关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、

英文题目Limit methods summarize

Abstract:

The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.

Key words:

Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law,

一.引言

高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 ， 特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去， 没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、 洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

二. 研究问题及成果

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.

（2）一定注意两个重要极限成立的条件。 一定注意两个重要极限

成立的条件。 

例如：，，；等等。

4．洛比达法则

    定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，  ～  ； ～ 。

   定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。    

5．洛比达法则

  定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；

        （2）和都可导，且的导数不为0；

        （3）存在（或是无穷大）；

  则极限也一定存在，且等于，即= 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

  定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。

7．极限存在准则

  定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

  定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：

（1） 

       （2） ，

      则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

二、求极限方法举例

1．利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 

解：因为是函数的一个连续点，

   所以  原式= 。

2．利用两个重要极限求极限

例5 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6 

解：原式= 。

例7 

解：原式= 。

注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第一个而言是 x→0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。

3．利用定理2求极限

例8 

解：原式=0 （定理2的结果）。

4．利用等价无穷小代换（定理4）求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]

设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．

常用等价无穷小：当变量时，

．

例1  求．

解  ，

      故，原式

例2  求．

解  ,因此:

原式．

例3  求 ．

解  ，故:原式=．

例4  求．

解 ,故:

原式．

例5  试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小．

解    而左边，

故  即  ．

5.利用洛比达法则求极限

利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.

洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.

洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 . [1]

求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3]

例12 （例4）

解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例13 

解：原式= 。

例14 

解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15 

解：

例18 

解：错误解法：原式= 。

正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19 

解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

原式= （分子、分母同时除以x）

    = （利用定理1和定理2）

注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0 比0 和无穷比无穷时候直接分子分母求导； （2） 0 乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都 写成了无穷小的倒数形式了。 通项之后这样就能变成 1 的形式； （3） 的 0 次方， 0 1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取 对数的方法， 这

样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了， （这就是为什么只有 3 种形式的原因， ）

6.利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：

 ，解得：或（不合题意，舍去）

所以 。

例21 

解： 易见：

因为 ，

所以由准则2得： 。

7.直接使用求导的定义求极限

当题目中告诉你时，的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：

（1）设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即  ；

（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.

例36  ，求.

解   .

例37  若函数有连续二阶导数且，，，  

则 .

A:不存在       B：0         C：-1        D：-2  

解  .

所以，答案为D.

例38  若，求.

解  

          .

8.求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]

例33  已知 ,在区间上求（其中将分为个小区间,，为中的最大值）.

解  由已知得:         

                                .

（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积）.

在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：

（1）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一个点，使下列公式成立： ；

（2）设函数在区间上连续，取，如果极限  存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即；

设在区间上连续且，求以曲线为曲线，底为的曲边梯形的面积，把这个面积表示为定积分： 的步骤是：

首先，用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间，相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积设为，于是有；

其次，计算的近似值  ；

然后，求和，得的近似值  ；

最后，求极限，得.

例34  设函数连续，且，求极限 .

解   =

，

.

例35  计算反常积分: .

解   ===.

9.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

利用如下的极限运算法则来求极限：

(1)如果

那么

若又有，则

（2）如果存在，而为常数，则

（3）如果存在，而为正整数，则

（4）如果，而，则

（5）设有数列和，如果

那么，

当且时，

例1  

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2  

解：原式= 。

例3 

解：原式 。

三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

四. 结束语

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。

[参　考　文　献]

[1]  同济大学应用数学系 高等数学 1997

[2]　吉米奇.数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.

[3]　陈纪修,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.

[4]　同济大学应用数学组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期张宏达:高等数学中求极限的常用方法

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