期末数学试卷

一、选择题

1．（3分）若a＞b，则下列不变式变形正确的是（　　）

A．a+5＜b+5    B．＞    C．﹣4a＞﹣4b    D．3a﹣2＜3b﹣2

2．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．

C．    D．

3．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＝1    B．x≠0    C．x≠1    D．x≠﹣1

4．（3分）多项式x2﹣4因式分解的结果是（　　）

A．（x+2）2    B．（x﹣2）2    C．（x+2）（x﹣2）    D．（x+4）（x﹣4）

5．（3分）计算（）3•（）2÷（﹣）的结果是（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

6．（3分）已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（　　）

A．15cm    B．20cm    C．25cm    D．20cm或25cm

7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　　）

A．2    B．3    C．4    D．6

8．（3分）下列多项式中，能完全平方公式分解因式的是（　　）

A．    B．x2﹣y2﹣2xy

C．    D．n2﹣2n+4

9．（3分）下列图形中，不能单独镶嵌成平面图形的是（　　）

A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形

10．（3分）如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE； ④∠AEB＝∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）

A．①②③    B．①②④    C．①③④    D．②③④

二．填空题

11．（3分）分解因式：x2﹣9x＝　   　．

12．（3分）化简＝

13．（3分）十二边形的内角和为　   　度．

14．（3分）不等式组的解集是

15．（3分）若∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，PD∥AC，且PD＝6，PE⊥AC，则PE＝　   　．

16．（3分）如图，在射线OA、OB上分别截取OA1、OB1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B，上分别截取B1A2、B1B2，使B1A2＝B1B2，连接A2B2；……依此类推，若∠A1B1O＝α，则∠A2018B2018O＝　   　．

三．解答题

17．解不式1﹣≥并把它的解集表示在数轴上．

18．再求值：（﹣）÷，在﹣1、0、1、2四个数中选一个合适的代入求值．

19．如图，在△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等，

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连结AD，若∠B＝36°，求∠CAD的度数．

20．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

（1）作△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；

（2）作出将△A1B1C1向右平移3个单位，再向上平移4个单位后的△A2B2C2；

（3）请直接写出点B2关于x轴对称的点的坐标．

21．某服装店用6000元购进一批衬衫，以60元/件的价格出售，很快售完，然后又用13500元购进同款衬衫，购进数量是第一次的2倍，购进的单价比上一次每件多5元，服装店仍按原售价60元/件出售，并且全部售完．

（1）该服装店第一次购进衬衫多少件？

（2）将该服装店两次购进衬衫看作一笔生意，那么这笔生意是盈利还是亏损？求出盈利（或亏损）多少元？

22．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB＝CF；

（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．

23．某村为绿化村道，计划在村道两旁种植A、B两种树木，需要购买这两种树苗800棵，A、B两种树苗的相关信息如表：

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）若这批树苗种植后成活了670棵，则绿化村道的总费用需要多少元？

（3）若绿化村道的总费用不超过120000元，则最多可购买B种树苗多少棵？

24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE⊥AC，垂足为E．连接BE

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于4，求AE的长．

25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形．

（2）求∠OAD的度数．

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

2017-2018学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1．（3分）若a＞b，则下列不变式变形正确的是（　　）

A．a+5＜b+5    B．＞    C．﹣4a＞﹣4b    D．3a﹣2＜3b﹣2

【分析】利用不等式的基本性质判断即可．

【解答】解：由a＞b，得到a+5＞b+5，＞，﹣4a＜﹣4b，3a﹣2＞3b﹣2

故选：B．

【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．

2．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．

C．    D．

【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．

【解答】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．

故选：B．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

3．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＝1    B．x≠0    C．x≠1    D．x≠﹣1

【分析】分式有意义，分母不等于零．

【解答】解：分式有意义，

则x﹣1≠0，

解得x≠1．

故选：C．

【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面理解分式的概念：

①分式无意义⇔分母为零；②分式有意义⇔分母不为零；③分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

4．（3分）多项式x2﹣4因式分解的结果是（　　）

A．（x+2）2    B．（x﹣2）2    C．（x+2）（x﹣2）    D．（x+4）（x﹣4）

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．

故选：C．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

5．（3分）计算（）3•（）2÷（﹣）的结果是（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值．

【解答】解：原式＝••（﹣）＝﹣，

故选：D．

【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．（3分）已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（　　）

A．15cm    B．20cm    C．25cm    D．20cm或25cm

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：当腰为5cm时，5+5＝10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．

当腰为10cm时，10﹣5＜10＜10+5，能构成三角形；

此时等腰三角形的周长为10+10+5＝25cm．

故选：C．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，求三角形的周长，要验证三边关系能否组成三角形．

7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　　）

A．2    B．3    C．4    D．6

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝8，

∵点E、F分别是BD、CD的中点，

∴EF＝BC＝×8＝4．

故选：C．

【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．

8．（3分）下列多项式中，能完全平方公式分解因式的是（　　）

A．    B．x2﹣y2﹣2xy

C．    D．n2﹣2n+4

【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、m2﹣mn+n2其中有两项m2、n2能写成平方和的形式，mn正好是m与n的2倍，符合完全平方公式特点，故本选项正确；

B、x2﹣y2﹣2xy其中有两项x2、y2不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；

C、a2﹣2a+中2a不是a与的积的2倍，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；

D、n2﹣2n+4中，2n不是n与2的2倍，不符合完全平方公式特点，故此选项错误；

故选：A．

【点评】本题主要考查了能用完全平方公式分解因式的式子特点，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．

9．（3分）下列图形中，不能单独镶嵌成平面图形的是（　　）

A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形

【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

【解答】解：A、正三角形的每一个内角等于60°，6×60°＝360°，即能密铺，不合题意；

B、正四边形的每一个内角等于90°，4×90°＝360°，即能密铺，不合题意；

C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；

D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺，不合题意．

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．

10．（3分）如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE； ④∠AEB＝∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）

A．①②③    B．①②④    C．①③④    D．②③④

【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以．

【解答】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，

①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以，

故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

二．填空题

11．（3分）分解因式：x2﹣9x＝　x（x﹣9）　．

【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x，然后提取公因式即可．

【解答】解：原式＝x•x﹣9•x＝x（x﹣9），

故答案为：x（x﹣9）．

【点评】本题考查了提公因式法因式分解的知识，解题的关键是首先确定多项式各项的公因式，然后提取出来．

12．（3分）化简＝　

【分析】原式运用平方差公式约分即可得到结果．

【解答】解：＝＝，

故答案为：．

【点评】此题考查了约分，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13．（3分）十二边形的内角和为　1800　度．

【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．

【解答】解：（12﹣2）•180＝1800度．

【点评】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．

14．（3分）不等式组的解集是　x＞1

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，

解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，

则不等式组的解集为x＞1，

故答案为：x＞1．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组的能力，熟练掌握不等式的基本性质以准确求出每个不等式的解集是解答此题的关键．

15．（3分）若∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，PD∥AC，且PD＝6，PE⊥AC，则PE＝　3　．

【分析】过P作PF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠FDP＝∠BAC＝30°，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．

【解答】解：过P作PF⊥AB于F，

∵PD∥AC，

∴∠FDP＝∠BAC＝30°，

∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝3，

∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，

∴PE＝PF＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．

16．（3分）如图，在射线OA、OB上分别截取OA1、OB1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B，上分别截取B1A2、B1B2，使B1A2＝B1B2，连接A2B2；……依此类推，若∠A1B1O＝α，则∠A2018B2018O＝　（）2017•α　．

【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．

【解答】解：∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，

∴∠A2B2O＝α，

同理∠A3B3O＝×α＝α，

∠A4B4O＝α，

∴∠AnBnO＝α，

∴A2018B2018O＝（）2017•α．

故答案是：（）2017•α．

【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．

三．解答题

17．解不式1﹣≥并把它的解集表示在数轴上．

【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．

【解答】解：1﹣≥，

去分母得：6﹣3（3﹣x）≥2（2x﹣1），

6﹣9+3x≥4x﹣2，

3x﹣4x≥﹣2﹣6+9，

﹣x≥1，

x≤﹣1，

原不等式的解集在数轴上表示如下：．

【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．

18．再求值：（﹣）÷，在﹣1、0、1、2四个数中选一个合适的代入求值．

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再从﹣1、0、1、2四个数中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（﹣）÷

＝

＝4x+8﹣x+2

＝3x+10，

当x＝1时，原式＝3×1+10＝13．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19．如图，在△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等，

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连结AD，若∠B＝36°，求∠CAD的度数．

【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点D，则D点满足条件；

（2）先利用互余得到∠CAB＝54°，再根据AD＝BD得到∠BAD＝∠B＝36°，然后计算∠CAB与∠BAD的差即可．

【解答】解：（1）如图，点D为所作；

（2）在Rt△ABC，∵∠B＝36°，

∴∠CAB＝90°﹣36°＝54°，

又∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝36°，

∴∠CAD＝54°﹣36°＝18°．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

20．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

（1）作△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；

（2）作出将△A1B1C1向右平移3个单位，再向上平移4个单位后的△A2B2C2；

（3）请直接写出点B2关于x轴对称的点的坐标．

【分析】（1）依据中心对称的性质，即可作△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；

（2）依据平移的方向和距离，即可得到△A1B1C1向右平移3个单位，再向上平移4个单位后的△A2B2C2；

（3）依据关于x轴对称的点的坐标特征，即可得到点B2关于x轴对称的点的坐标．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．

（3）点B2关于x轴对称的点的坐标为（4，﹣3）．

【点评】本题主要考查了利用中心对称以及平移变换进行作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

21．某服装店用6000元购进一批衬衫，以60元/件的价格出售，很快售完，然后又用13500元购进同款衬衫，购进数量是第一次的2倍，购进的单价比上一次每件多5元，服装店仍按原售价60元/件出售，并且全部售完．

（1）该服装店第一次购进衬衫多少件？

（2）将该服装店两次购进衬衫看作一笔生意，那么这笔生意是盈利还是亏损？求出盈利（或亏损）多少元？

【分析】（1）设该服装店第一次购进衬衫x件，则第二次购进衬衫2x件，根据单价＝总价÷数量结合第二次进货的单价比第一次贵5元/件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；

（2）利用单价＝总价÷数量可求出第一次购进单价，将其+5可求出第二次购进单价，由第二次购进数量为第一次购进数量的二倍可求出第二次购进数量，再利用利润＝销售收入﹣成本即可得出结论．

【解答】解：（1）设该服装店第一次购进衬衫x件，则第二次购进衬衫2x件，

根据题意得：﹣＝5，

解得：x＝150，

经检验，x＝150是原方程的解．

答：该服装店第一次购进衬衫150件．

（2）第一次购进的单价为6000÷150＝40（元/件），

第二次购进的单价为40+5＝45（元/件），

第二次的购进数量为150×2＝300（件），

这笔生意的利润为（60﹣40）×150+（60﹣45）×300＝7500（元）．

答：这笔生意共盈利7500元．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．

22．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB＝CF；

（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．

【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；

（2）由AD＝2AB，AB＝FC＝CD，可得AD＝DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE＝EF，然后利用三线合一，证得结论．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DF，

∴∠ABE＝∠FCE，

∵E为BC中点，

∴BE＝CE，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB＝CF；

（2）∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，

∴AD＝DF，

∵△ABE≌△FCE，

∴AE＝EF，

∴DE⊥AF．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

23．某村为绿化村道，计划在村道两旁种植A、B两种树木，需要购买这两种树苗800棵，A、B两种树苗的相关信息如表：

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）若这批树苗种植后成活了670棵，则绿化村道的总费用需要多少元？

（3）若绿化村道的总费用不超过120000元，则最多可购买B种树苗多少棵？

【分析】（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（800﹣x）棵，根据总费用＝（购买A种树苗的费用+种植A种树苗的费用）+（购买B种树苗的费用+种植B种树苗的费用），即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；

（2）根据这批树苗种植后成活了670棵，列出关于x的方程，解方程求出此时x的值，再代入（1）中的函数关系式中即可计算出总费用；

（3）根据绿化村道的总费用不超过120000元，列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围，即可求解．

【解答】解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（800﹣x）棵，依题意得：

y＝（100+20）x+（150+20）×（800﹣x）＝﹣50x+136000

（2）由题意得：80%x+90%（800﹣x）＝670

解得x＝500

当x＝500时，y＝﹣50×500+136000＝111000（元）

答：若这批树苗种植后成活了670棵，则绿化村道的总费用需要111000元．

（3）由（1）知购买A种树苗x棵，购买B种树苗（800﹣x）棵时，

总费用y＝﹣50x+136000，由题意得：

﹣50x+136000≤120000

解得x≥320

∴800﹣x≤480

故最多可购买B种树苗480棵．

答：若绿化村道的总费用不超过120000元，则最多可购买B种树苗480棵．

【点评】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式、列出方程与不等式，明确不等关系的语句“不超过”的含义．

24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE⊥AC，垂足为E．连接BE

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于4，求AE的长．

【分析】（1）可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明；

（2）过B点作AE的垂线交AE于F点，设AE＝x，根据AAS可证△ABF≌△CDE，利用同底等高说明△CDE和△BCE的面积关系，解方程即可求解．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB＝180°，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠ADC+∠BCD＝180°，

∴AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：过B点作AE的垂线交AE于F点，

设AE＝x，

∵△ABE是等边三角形，

∴∠BAE＝60°，

∴在Rt△ABF中，AF＝，BF＝，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAC＝∠DCE，

在△ABF与△CDE中，

，

∴△ABF≌△CDE（AAS），

∴EC＝AF＝，DE＝BF＝，

∴S△CDE＝××＝，

∵△CDE和△BCE等底等高，

∴S△CDE＝S△BCE＝2

∴＝2，

∴x＝4．

故AE的长是4．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，及直角三角形的面积公式和全等三角形的证明．解决本题的关键是熟练掌握两个三角形等底等高面积相等的知识点．

25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形．

（2）求∠OAD的度数．

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

【分析】（1）只要证明OC＝OD，∠OCD＝60°即可；

（2）想办法求出∠OAC+∠OBC＝45°即可解决问题；

（3）分三种情形讨论求解即可解决问题；

【解答】解：（1）∵△BOC旋转60°得到△ADC，

∴△BCO≌△ACD，

∴OC＝CD，且∠OCD＝60°

则△OCD是等边三角形；

（2）∵△ABC为等边三角形

∴∠BAO+∠OAC＝60°，∠ABO+∠OBC＝60°

∵∠AOB＝105°

∴∠BAO+∠ABO＝75°，

∴∠OAC+∠OBC＝120°﹣75°＝45°

∵△BOC旋转60°得到△ADC，

∴△BCO≌△ACD，

∴∠DAC＝∠OBC

∴∠OAD＝∠OAC+∠CAD＝45°

（3）若△AOD是等腰三角形

∵由（1）知△OCD是等边三角形，

∴∠COD＝60°

由（2）知∠OAD＝45°

当OA＝OD时，∠AOD＝90°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣90°＝105°

当OA＝AD时，∠AOD＝67.5°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣67.5°＝127.5°，

当AD＝OD时，∠AOD＝45°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣45°＝150°，

综上所述：当α＝105°，127.5°或150°时，△AOD是等腰三角形

【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．下载本文