（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 　   　，并把条形统计图补充完整；

（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．

（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？

（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？

22．（12分）如图，某地为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；

（2）求AB的长度（结果精确到1m）．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

五、解答题（满分12分）

23．（12分）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．

（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？

（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

六、解答题（满分12分）

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．

七、解答题（满分12分）

25．（12分）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．

（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；

（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；

（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．

八、解答题（满分14分）

26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；

（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

2021年辽宁省本溪市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．﹣5的相反数是（　　）

A． B． C．﹣5 D．5

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【解答】解：﹣5的相反数是5．

故选：D．

2．下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

3．下列运算正确的是（　　）

A．x2•x＝2x2 B．（xy3）2＝x2y6    

C．x6÷x3＝x2 D．x2+x＝x3

【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则进行计算，从而作出判断．

【解答】解：A．x2•x＝x3，故此选项不符合题意；

B．（xy3）2＝x2y6，计算正确，故此选项符合题意；

C．x6÷x3＝x3，故此选项不符合题意；

D．x2，x不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；

故选：B．

4．如图，该几何体的左视图是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．

【解答】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示，图形如下：

故选：D．

5．下表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（　　）

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．

【解答】解：从小到大排列此数据为：76%、79%、92%、95%、95%，92%处在第3位为中位数．

故选：B．

6．反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx+k不经过的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据反比例函数y＝的图象经过第二、四象限可判断出k的符号，进而可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，

∴k＜0，

∴一次函数y＝kx+k的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．

故选：A．

7．如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波动情况是（　　）

A．本溪波动大 B．辽阳波动大    

C．本溪、辽阳波动一样 D．无法比较

【分析】利用方差的定义列式计算，再比较大小，从而根据方差的意义得出答案．

【解答】解：本溪6月1日至5日最低气温的平均数为＝12.8（℃），

辽阳6月1日至5日最低气温的平均数为＝13.8（℃）；

本溪6月1日至5日最低气温的方差S12＝×[（12﹣12.8）2×3+（15﹣12.8）2+（13﹣12.8）2]＝1.36，

辽阳6月1日至5日最低气温的方差S22＝×[（13﹣13.8）2×3+（16﹣13.8）2+（14﹣13.8）2]＝1.36，

∵S12＝S22，

∴本溪、辽阳波动一样．

故选：C．

8．一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．95° C．100° D．110°

【分析】根据直角三角形的性质求出∠5，根据三角形的外角性质求出∠3，根据对顶角相等求出∠4，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．

【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，

∴∠4＝∠3＝35°，

∴∠2＝∠4+∠5＝95°，

故选：B．

9．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4

【分析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．

【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，

∵AB＝BC，

∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，

∴∠AEC＝90°，

∴BC＝＝＝，

∵点F为BC的中点，

∴EF＝BC＝BF＝CF，

∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，

故选：C．

10．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC＝60°，

∴∠ABD＝∠CDB＝30°，

∴BD＝2AD＝2，

当点P在AD上时，S＝•（2﹣2t）•（1﹣t）•sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），

当点P在线段BD上时，S＝（4﹣2t）•（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），

观察图象可知，选项D满足条件，

故选：D．

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≤2　．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，

解得，x≤2，

故答案为：x≤2．

12．分解因式：2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　．

【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．

【解答】解：2x2﹣4x+2，

＝2（x2﹣2x+1），

＝2（x﹣1）2．

13．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着﹣，﹣1，0，，2．从中随机抽取一张，则抽出卡片上写的数是的概率为 　　．

【分析】根据概率公式即可求解．

【解答】解：∵有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着﹣，﹣1，0，，2，

∴从中随机抽取一张，抽出卡片上写的数是的概率为1÷5＝．

故答案为：．

14．若关于x的一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　　．

【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣k）＝0，然后解关于k的方程即可．

【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣k）＝0，

解得k＝．

故答案为．

15．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为 　＝　．

【分析】设B种奖品的单价是x元，则A种奖品的单价是（x+10）元，根据数量＝总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设B种奖品的单价是x元，则A种奖品的单价是（x+10）元，

依题意得：＝．

故答案为：＝．

16．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝　　．

【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC＝，从而得到tan∠ADC的值．

【解答】解：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，

∵∠ADC＝∠ABC，

∴tan∠ADC＝．

故答案为．

17．如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，则k的值为 　　．

【分析】设半圆圆心为D，连接DC，过C作CG⊥OA于G，交AB于E，先求出tan∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，Rt△CDE中，tanC＝，cosC＝，求出DE＝，CE＝，AE＝，Rt△AGE中，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，可得GE＝，AG＝，即得C（，），把C（，）代入y＝得k＝．

【解答】解：设半圆圆心为D，连接DC，过C作CG⊥OA于G，交AB于E，如图：

∵A（2，0），B（0，1），

∴AB＝，DA＝DC＝，

∴tan∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，

∵C为半圆的中点，

∴∠CDE＝∠EGA＝90°，

又∠CED＝∠AEG，

∴∠C＝∠BAO，

Rt△CDE中，tanC＝，cosC＝，

∴＝，＝，

∴DE＝，CE＝，

∴AE＝AD﹣DE＝，

Rt△AGE中，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，

∴＝，＝，

∴GE＝，AG＝，

∴OG＝OA﹣AG＝，CG＝CE+GE＝，

∴C（，），

把C（，）代入y＝得k＝，

故答案为：．

18．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是 　①③④　（填序号即可）．

【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；

②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；

③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC＝∠DCE，结论③成立；

④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，所以∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，由于EC⊥HP，则∠CHP＝45°，由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，则EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2﹣EH2＝GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC＝∠EHC＝90°，所以E，M，H，C四点共圆，所以∠HMC＝∠HEC＝45°，通过△CMH≌△CDH，可得∠CDH＝∠CMH＝45°，这样，∠GDH＝45°，因为∠GHQ＝∠CHP＝45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2＝GQ•GD，从而说明④成立．

【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．

由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．

∴∠BEP+∠AEG＝90°，

∵∠A＝90°，

∴∠AEG+∠AGE＝90°，

∴∠BEP＝∠AGE．

∵∠FGQ＝∠AGE，

∴∠BEP＝∠FGQ．

∵∠B＝∠F＝90°，

∴△PBE～△QFG．

故①正确；

②过点C作CM⊥EG于M，

由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠BEC＝∠DCE，

∴∠BEC＝∠GEC，

在△BEC和△MEC中，

，

∴△BEC≌△MEC（AAS）．

∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．

∵CG＝CG，

∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），

∴S△CMG＝S△CDG，

∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，

∴②不正确；

③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠BEC＝∠DCE，

∴∠BEC＝∠GEC，

即EC平分∠BEG．

∴③正确；

④连接DH，MH，HE，如图，

∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，

∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，

∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，

∵EC⊥HP，

∴∠CHP＝45°．

∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．

由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，

∴EH⊥CG．

∴EG2﹣EH2＝GH2．

由折叠可知：EH＝CH．

∴EG2﹣CH2＝GH2．

∵CM⊥EG，EH⊥CG，

∴∠EMC＝∠EHC＝90°，

∴E，M，H，C四点共圆，

∴∠HMC＝∠HEC＝45°．

在△CMH和△CDH中，

，

∴△CMH≌△CDH（SAS）．

∴∠CDH＝∠CMH＝45°，

∵∠CDA＝90°，

∴∠GDH＝45°，

∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，

∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．

∵∠HGQ＝∠DGH，

∴△GHQ∽△GDH，

∴．

∴GH2＝GQ•GD．

∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．

∴④正确；

综上可得，正确的结论有：①③④．

故答案为：①③④．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝2sin30°+3．

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：÷（1+）

＝÷

＝

＝，

当a＝2sin30°+3＝2×+3＝1+3＝4时，原式＝＝2．

20．（12分）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生共有 　60　名；

（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 　90°　，并把条形统计图补充完整；

（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．

【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数；

（2）用总人数减去其它项目的人数，求出B项目的人数，再用360°乘以“B项目”所占的百分比即可得出“B项目”所对应的扇形圆心角的度数，最后补全统计图即可；

（3）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：（1）本次被调查的学生共有：9÷15%＝60（名）；

（2）B项目的人数有：60﹣9﹣12﹣24＝15（人），

图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝90°；

补全统计图如下：

（3）根据题意列表如下：

则恰好小华和小艳被抽中的概率是＝．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．

（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？

（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？

【分析】（1）设每本手绘纪念册的价格为x元，每本图片纪念册的价格为y元，根据“购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设可以购买手绘纪念册m本，则购买图片纪念册（40﹣m）本，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过1100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解答】解：（1）设每本手绘纪念册的价格为x元，每本图片纪念册的价格为y元，

依题意得：，

解得：．

答：每本手绘纪念册的价格为35元，每本图片纪念册的价格为25元．

（2）设可以购买手绘纪念册m本，则购买图片纪念册（40﹣m）本，

依题意得：35m+25（40﹣m）≤1100，

解得：m≤10．

答：最多能购买手绘纪念册10本．

22．（12分）如图，某地为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；

（2）求AB的长度（结果精确到1m）．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【分析】（1）利用正切函数即可求出AC的长；

（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，得到BF＝AC＝120，AB＝CF，在△BEF中利用正切函数即可求得EF，进而即可求得AB＝CF＝CE﹣EF＝243米．

【解答】解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），

在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，

∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120（m），

答：无人机的高度AC是120米；

（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，

∴BF＝AC＝120，AB＝CF，

在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，

∴EF＝＝≈276.8（m），

∵CE＝8×（15+50）＝520（m），

∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8＝243（米），

答：随道AB的长度约为243米．

五、解答题（满分12分）

23．（12分）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．

（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？

（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

【分析】（1）依据每个星期的销售利润＝每件的利润×销售的件数列方程求解即可；

（2）根据销售利润为2400元列出关于x的一元二次方程，从而可求得售价；

（3）利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．

【解答】解：（1）由题意，得：y＝（x﹣40）[100﹣2（x﹣60）]＝﹣2x2+300x﹣8800，

∴y＝﹣2x2+300x﹣8800（60≤x≤110）；

（2）令y＝2400得：﹣2x2+300x﹣8800＝2400，

解得：x＝70或x＝80，

答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；

（3）y＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，

∵﹣2＜0，

∴当x＝75时，y有最大值，最大值为245元，

答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．

六、解答题（满分12分）

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．

【分析】（1）连接OE，求出OE∥BF推出∠AEO＝90°，根据切线的判定推出即可；

（2）连接DE，根据已知条件求出⊙O的直径AD＝10，在Rt△ADE中，求出DE＝6，cos∠DAE＝，在Rt△ABC中，求出cos∠BAC＝，根据∠BAC＝∠DAE，求出AB＝5，进而得到BE＝13，根据相似三角形的判定证得△FBE∽△ODE，根据相似三角形的性质即可求出BF．

【解答】证明（1）连接OE，

∵OA＝OE，

∴∠OEA＝∠OAE，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠BAC+∠B＝90°，

∵BF＝EF，

∴∠B＝∠BEF，

∵∠OAE＝∠BAC，

∴∠OEA＝∠BAC，

∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，

∴OE⊥EF，

∵OE是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，

∵OC＝9，AC＝4，

∴OA＝OC﹣AC＝5，

∵AD＝2OA，

∴AD＝10，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED＝90°，

在Rt△ADE中，

∵DE＝＝＝6，

∴cos∠DAE＝＝＝，

在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴＝，

∴AB＝5，

∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，

∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∵EF是⊙O的切线，

∴∠FEO＝90°，

∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，

∴∠FEB＝∠OED，

∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，

∴△FBE∽△ODE，

∴＝，

∴＝，

∴BF＝．

七、解答题（满分12分）

25．（12分）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．

（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；

（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；

（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．

【分析】（1）如图1，延长PE交CD于点F，连接AF，根据平行四边形性质可证得四边形ADFE是菱形，进而得出△AEF是等边三角形，再证明△AEP≌△AFC（SAS），即可得出答案；

（2）如图2，连接CF，证明△BCF≌△EAF（SAS），进而得出∠AFC＝90°，利用三角函数可得AC＝＝AF，再运用勾股定理即可；

（3）设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，分两种情况：①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，利用角平分线性质得出S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，S△CDG＝S△ACD＝a2，即可得出答案；

②如图4，当点E在AB延长线上时，同理可得出S△CDG＝•S△ACD＝a2，S△APE＝PH•AE＝a2，即可求出答案．

【解答】解：（1）如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∵α＝120°，即∠BAD＝120°，

∴∠B＝∠ADC＝60°，

∴∠BEP＝60°＝∠B，

∴PE∥BC∥AD，

∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE＝30°，

∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，

∴AD＝AE，

∴四边形ADQE是菱形，

∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，

∴△AEQ是等边三角形，

∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，

∵四边形BCQE是平行四边形，

∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，

∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，

∴∠AEP＝∠AQC，

∴△AEP≌△AQC（SAS），

∴AP＝AC；

（2）AB2+AD2＝2AF2，

理由：如图2，连接CF，

在▱ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE＝45°，

∴∠AED＝∠ADE＝45°，

∴AD＝AE，

∴AE＝BC，

∵BF⊥EP，

∴∠BFE＝90°，

∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，

∴∠EBF＝∠BEF＝45°，

∴BF＝EF，

∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，

∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，

∴∠CBF＝∠AEF，

∴△BCF≌△EAF（SAS），

∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，

∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，

∴∠ACF＝∠CAF＝45°，

∵sin∠ACF＝，

∴AC＝＝＝＝AF，

在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，

∴AB2+AD2＝2AF2；

（3）由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，

∵BE＝AB，AB＝CD，

∴AB＝CD＝2BE，

设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，

①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，

过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，

当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，

∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，

∴GM＝GN，

∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，

＝＝＝＝2，

∴S△CDG＝2S△ADG，

∴S△CDG＝S△ACD＝a2，

由（1）知PE∥BC，

∴∠AEH＝∠B＝60°，

∵∠H＝90°，

∴AH＝AE•sin60°＝a，

∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，

∴＝＝．

②如图4，当点E在AB延长线上时，

由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，

S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，

∴＝＝，

综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．

八、解答题（满分14分）

26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；

（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）由矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，即可求解；

（3）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n＝；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣，进而求解．

【解答】解：（1）由题意得：，解得，

故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；

（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，

故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，

设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），

则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，

解得x＝1或3，

故点P的坐标为（1，）或（3，3）；

（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），

当∠BAQ为直角时，如图2﹣1，

设BQ交x轴于点H，

由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，

故设直线BQ的表达式为y＝x+t，

该直线过点B（0，3），故t＝3，

则直线BQ的表达式为y＝x+3，

当x＝时，y＝x+3＝5，

即n＝5；

②当∠BQA为直角时，

过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，

∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，

∴∠BQN＝∠MAQ，

∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，

即，则，

解得n＝；

③当∠BAQ为直角时，

同理可得，n＝﹣；

综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，

故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．下载本文