数列

一、选择题

1、（2016年上海高考）已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（    ）

（A）     （B）

（C）     （D）

【答案】B

2、（2016年全国I高考）已知等差数列前9项的和为27，，则

（A）100          （B）99           （C）98         （D）97

【答案】C

3、（2016年全国III高考）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有

（A）18个          （B）16个          （C）14个          （D）12个

【答案】C

4、（2016年浙江高考）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，

，（）.

若

A．是等差数列   B．是等差数列   

C．是等差数列   D．是等差数列

【答案】A

二、填空题

1、（2016年北京高考）已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..

【答案】6

2、（2016年上海高考）无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.

【答案】4

3、（2016年全国I高考）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为            .

【答案】

4、（2016年浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=     ，S5=    .

【答案】      

三、解答题

1、（2016年北京高考） 设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；

（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；

（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.

如果，取，则对任何.

从而且.

又因为是中的最大元素，所以.

2、（2016年山东高考）已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.

【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，

  所以，当时，

，

又对也成立，所以．

又因为是等差数列，设公差为，则．

当时，；当时，，

解得，所以数列的通项公式为．

(Ⅱ)由，

于是，

两边同乘以２，得

，

两式相减，得

．

3、（2016年上海高考）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

（1）若具有性质，且，，求；

（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；

（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解．

（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得．

通过计算，，，，即知不具有性质．

（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 

试题解析：（1）因为，所以，，．

于是，又因为，解得．

（2）的公差为，的公比为，

所以，．

．

，但，，，

所以不具有性质．

（3）[证]充分性：

当为常数列时，．

对任意给定的，只要，则由，必有．

充分性得证．

必要性：

用反证法证明．假设不是常数列，则存在，

使得，而．

下面证明存在满足的，使得，但．

设，取，使得，则

，，故存在使得．

取，因为（），所以，

依此类推，得．

但，即．

所以不具有性质，矛盾．

必要性得证．

综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．

4、（2016年四川高考）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，其中q>0， .

（I）若成等差数列，求an的通项公式；

(ii)设双曲线的离心率为，且，证明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

解析：（Ⅰ）由已知， 两式相减得到.

又由得到，故对所有都成立.

所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.

从而.

由成等比数列，可得，即，则，

由已知,，故.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以双曲线的离心率  .

由解得.

因为，所以.

于是，

故.

5、（2016年天津高考）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.

(Ⅰ)设，求证：是等差数列；

(Ⅱ)设，求证： 

【解析】⑴

为定值．

∴为等差数列

⑵（*）

由已知

将代入（*）式得

∴，得证

6、（2016年全国II高考）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前1 000项和．

【解析】⑴设　的公差为，，

∴，∴，∴．

∴，，．

⑵　记的前项和为，则

．

当时，；

当时，；

           当时，；

当时，．

∴．

7、（2016年全国III高考）已知数列的前n项和，其中．

（I）证明是等比数列，并求其通项公式；

（II）若 ，求．

【解析】

8、（2016年浙江高考）

设数列满足，．

（I）证明：，；

（II）若，，证明：，．

（II）任取，由（I）知，对于任意，

，

故

．

从而对于任意，均有

9、(2016江苏省高考)

记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.

(1)求数列的通项公式；

(2)对任意正整数，若，求证：；

（3）设,求证：.

（1）由已知得.

于是当时，.

又，故，即.

所以数列的通项公式为.

（2）因为，，

所以.

因此，.

（3）下面分三种情况证明.

①若是的子集，则.

②若是的子集，则.

③若不是的子集，且不是的子集.

令，则，，.

于是，，进而由，得.

设是中的最大数，为中的最大数，则.

由（2）知，，于是，所以，即.

又，故，

从而，

故，所以，

即.

综合①②③得，.下载本文