1.已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.
(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；
(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；
(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．
第1题图
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠CAB＝60°，AB＝BC，
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD(ASA)；
(2)解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝60°，AB＝BC，
∴∠ABE＝∠BCD＝180°－60°＝120°.
∴在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD(ASA)，
∴BE＝CD.
∵DH⊥AB，
∴∠DHA＝90°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AD＝2AH，
∴AC＝AD－CD＝2AH－BE；
(3)解：如解图，作DS⊥BC延长线于点S，作HM∥AC交BC于点M，
第1题解图
∵AC＝6，BE＝2，
∴由(2)得AH＝4，BH＝2,
与(1)同理可得BE＝CD＝2，CE＝8，
∵∠SCD＝∠ACB＝60°，
∴∠CDS＝30°，
∴CS＝1，SD＝，BS＝7，
∵BD2＝BS2＋SD2＝72＋()2，
∴BD＝2，
∵EK∥BD，
∴△CBD∽△CEK，
∴＝＝，
∴CK＝＝＝，EK＝＝＝.
∵HM∥AC，
∴∠HMB＝∠ACB＝60°，
∴△HMB为等边三角形，BM＝BH＝HM＝2，
CM＝CB－BM＝4，
又∵HM∥AC，
∴△HMG∽△KCG，
∴＝，
即＝，∴MG＝，BG＝，EG＝，
∵EK∥BD，
∴△GBP∽△GEK，
∴＝，
∴BP＝.
2. 如图①，在四边形ABCD中，点P是AB上一点，点E在射线DP上，且∠BED＝∠BAD，连接AE.
(1)若AB＝AD，在DP上截取点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：△ABE≌△ADF；
(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在AB的延长线上，BE＝1，AE＝3，求DE的长；
(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD＝2AB，点P在AB的延长线上，AE＝BE，若AE=nDE，求n的值.
图① 图② 图③
第2题图
(1)证明：∵∠BED＝∠BAD，∠BPE＝∠DPA，
∴∠ABE＝∠ADF，
又∵AB＝AD，BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF；
(2)解：如解图①，延长ED到点F，使得DF＝BE，连接AF，
第2题解图①
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BED＝∠BEP，
∵∠P＝∠P，∴∠PBE＝∠ADP，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵BE＝DF，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠FAD，
∴∠FAD＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD＝90°，
∴EF＝AE＝3×＝6，
∴DE＝EF－DF＝EF－BE＝6－1＝5；
(3)解：如解图②，过点A作AF⊥AE交ED的延长线于点F，
第2题解图②
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BED＝∠BEP＝90°，
∵AF⊥AE，∠P＝∠P，
∴∠PBE＝∠ADP，∠EAB＝90°－∠EAD＝∠FAD，
∴∠ABE＝180°－∠PBE＝180°－∠ADP＝∠ADF，
∴△ABE∽△ADF，
∴
∴AF＝2AE，DF＝2BE，
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF＝=AE，
∵AE＝BE，∴EF＝AE＝·BE＝5BE，
∴DE＝EF－DF＝5BE－2BE＝3BE，
∴＝，
∴n=.
3.已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点.
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，求的值.
(2)如图②，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值；
(3)如图③，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值.
图① 图② 图③
第3题图
解：(1)过点D作DG∥BC交AC于点G，
第3题解图①
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGD是等边三角形，
∴AD=GD，
由题意知CE=AD，
∴CE=GD
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF与△CEF中，
，
∴△GDF ≌△CEF（AAS），∴CF=GF，
∵DH⊥AG，
∴AH=GH，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF）=2HF，
∴=2；
(2)如解图②，过点D作DG∥BC交AC于点G，
第3题解图②
由题意知，点D，E的运动速度之比是:1，
∴
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴
∴
∴GD=CE，
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF 和△CEF中，
∴△GDF ≌△CEF（AAS），
∴CF=GF，
∵∠ADH=∠BAC=30°，
∴AH=HD，
∵∠AGD=∠HDG=60°，
∴GH=HD，
∴AH=HG，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF）=2HF，
∴=2；
(3)如解图③，过点D作DG∥BC交AC于点G，
第3题解图③
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB，
∴
∵∠ADH=∠BAC=36°，AC=AB，
∴∠GHD=∠HGD=72°，
∴GD=HD=AH，
∴
∵AD=CE，
∴
∵DG∥BC，
∴△GDF∽△ECF，
∴
∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF），
即HF=m（AC-HF），
∴
4. 在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB 上一点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.
(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM；
(2)如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形；
(3)如图③，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，若MG=nME，求n的值.
第4题图
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAM＝∠FDM＝90°，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
在△AME和△DMF中，
，
∴△AEM≌△DFM(ASA)；
(2)证明：如解图①，过点G作GH⊥AD于H，
第4题解图①
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴GH＝AB＝2，
∵M是AD的中点，
∴AM＝AD＝2，∴AM＝GH，
∵MG⊥EF，∴∠GME＝90°
∴∠AME＋∠GMH＝90°.
∵∠AME＋∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH，
在△AEM和△HMG中，
，
∴△AEM ≌△HMG，
∴ME＝MG，
∴∠EGM＝45°，
由(1)得△AEM≌△DFM，
∴ME＝MF，
∵MG⊥EF，
，
∴GE＝GF，
∴∠EGF＝2∠EGM＝90°，
∴△GEF是等腰直角三角形．
(3)解：如解图②，过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，
第4题解图②
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴GH＝AB＝2，
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°，
∴∠AME＋∠GMH＝90°，
∵∠AME＋∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH，
又∵∠A＝∠GHM＝90°，
∴△AEM ∽△HMG，
∴＝，
在Rt△GME中，tan∠MEG＝＝.
∴n=
5.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：
△BPE≌△CQE；
(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，
①求证：△BPE∽△CEQ；
②当BP＝2，CQ＝9时，求BC的长．
第5题图
(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，
又∵AP＝AQ，
∴BP＝CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC.
∴在△BPE与△CQE中，
，
∴△BPE≌△CQE(SAS)；
(2)①证明：∵∠BEF＝∠C＋∠CQE，∠BEF＝∠BEP＋∠DEF，
∠C＝∠DEF＝45°，
∴∠CQE＝∠BEP，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
②解：由①知△BPE∽△CEQ，
∴，
∴BE·CE＝BP·CQ，
又∵BE＝EC，
∴BE2＝BP·CQ，
∵BP＝2，CQ＝9，
∴BE2＝2×9＝18，
∴BE＝3，
∴BC＝2BE＝6.
6.已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.
(1)如图①，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求证：△BCF≌△ABE；
(2)如图②，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；
(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，AG＝nCG，求n的值.
第6题图
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠ABE＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠ABG＋∠CBF＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠ABG＋∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△BCF和△ABE中，
，
∴△BCF≌△ABE(ASA)；
(2)证明：∵AC⊥BD，BF⊥AE，
∴∠AOB＝∠AGB＝∠AGF＝90°，
∴A、B、G、O四点共圆，
∴∠AGO＝∠ABO＝45°，
∴∠FGO＝90°－45°＝45°＝∠AGO，
∴GO平分∠AGF；
(3)解：如解图，连接EF，
第6题解图
∵CG⊥GO，
∴∠OGC＝90°，
∵∠EGF＝∠BCD＝90°，
∴∠EGF＋∠BCD＝180°，
∴C、E、G、F四点共圆，
∴∠EFC＝∠EGC＝180°－90°－45°＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，
同(1)得△BCF ≌△ABE，
∴CF＝BE，
∴CE＝BE＝ BC，
∴OA＝ AC＝ BC＝ CE，
由(2)得A、B、G、O四点共圆，
∴∠BOG＝∠BAE，
∵∠GEC＝90°＋∠BAE，∠GOA＝90°＋∠BOG，
∴∠GOA＝∠GEC，
又∵∠EGC＝∠AGO＝45°，
∴△AOG∽△CEG，
∴＝＝，
∴AG＝ CG，
∴n= .
7.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；
(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．
第7题图
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE.
在△ABE和△CBE中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
(2)解：如解图①，连接AC交BD于点O，分别过点A、E作BC的垂线，垂足分别为点H、F，
第7题解图①
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AB＝5，sin∠ABD＝，
∴AO＝OC＝，
∴BO＝OD＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∵AC·BD＝BC·AH，
即×2×4＝5AH，
∴AH＝4，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△PEB，
∴＝，
∴＝，
即＝＝，
∴AP＝PE，
又∵EF∥AH，
∴△EFP∽△AHP，
∴＝，
∴EF＝·AH＝×4＝，
∴S△PEC＝PC·EF＝×(5－2)×＝；
(3)解：如解图②，连接AC交BD于点O，
第7题解图②
∵△ABE≌△CBE，CE⊥PE，
∴∠AEB＝∠CEB＝45°，
∴AO＝OE＝，
∴DE＝OD－OE＝2－＝，BE＝3.
∵AD∥BP，
∴△ADE∽△PBE，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝15.
8.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设＝n.
(1)求证：AE＝GE；
(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；
(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．
第8题图
(1)证明：由折叠性质得AE＝FE，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵GF⊥AF，
∴∠EAF＋∠FGA＝∠EFA＋∠EFG＝90°，
∴∠FGA＝∠EFG，
∴EG＝EF，
∴AE＝GE；
(2)解：如解图①，当点F落在AC上时，设AE＝a，则AD＝na，
第8题解图①
由对称性得BE⊥AF，
∴∠ABE＋∠BAC＝90°，
∵∠DAC＋∠BAC＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，
又∵∠BAE＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DAC，
∴＝，
∵AB＝DC，
∴AB2＝AD·AE＝na·a＝na2，
∵AB＞0，
∴AB＝a，
∴＝＝；
(3)解：若AD＝4AB，则AB＝a，
如解图②，当点F落在线段BC上时，EF＝AE＝AB＝a.
第8题解图②
此时a＝a，∴n＝4，
∴当点F落在矩形内部时，n＞4.
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，
∴∠FCG＜∠BCD，
∴∠FCG＜90°.
①若∠CFG＝90°，则点F落在AC上，
由(2)得＝，即＝，
∴n＝16；
②如解图③，若∠CGF＝90°，则∠CGD＋∠AGF＝90°，
第8题解图③
∵∠FAG＋∠AGF＝90°，
∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE.
∵∠BAE＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DGC，
∴＝，
∵DG＝AD－AE－EG＝na－2a＝(n－2)a，
∴AB·DC＝DG·AE，
即(a)2＝(n－2)a·a，
解得n1＝8＋4，n2＝8－4＜4(不合题意，舍去)．
综上所述，当n＝16或n＝8＋4时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．
9.如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想
图①中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
第9题图
解：(1)PM＝PN，PM⊥PN；
【解法提示】∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PM//CE 且PM=CE，PN∥BD且PN=BD，
∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠CNP＝∠B，
∴∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠B＋∠PCN，
∵∠A＝90°，
∴∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠PCN＋∠B＝∠ACB＋∠B＝90°，
∴PM⊥PN；
(2)△PMN为等腰直角三角形．
理由如下：由题可知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
又∵M，P，N分别是DE，CD，BC的中点，
∴PM是△CDE的中位线，
∴PM∥CE且PM=CE，
同理PN∥BD且PN=BD，
∴PM＝PN，
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，
∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN，
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋
∠ACB＝90°，
∴△PMN为等腰直角三角形；
(3).
【解法提示】∵△PMN为等腰直角三角形，
∴S△PMN＝PM 2，
要使△PMN的面积最大，即PM最大，
由(2)得，PM＝CE，即当CE最大时，PM最大．
如解图，当点C、E在点A异侧，且在同一条直线上时，CE最大，此时CE＝AE＋AC＝AD＋AB＝14，
第9题解图
∴PM＝CE＝×14＝7，
故△PMN的最大面积为S△PMN＝×7×7＝.
10.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.
(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；
(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长．
第10题图
解：(1)如解图①，
∵折叠后点A落在AB边上的点D处，
第10题解图①
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF＝S△DEF，
∵S四边形ECBF＝3S△EDF，
∴S四边形ECBF＝3S△AEF，
∵S△ACB＝S△AEF＋S四边形ECBF，
∴S△ACB＝S△AEF＋3S△AEF＝4S△AEF，
∴，
∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2，
即AB＝＝5，
∴()2＝，
∴AE＝；
(2)①四边形AEMF是菱形．
证明：如解图②，
∵折叠后点A落在BC边上的点M处，
∴∠CAB＝∠EMF，AE＝ME，
又∵MF∥CA，
∴∠CEM＝∠EMF，
∴∠CAB＝∠CEM，
∴EM∥AF，
∴四边形AEMF是平行四边形，而AE＝ME，
∴四边形AEMF是菱形，
第10题解图②
②如解图②，连接AM，与EF交于点O，设AE＝x，则AE＝ME＝x，EC＝4－x，
∵∠CEM＝∠CAB，∠ECM＝∠ACB＝90°，
∴Rt△ECM∽Rt△ACB，
∴＝，
∵AB＝5，
∴解得x＝，
∴AE＝ME＝，EC＝，
在Rt△ECM中，∵∠ECM＝90°，
∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM＝＝＝，
∵四边形AEMF是菱形，
∴OE＝OF，OA＝OM，AM⊥EF，
∴S＝4S△AOE＝2OE·AO，
在Rt△AOE和Rt△ACM中，
∵tan∠EAO＝tan∠CAM，
∴＝，
∵CM＝，AC＝4，
∴AO＝3OE，
∴S＝6OE2，
又∵S＝AE·CM，
∴6OE2＝×，解得OE＝，
∴EF＝2OE＝.下载本文
