一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图，在⊙O中，向量，，是(　　)

A．有相同起点的向量

B．共线向量

C．模相等的向量

D．相等的向量

解析：由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.

答案：C

2．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2等于(　　)

A．5　　 B．(－1,5)

C．(6,1)  D．(－4,9)

解析：＝(2,3)，＝(－3,3)，∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．

答案：D

3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.

答案：C

4．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为(　　)

A．－3  B．－1

C．1  D．3

解析：∥，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故选B.

答案：B

5．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　　)

A．(4,0)，(－2,6)  B．(－2,6)，(4,0)

C．(2,0)，(－1,3)  D．(－1,3)，(2,0)

解析：由题意知，解得

答案：C

6．若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝(　　)

A．±5  B．±10

C．±12  D．±13

解析：由题意得|a|＝＝13，

所以52＋x2＝132，解得x＝±12.

答案：C

7．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，

∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)

A．50 m

B．50 m

C．25 m

D. m

解析：由正弦定理得

AB＝＝＝50(m)．

答案：A

8．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　)

A．菱形  B．梯形

C．矩形  D．平行四边形

解析：由题意知a－b＝d－c，

∴＝，

∴四边形ABCD为平行四边形，故选D.

答案：D

9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为(　　)

A．v1－v2  B．v1＋v2

C．|v1|－|v2|  D.

解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v1|－|v2|.

答案：C

10．已知O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量＝(－1,1)，则(＋)·(－)等于(　　)

A．－4  B．－2

C．0  D．2

解析：因为O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，

向量＝(－1,1)，

所以＝＋

＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，

所以(＋)·(－)

＝2－2＝(22＋12)－(12＋22)

＝5－5＝0.故选C.

答案：C

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形  B．等腰非等边三角形

C．等边三角形  D．钝角三角形

解析：∵＝，∴＝，∴b＝c.

又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝＝＝.

∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．

答案：C

12．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.

解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．

又m与，都共线，∴m＝0.

答案：0

14．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.

解析：方法一：设＝(x，y)，由||＝||知＝，又·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，||＝2；当x＝－3，y＝－1时，||＝2.故||＝2.

方法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，又||＝，所以||＝×＝2.

答案：2

15．给出以下命题：

①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；

②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；

③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.

其中正确命题的序号是________．

解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．

答案：③

16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________N.

解析：如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.

答案：10

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：

(1)－；

(2)＋；

(3)－.

解析：(1)因为＝b，＝d，

所以－＝＝－＝d－b.

(2)因为＝a，＝b，＝c，＝f，

所以＋＝(－)＋(－)＝b＋f－a－c.

(3)－＝＋＝＝－＝c－e.

18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，

(1)c∥d；(2)c⊥d.

解析：由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.

(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．

∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.

(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.

∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，

∴k＝－.

19．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，且(a－3b)⊥c.

(1)求实数m的值；

(2)求向量a与b的夹角θ.

解析：(1)因为a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，

所以a－3b＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m，－3)．

因为(a－3b)⊥c，

所以(a－3b)·c＝(1－3m，－3)·(3,4)

＝3(1－3m)＋(－3)×4

＝－9m－9＝0，

解得m＝－1.

(2)由(1)知a＝(1,3)，b＝(－1,2)，

所以a·b＝5，

所以cos θ＝＝＝.

因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

20．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－2)．

(1)设c＝2a＋b，求(b－a)·c；

(2)求向量a在b方向上的投影．

解析：(1)由a＝(1,3)，b＝(2，－2)，可得c＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b－a＝(1，－5)，则(b－a)·c＝4－20＝－16.

(2)向量a在b方向上的投影为＝＝－.

21．(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，

(1)用，表示；

(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．

解析：(1)因为2＋＝0，

所以2(－)＋(－)＝0，

2－2＋－＝0，

所以＝2－.

(2)证明：如图，

＝＋＝－＋＝(2－)．

故＝.

故四边形OCAD为梯形．

22．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)·cos C＝c(3cos B－cos A)．

(1)求的值；

(2)若c＝a，求角C的大小．

解析：(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)，

∴sin Acos C＋cos Asin C＝3sin Ccos B＋3cos Csin B，

即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sin B＝3sin A，∴＝3.

(2)由(1)知b＝3a，∵c＝a，∴cos C＝＝＝＝，

∵C∈(0，π)，∴C＝.下载本文