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有这样一类数学问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是当我们改变思考的顺序，以问题叙述的终点为起点，一步一步从后向前思考，往回算的过程中按照加减互为逆运算，乘除互为逆运算改变原有的运算，这样问题就容易解决了。这种解题的方法叫做还原法或逆推法。用这样的方法解决的问题是还原问题。

互逆的运算是求解还原问题的知识基础。

（1）某数加上2得8，求某数。

由题意：某数+2=8

由减法是加法的逆运算：某数=8－2=6

（2）某数减去2得10，求某数。

由题意：某数－2=10

由加法是减法的逆运算：某数=10+2=12

（3）某数乘以5得45，求某数。

由题意：某数×5=45

由除法是乘法的逆运算：某数=45÷5=9

（4）某数除以6得8，求某数。

由题意：某数÷6=8

由乘法是除法的逆运算：某数=8×6=48

重点·难点

还原法要从最后一个已知条件出发，一步一步还原，求得结果。原题加，倒推为减；原题减，倒推为加；原题乘，倒推为除；原题除，倒推为乘。解题时通常先顺着题意列出算式，再列出与之对应逆向的算式，即可找到解题的出路。

学法指导

应用还原法解题时要注意是否满足以下条件：已知的是最后的结果和在到达最终结果时每一步的具体过程或具体做法，未知的是最初的情况。

经典例题

［例1］有一根绳子，第一次用去3米，又用去余下的三分之一；第二次用去4米，又用去余下的一半。最后还剩4米，求绳子原有多长？

思路剖析

不妨将绳子的使用情况由两次分为四步完成，第一步用去3米，第二步用去余下的，第三步用去4米，第四步用去余下的一半，最后的结果是剩4米。那么在第四步之前没用余下的一半时，有绳长4×2=8（米），第三步之前没用4米时，应有绳长8+4=12（米），12米是第二步用完余下的所剩的，因此12米应是余下绳子的，那么在第二步用去余下的之前应有绳长12÷=18（米），那么在第一步用去3米之前原来的绳长可求。

也可将整个过程按顺序列成如下的算式：

[（□－3）

再按照逆推的方法求得□的值。

解答

绳长为：

=12÷+3

=18+3

=21（米）

答：绳子原长21米。

点津

此题可以按从后向前的顺序一步一步求得结论，也可将这一步一步逆推的过程列成综合的算式求解。

[例2]甲、乙、丙三人各有图书若干，开始时甲先拿出自己藏书的一部分分给乙、丙，使他们的图书数增加了1倍；然后乙也这样做了一次，使甲、丙的图书数增加了1倍；最后丙也这样做了一次，使甲、乙的图书数增加了1倍。这时三人的藏书数都是32本。甲、乙、丙三人原来各有多少图书？

思路剖析

由于已知三人的最后藏书都为32本，第三次以后甲、乙的图书数都增加了1倍，所以甲、乙原来各有32÷2=16（本），而丙有32+16+16=（本），第二次以后甲、丙的图书数都增加了1倍，所以甲有16÷2=8（本），丙有÷2=32（本），而乙有16+8+32=56（本），第一次以后乙、丙都增加了1倍，则乙有56÷2=28（本），丙有32÷2=16（本），而甲有8+28+16=52（本）。以上这个还原的过程还可以用图表的方式表达出来会使题意更明晰。

解答

第三次分书后  第二次后   第一次后    原有

甲

乙

丙

答：甲、乙、丙原有图书依次为52本、28本、16本。

点津

由于在此三次分书的过程中三人同时参与，因此不可能单考虑一个人的情况，要从整体上同时考虑每次分书后三人的藏书情况。

［例3］桌上有200个棋子，两个人轮流从棋子中取走1个、2个、3个或4个。取走最后一个棋子的人输，应怎样取，才能保证获胜？

思路剖析

要想获胜，最后一定只留一个棋子给对方。由于每次取棋子的数目最多是4个，最少是1个，所以当取完棋子之后，应该给对方留下6个棋子，此时无论对方取几个，只要使自己拿的棋子数与对方拿的棋子数的和为5，就可以使只给对方留一个棋子的情况出现。依据这样的道理，再往前一轮取完棋子之后应给对方剩下6+5=11（个）棋子。再继续向前推一轮则该剩下11+5=16（个）棋子。由此可知，每次取完棋子只要给对方剩下5的倍数加1个就可以获胜。要保证在后面取棋子的过程中，使自己取走的棋子数与对方的和为5，这样才能保证每次剩下的棋子数是5的倍数加1个。而200恰为5的倍数，那么想获胜的人必须保证在第一次取完之后剩下的数是5的倍数加1。而与200最接近的满足条件的数是196=5×39+1，因此第一次取后应剩下196个棋子才可能获胜。

解答

保证可以获胜的取法为：

（l）第一次先取走4个棋子。

（2）以后每次所取的棋子数要与对方取的棋子数的和为5。

[例4]已知A、B、C、D四个数，它们的和是80，A的5倍、B减去1、C加上5、D的一半都相等。求A、B、C、D这四个数各是多少？

思路剖析

要求四个数各为多少，就要利用和为80这个条件。所以首先要从其他条件中得出这四个数之间的关系。由于“A的5倍、B减去1、C加上5、D的一半都相等”。可知B为A的5倍加1，C为A的5倍减5，D为A的5×2=10倍。即B=5A+1，C=5A－5，D=10A。那么这四个数的和为A的21倍减去4，此和为80，那么A的21倍为80+4=84。A可求，那么其他数可知。

解答

数A：（80－1+5）÷（1+5+5+10）

=84÷21

=4

B：4×5+1=21

C：4×5－5=15

D：4×5×2=40

答A、B、C、D这四个数各是4、21、15、40。

点津

此题的关键是以一个数为标准数，找到四个数之间的关系，在此题中我们是以A的5倍为标准数，相比较而言，选择A的5倍较简单。

[例5]瓜地里来了一群猴子，第一次吃去了西瓜总数的一半又半个；第二次又吃掉剩下西瓜的一半又半个；第三次又来吃掉剩下西瓜的一半又半个；第四次吃掉剩下西瓜数的一半。这时瓜地里还有50个西瓜。那么原来瓜地里有多少个西瓜？

思路剖析

第四次没吃时应有西瓜50×2=100（个）；第三次吃掉剩下的西瓜的一半时应有西瓜100+0.5=100.5（个），那么第三次没吃时有瓜：100.5×2=201（个）；第二次吃掉剩下的西瓜的一半时应有瓜：201+0.5=201.5（个），那么第二次没吃时有西瓜：201.5×2=403（个）。依次可求得第一次没吃时西瓜的个数，即原来瓜地里有多少个西瓜。

解答

第四次来吃之前瓜数：50×2=100（个）

第三次来吃之前瓜数：（100+0.5）×2=201（个）

第二次来吃之前瓜数：（201+0.5）×2=403（个）

第一次来吃之前瓜数：（403+0.5）×2=807（个）

答：瓜地里原来有807个西瓜。

点津

虽然题中出现了半个西瓜的情况，但实际上这群猴子哪一次吃瓜也没有出现吃半个瓜的情况，这半个瓜是由于原来的瓜数是奇数，吃掉一半后会出现半个的情况。

［例6］有一筐苹果，爷爷把它分成三等份后还多一个苹果，爷爷留下其中的一份和多出的一个苹果，其余的分给了爸爸；爸爸把所得的苹果分成三等份后也多出了一个苹果，爸爸也留下其中的一份和多出的一个苹果，又把其余的给了大儿子；大儿子把所得的苹果分成三等份后也多出了一个苹果，他也留下其中的一份和多出的一个苹果，又把其余的给了弟弟；弟弟发现他得到的苹果分成三份后还是多了一个。爷爷那里一开始最少有多少个苹果？

思路剖析

我们将爷爷分苹果的每份苹果数记为A，爸爸的记为B，大儿子的记为C，弟弟的记为D。那么开始有苹果（3A+l）个，2A=3B+l，2B=3C+1，2C=3D+l。由于弟弟的苹果数最少，则从D的数值考虑起，由于3D+l=2C，则3D+l是偶数，那么D一定为奇数，若D=1，那么2C=4，C=2，则2B=2×3+l=7，B不为整数，不符合题意。若D=3，那么2C=10，则2B=3×5+1=16，2A=3×8+1=25，A不为整数，不符合题意。若D=5，2C=3×5+l=16，C=8，2B=3×8+1=25，B不为整数，不符合题意。若D=7，则2C=3×7+l=22，C=11，2B=3×ll+1=34，B=17，2A=3×17+l=52，A=26符合题意，则可知最开始苹果的个数。

我们还可以由2A=3B+1，2B=3C+l，2C=3D+l，把A用含有D的式子表示出来，进而表示出3A+l，由3A+l是整数的性质得出D的数值。

由于（10D+8）是整数，若使（D+）为整数，D的最小值取7，那么苹果总数可求。

解答

按一种方法，分析出弟弟分出的苹果每份为7个，可知弟弟分得3×7+1=22（个），大儿子分出的苹果每份为22÷2=11（个），大儿子分到3×11+1=34(个)苹果。爸爸分出的苹果每份是34÷2=17（个）。爸爸分到3×17+1=52（个）苹果，爷爷分出的苹果每份是52÷2=26（个），那么总共有苹果：26×3+1=79（个）。

第二种方法：设弟弟分出的苹果每份有D个。那么总共有苹果：

根据实际情况，D的最小取值为7

则共有苹果：10×7+8+×7+=79（个）

答：爷爷那里一开始最少有79个苹果。

点津

此题的求解不仅要考虑到还原的问题，还要根据题目出现的实际情况考虑数的整除性。

发散思维训练

1．小明在做一道加法题目时，把个位上的3看成了8，把十位上的7看成了1，结果得到了一个答案是135。那么正确的结果应是多少？

2．在超市中，小张买水果花去了所带钱的，买蔬菜又花去了剩下的钱的，买完东西后还剩下10元钱。问小张开始带了多少钱？

3．A、B、C、D四名同学共有320本图书，A同学借给B同学26本，B同学借给C同学36本，C同学借给D同学32本，D同学又借给A同学4本，这时他们四个人的图书数相等，他们四人原来各有图书多少本？

4．有甲、乙、丙三个粮仓，总共存有576吨粮食。从甲粮仓运出与乙粮仓同样多的粮食放到乙粮仓中，再从乙粮仓中运出与丙粮仓同样多的粮食放到丙粮仓，最后从丙粮仓运出与甲粮仓现有的同样多的粮食放到甲粮仓中，这时三个粮仓的粮食恰好一样多。原来甲粮食比乙粮仓的粮食多多少吨？

5．草原上有一群小马，第一次跑开了全部的，第二次跑开了剩下的，第三次跑开了剩下的，第四次跑开了剩下的，还剩下10匹留在原地，草原上开始有多少匹小马？

6．商店里进了一些西瓜，第一次卖了总数的还多4个，第二次卖了余下的还多3个，第三次卖出了剩下的还多3个，第四次卖出剩下的少半个，最后剩下15个。求商店里总共进了多少西瓜？

7．有四个车间合作完成一项任务，由第一车间抽调工人支援第二车间，又将第一车间余下工人的支援第三车间，再把余下的多5人支援第四车间，这时第一车间还剩35人，问第一车间原来有多少人？

8．有一堆桔子，把它们五等分后剩下一个，取走4份又一个；剩下的再五等分又剩下一个，再取走4份又一个；剩下的再五等分又剩下一个。问原来至少有多少个桔子？

9．口袋里有若干块糖，老师每次拿出其中的一半再放回一块后分给小朋友，这样共做了五次，口袋里还剩下5块糖。问：口袋里原有多少块糖？

10．甲、乙、丙三人分48个苹果，每人分得的苹果数分别等于他们各自的年龄。如果丙先把所得的苹果的一半平分给甲、乙，接着乙把现有的苹果的一半平分给甲、丙，最后甲把现有的苹果的一半平分给乙、丙，这时每人的苹果数相等。问甲、乙、丙三人的年龄各是多少？

参

发散思维训练

1．解：

因为把个位上的3看成了8，所以多加了8－3＝5；又因为把十位上的7看成了1，所以少加了（7－l）×10＝60。

135－5+60=190

答：正确的结果应为190。

2．解：

“买蔬菜花去了剩下的钱的”，那么最后剩下的10元钱应为买完水果后剩下的钱的，那么买蔬菜前身上有（元），是总共钱数的，那么小张有钱：（元）

答：小张开始带了25元钱。

3．解：

总的图书数是不变的，当四人的图书数相等时，每人有320÷4=80（本）

此时A借出26本，借入4本，则A有80+26－4=102（本）

B借入26本，借出36本，则B有80－26+36=90（本）

C借入36本，借出32本，则C有80－36+32＝76（本）

D借入32本，借出4本，则D有80－32+4=52（本）

答：A、B、C、D四同学原有的图书数分别为：102本、90本、76本、52本。

4．解：

三个粮仓粮食一样多时，每个粮仓有粮食：576÷3=192（吨）

由于“从丙粮仓中运出与甲粮仓现有的同样多的粮食放到甲粮仓中”，此时甲粮仓有192吨粮食，说明“甲粮仓现有的”粮食有192÷2=96（吨），即甲粮仓运出与乙粮仓同样多的粮食后剩下的粮食数，也就是甲粮仓比乙粮仓多的粮食数。

答：甲粮仓比乙粮仓的粮食多96吨。

5．解：

第四次跑开前剩下的小马数：（20匹）

第三次跑开前剩下的小马数：（匹）

第二次跑开前剩下的小马数：（匹）

第一次跑开前，即原有的小马数：（匹）

答：草原上开始有50匹小马。

6．解：

第四次卖出前的西瓜数：（个）

第三次卖出前的西瓜数：（个）

第二次卖出前的西瓜数：（个）

第一次卖出前的西瓜数：（个）

答：商店里总共进了90个西瓜。

7．解：

支援第四车间之前，第一车间剩余人数：

（人）

支援第三车间之前，第一车间剩余人数：

（人）

支援第二车间之前，第一车间的人数：

（人）

答：第一车间原来有150人。

8．解：

因为求至少有多少个桔子，因此从最少的可能的情况考虑起。最后一次五等分时最少的情况是每份1个桔子，那么

第三次分之前有：1×5+l=6（个）

第二次分之前有：6×5+l＝31（个）

第一次分之前有：31×5+l＝156（个）

答：原来至少有156个桔子。

9．解：

第五次做之后有5块，

第五次做之前有：（5－l）×2=8（块）

第四次做之前有：（8－1）×2=14（块）

第三次做之前有：（14－l）×2＝26（块）

第二次做之前有：（26－l）×2＝50块）

第一次做之前有：（50－l）×2=98（块）

答：口袋里原有98块糖。

10．解：

三人苹果数相同时每人有48÷3＝16（个）。

那么在甲分苹果前，甲有苹果16×2=32（个），乙、丙有苹果：16－（32÷2÷2）=8（个）。

在乙分苹果前，乙有苹果：8×2＝16（个），甲有苹果：32－（16÷2÷2）＝28（个），丙有苹果：8－（l6÷2÷2）=4（个）。

在丙分苹果前，丙有苹果：4×2=8（个），甲有苹果：28－（8÷2÷2）=26（个），乙有苹果：16－（8÷2÷2）＝14（个）。

答：甲、乙、丙三人的年龄分别为26岁、14岁和8岁。

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