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（通用版）
高三抽象函数专题（提高篇）
抽象函数是高中数学的一个难点，也是其他省市近几年来高考的热点。主要考点为解析式和性质分析。
抽象函数只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象，其概念抽象，性质隐而不显。故技巧性很强，学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
一、定义域——整体换元法。
例1、：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(
+=x f y 的定义域。答案：),2
1(]31
,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x
的范围等同。二、值域：
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2
例2、函数f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y)
且f(4)=2
，则f =答案：1
2
三、解析式（可解性）：
1、对称性：——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。
结论1：设函数f (x)的定义域为R，且f (a+x )=f (b-x )，则函数f (x )的图象关于直线2
b a x +=对称；特别地，当f (a+x )=f (a-x )时，f(x)的图象关于x=a 对称（自身对称）。结论2：对于定义在R 上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线2
a b x -=对称（相互对称）。例3、设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（）。
A、直线0=y 对称B 直线0=x 对称C 直线1=y 对称D 直线1=x 对称
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3
答案：D
练习1：已知函数y =f (x )满足f (x +2)=f (2-x )；若方程f (x )=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______。
答案：6
2、周期性：——充分理解与运用相关的抽象式是关键。
结论3：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。证明)(x f y =是周期函数。
证明：由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+，
又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)
()(x f x f -=-∴)()2(x f x f -=+，
则)
()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+由周期函数的定义可知4是它的一个周期。
总结：一般地，)()(x f T x f -=+,)
(1)(x f T x f ±=+均可断定函数的周期为2T。3、奇偶性——紧扣定义、合理赋值。
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例4：已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
（1）计算f（1）和f（-1）
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论。
解：（1）令1==y x ，代入得0
)1(),1(2)1(==f f f 再令1-==y x ，代入得0
)1(),1(2)1(=---=f f f （2）令1,-==y x x ，代入得)()(x f x f -=-，故为奇函数
总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。
4、单调性：紧密结合定义、适当加以配凑。
例5：
设)(f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且对于任意的[]1,1,-∈b a ，当0≠+b a 时，都有0)()(>++b
a b f a f （1）若b a >，比较)(a f 与)(b f 的大小。（2）若)4
13()21
(-<-m f m f ，求实数m 的取值范围。解：（1）由题意则0)()(>--+b
a b f a f ，因为b a >，且为奇函数，所以)()(b f a f >
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5（2）由（1）则函数为单调递增，故⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤--<-14131121141321m m m m ，解略练习2、已知函数)(x f 对任意实数x ，y ，均有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ，求)(x f 在区间[－2，1]上的值域。
解：令0==y x ，则0
)0(=f 再x y -=，则0)()(=-+x f x f ，函数为奇函数
取12x x >，则0)()()(1212>-=-x x f x f x f ，单调递增
则2)1(,4)1(2)2(=-=-=-f f f ，所以)(x f 在区间[－2，1]上的值域[－4，2]
3、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝5，求不等式3)22(2<--a a f 的解.
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6解：取02)()()(,121221>--=- ）来判断。答案：B 四、关联想象--模型函数 例6：如果f (x +y )=f (x )•f (y ),且f (1)=2，则 ) 2003()2004()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++ 的值为_________。 让家成为孩子钟爱的课堂页 7 答案：2004 例7：已知f (x )是定义在R 上的函数，f (1)=1，且对任意R x ∈都有f (x +5)≥f (x )+5，f (x +1)≤f (x )+1，若g (x )=f (x )+1-x ，则g (2005)=_____. 答案：1 练习：1、(2008·重庆)若定义在R 上的函数f(x)满足:对任意 2,x 1x ∈R 有 f(21x x +)=f(1x )+f(2x )+1,则下列说法一定正确的是( )A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 答案：C 抽象函数的证明 例、已知函数f (x )对任意实数x ,y 均有f (xy )=f (x )•f (y )，且f (-1)=1,当0≤x <1时，f (x )[)1,0∈， (1)判断f (x )的奇偶性； (2)判断f (x )在[)+∞,0上的单调性，并给出证明. 让家成为孩子钟爱的课堂页 8 解：（1）令1-=y 则)()(x f x f =-，所以f (x )为偶函数 （2）当0≤x <1时，f (x )[)1,0∈，令0==y x ，则)0()0(2 f f =，则0)0(=f 由,021x x <<121 例8：已知函数f(x)定义域R，对任意的x、y ∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时，f(x)>1,⑴求证：f(x)存在反函数.⑵.若不等式f(a 2+a-5)<2的解为-3 （2）函数为单调递增的，令2)(=t f ，不等式f(a 2+a-5)<2即化为a 2+a-5t <的解-3 例：已知函数f(x)对任意的x>0,y>0都有()f xy ＝()f x ()f y ，且x>1时， ()f x <1,()2f =1 9 ⑴.求证：()f x >0. 让家成为孩子钟爱的课堂页 9 ⑵.()f x 是否存在反函数，说明理由. （3）.若()f x >9的解集为（m,n）求m+n。 解：（1）令x y =，则0)()(22≥=x f x f ，即函数值非负，又因为9 1)2 ()()2(==x f x f f ，则0)(≠x f ，那么只有()f x >0.（2）取210x x <<，因为)( )()(1212x x f x f x f =，则)()()(1212x x f x f x f =，而112>x x ，及（1）的结论，则1)()()(1 212<=x x f x f x f ，即)()(12x f x f <，函数f(x)在),0(+∞单调递减，所以()f x 存在反函数 （3）令1==x y 代入易得1)1(=f ，再令21,2= =y x 代入易得则9)21(=f 由（2）则不等式的解集为21 ,0(，则m+n=2 13.指数函数型 例1.已知函数f(x)定义域R，满足①.x<0时，()f x >1②.f(0)≠0③.任意的x、y ∈R 有f(x+y)=f(x)f(y) ⑴.x>0时,0 当0>x 时，则1)0()()()(==-=-f x x f x f x f ,即) (1)(x f x f -=，而0<-x 让家成为孩子钟爱的课堂页 10 由已知①.则0 f x x x f ≥-+-。由函数单调性则062≥--x x ，得),3[]2,(+∞--∞∈ x 练习：设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有)n (f )m (f )n m (f ⋅=+，且0x >时1)(0< （2）证明：f(x)在R 上单调递减；（3）设}R a ,1)2y ax (f )y ,x ({B )},1(f )y (f )x (f )y ,x ({A 2 2∈=+-=>⋅=，若φ=B A ，确定a 的范围。 （4）试举出一个满足条件的函数)(x f . 解(1)令0==n m 易得1)0(=f ， 让家成为孩子钟爱的课堂页 11 当0 (2).由上述结论则0 2<+y x 内的所有点；对于集合B，得02=+-y ax 直线上的所有点，因为φ=B A ，所以等价于直线与圆内部有公共点则112 002<++-=a d ，得) ,3(3,(+∞--∞∈ a （4）取函数x x f 21 ()(=例2.已知函数f(x)定义域R，满足 ①存在x 1≠x 2使得f(x 2)≠f(x 1)、②任意的x、y ∈R 有f(x+y)=f(x)f(y) ③.x>0时，()f x <1且f(2)=19 .求证:⑴.任意的x ∈R,()f x >0。⑵.f(x)存在反函数。⑶.f -1(x 1x 2)=f -1(x 1)+f -1(x 2)。⑷.若f(m)=3,求m 的值。 让家成为孩子钟爱的课堂页 12解：（1）首先令x y =则0)()2(2≥=x f x f ，而又有9 1)2()2()()2(==-=-+f x f x f x x f ，则0)(≠x f ，故任意的x ∈R,()f x >0（2）由上述结论则0 x x -=+又因为)(),(212111y f x y f x --==，代入，则)()()(2112111y y f y f y f ---=+改变字母变量不影响等式关系，即得.f -1(x 1x 2)=f -1(x 1)+f -1(x 2)。 （4）由题意则)1()2(2f f =，则3 1)1(= f 又因为)0()0()00(f f f =+即1 )0(=f 那么有1)11()1()1(=+-=-f f f 则3)1(=-f ，函数又是单调的，则1-=m 4.对数函数型 例1.已知函数f(x)定义域R +，对任意的α∈R 有f(x α)=αf(x),且x>1时f(x)<0,f(12)=1⑴.求证：x>0,y>0时，f(xy)=f(x)+f(y) 让家成为孩子钟爱的课堂页 13 ⑵.求证f(x)有反函数. ⑶.解不等式f(x)+f(5-x)≥-2. 解：（1）令01>=-αx y ，由于任意的α∈R，所以任意y>0则)()()()1()()()()(y f x f x f x f x f x f xy f +=-+===ααα,即得证 （2）取,021x x <<由（1）则0( )()(1 212<=-x x f x f x f ，所以函数为单调递减，即f(x)有反函数.（3）由（1），令1==y x ，易得0)1(=f ，则0)1)2 1()2(==+f f f ，即得出1)2(-=f 那么2)2(2)4(-==f f ，不等式即)4()]5([f x x f ≥-， 由单调递减，则4)5(≤-x x ，解得),4()1,(+∞-∞∈ x 练习、已知函数)(x f 满足定义域在),0(+∞上的函数，对于任意的),0(,+∞∈y x ，都有)()()(y f x f xy f +=，当且仅当1>x 时，0)( y f -=； （2）设),0(,21+∞∈x x ，若)()(21x f x f <，试比较1x 与2x 的大小； 让家成为孩子钟爱的课堂页 14解：（1）由题意，则)()((y f x f x y f =+，即)()((x f y f x y f -=（2）由（1）及已知，则0)()()(2121<=-x x f x f x f ，则12 1>x x ，即1x >2x 5.三角函数型 例：已知函数f(x)定义域R，满足对任意的x、y ∈R 有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), f(0)≠0,f(1 2 )=0。⑴求证：f(x)是偶函数。 ⑵求证：f(x)是周期函数。 解：（1）令0=y 代入得)0()(2)(2f x f x f =，那么1 )0(=f 再令0=x 代入得)(2)()0(2)()(y f y f f y f y f ==-+即) ()(y f y f =-故f(x)是偶函数（2）令21=y 代入得021()(2)21(21(==-++f x f x f x f ，所以用21+x 代入0)2 121()2121(=-++++x f x f ，则)()1(x f x f -=+，那么)()2(x f x f =+故f(x)是周期函数。 让家成为孩子钟爱的课堂页 15 6.综合类. 例：已知函数f(x)定义域（-1，1），满足对任意的x ∈（-1，1）有f(x)+f(y)＝f x y 1xy ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ ，且x ∈（-1，0）时f(x)>0.求证：(1)f(x )为奇函数； (2)f(x )在(－1，1)上单调递减（3）f(1 5)+f( 111)+┈+f(21n 3n 1++)>f(12).解：（1）令0==y x ，则0 )0(=f 再令x y -=，则0)()(=-+x f x f ，所以函数为奇函数 （2）设11<<<-y x ，则01()()()()(>--=-+=-xy y x f y f x f y f x f ，所以f (x )在(－1，1)上单调递减（3）)21()11()21(11()1 31(2+-+=+-++=++n f n f n f n f n n f ，裂项求和法则21()21()21(21()21(1 31(....)111()51(2f n f f n f f n n f f f >+-+=+-=+++++ 让家成为孩子钟爱的课堂页 16 练习1、已知函数()y f x =的反函数。定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”。 （1）判断函数2 ()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由（2）求所有满足“2和性质”的一次函数； （3）设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。求()y f x =的表达式。评析：本题有两个难点，其一是抽象性，体现为新定义和数学符号是不是能读懂，其二 为严谨性和基础理论深刻性，体现为第三问依据函数定义的自然过渡。 解析：（1）)1(1)(1>-=-x x x g ， ∴1(1)0)g x x -+=>。 又2(1)(1)1(1)g x x x +=++>- ，其反函数为 1(1)y x =>。故2()1(0)g x x x =+>不满足“1和性质” (2)设函数()()f x kx b x R =+∈满足“2和性质”，0k ≠。 12(2)x b f x k -+-+=1()(x b f x x R k --=∈ ) 让家成为孩子钟爱的课堂页 17 而(2)(2)()f x k x b x R +=++∈，得反函数2x b k y k --=由“2和性质”定义可知对()x R ∈k b k x k b x --=-+22恒成立。∴1,R k b =-∈,即所求一次函数()(R f x x b b =-+∈）. （3）任取0,0>>x a ，由a 积性质定义，则点))(,(ax f x 关于y=x 的对称点)),((x ax f 在)(1ax f y -=的图像上，即有 )()())((1ax af x f ax af f x =⇒=-。 特别地，取x=1，则 a c a f a f a af f ∆==⇒=)1()()()1(上式对任意的0>a 恒成立。由函数意义，变量可以替换，故有）（0)(>= x x c x f ，其中c 为任意非零常数（否则反函数不存在）。2．设函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=成立，数列{}n a 满足1(0)a f =且*11()().(2) n n f a n N f a +=∈-- 让家成为孩子钟爱的课堂页 18（1）求2008a 的值； （2）若不等式12111(1(1)n a a a +++≥ 对一切*n N ∈均成立，求k 的最大值.
