一、选择题
1．定义运算()()
a a
b a b b a b ≤⎧⊕=⎨
>⎩，则函数()12x
f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．
C ．
D ．
2．已知2a i
b i i
+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3
3．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由2
222
()110(40302030),7.8()()()()60506050
n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=≈++++⨯⨯⨯算得 附表：
2()P K k ≥
0．050 0．010 0．001
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
23
D ．
34
5．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．
110
B ．
310
C ．
35
D ．
25
6．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组
D ．7组
7．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A
B =
A ．{0}
B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
8．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ）
A ．
14
B ．
12
C ．
2
D
9．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1
B ．﹣2
C ．6
D ．2
10．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
11．已知,a b ∈R ，函数32
,0()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）
A ．1,0a b <-<
B ．1,0a b <->
C ．1,0a b >-<
D ．1,0a b >->
12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=则BC=______ A 3B 7
C 2
D 23二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=
，则cos()αβ-=___________. 14．函数()2
3s 34f x in x cosx =-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是__________． 15．在平行四边形ABCD 中，3
A π
∠=
，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是
边BC ，CD 上的点,且满足
CN CD
BM BC
=
，则AM AN ⋅的取值范围是_________．
16．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．
17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为
3
3
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 18．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________. 19．若函数2
()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是
__________．
20．已知双曲线1C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的
点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：
22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．
三、解答题
21．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③
.
判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.
（Ⅱ）将直径尺寸在
之外的零件认定为是“次品”.
①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望
.
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点为
)
5,05
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
23．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
24．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛
⎫
=-= ⎪⎝
⎭
. （I ）12C C 求与交点的极坐标；
（II ）
112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为
()33{,,.1
2
x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值 25．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2
ADC π
∠=，1
22
AB AD CD ==
=，6PD PB ==，PD BC ⊥．
（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3
π
？若存在，求
CM
CP
的值；若不存在，说明理由．
【参】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0
122,0
x
x
x f x x >⎧=⊕=⎨
≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的
值，从而可得结果. 【详解】
因为2
2
222a i ai i ai b i i i
+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以22
11b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
由27.8 6.635K ≈>，而(
)
2
6.6350.010P K ≥=，故由性检验的意义可知选A
4．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2
46C 种，数学之和为偶数的有13,24
++两种，所以所求概率为1
3
，选B ． 考点：古典概型．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】
设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：
()255
P x y ≤=
=，故本题选C . 【点睛】 本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.
6．B
解析：B
【解析】
由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果．
【详解】
解：由集合A 得x 1≥,
所以{}A B 1,2⋂=
故答案选C.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
8．C
解析：C
【解析】
由题得(1)111122222
i i i i z i z i -+====+∴==+. 故选C. 9．C
解析：C
【解析】
试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可．
解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，
当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素，
当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，
当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，
故选C ．
点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算
【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为
2633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 故选B.
.
【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，
32321111()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=
-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】 当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a
=-；()y f x ax b =--最多一个零点；
当0x 时，32321111()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，
当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，
()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；
当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，
1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，
如图： ∴01b a <-且32011(1)(1)(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116
,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
2222149||||cos ()122
BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-= |3BC ∴
故选：A
【点评】
本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
二、填空题
13．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角
三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边 解析：79
- 【解析】
试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么
1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3
βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈. 14．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1
解析：1
【解析】
【详解】
化简三角函数的解析式，
可得()22311cos cos 44
f x x x x x =--=-++=
2(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，
当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 15．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
解析：
[2]5, 【解析】
【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ， 13,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设||||||||BM CN BC CD λ==，[]
0,1λ∈，则(22M λ+，3)2λ，5(22N λ-，3)2， 所以(22AM AN λ=+，35)(222λλ-，22353)5425244
λλλλλλ=-+-+=--+， 因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]
0,1λ∈时，[]2252,5λλ--+∈． 故答案为：
[2]5,
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
16．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为
解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】
由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x
， 解得51322,66
k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|
22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 17．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C−AB−D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为
解析：16
【解析】
【分析】
【详解】
设AB =2,作CO ⊥面ABDE
OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，
CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，
结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥， 3,11(),22
12AN EM CH AN
AC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴⋅= 故EM ,AN 1
126
33=⋅，
18．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和
10
【解析】
分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可. 详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，
()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+
39110i =-+=+=10.
点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++
19．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的
解析：1
8
【解析】 【分析】
由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到
22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结
果. 【详解】
函数()2
1ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增
()210a
f x x x
'∴=-+
≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()2
2g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14
x =
时， ()max 18g x =
1
8a ∴≥
，故实数a 的最小值是18
本题正确结果：1
8
【点睛】
本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.
20．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即
解析：2+
【解析】 【分析】 由题意可得00b
y x a
=
，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：2
2(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c
e a
=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】
由题意，双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b
y x a
=
，①
又12MF MF ⊥，可得
00001y y
x c x c
⋅=-+-， 即为222
00y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，
由F 为焦点的抛物线2C ：2
2(0)y px p =>经过点M ， 可得2
2b pa =，且2
p
c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --= 由c
e a =
，可得2410e e --=，解得25e =+ 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范
围)．
三、解答题
21．（I ）丙级；（Ⅱ）①；②
.
【解析】 【分析】
（I ）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。
（Ⅱ）先根据题意将次品件数求出。①根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出。②根据古典概型求概率的公式，可以求出的每种取值的概率，进而求出。
【详解】 （I ）
，
，
，
，
，
，
由图表知，
，
，
所以该设备的级别为丙级.
（Ⅱ）①从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是
，
依题意，～，故
.
②从100件样品中任取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，
，
，
故.
【点睛】
对于（Ⅱ）问题①是二项分布（次重复试验中，事件A 发生的次数 ，其
期望为
）利用公式得出
。
22．（1）22194
x y +=；（2）22
013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、
b 、
c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、
2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为
()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用
0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知
55
33
a a =⇒=，且有2235
b -=2b =，
因此椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=；
（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得
()()()2
2
20000941360k
x k y kx x y kx ++-+--=，
()(
)()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦
， 化简得()2
2
00940y kx k ---=，即()()
222
00009240x
k kx y y --+-=，
则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程(
)
(
)
2
2
2
00009240x k kx y y --+-=的两根，则
201220419
y k k x -==--，
化简得22
0013x y +=；
②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆
2213x y +=上.
综上所述，点P 的轨迹方程为2
2
13x y +=.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 23．（1）12x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
；（2）(]0,2 【解析】
分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化
为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集
为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为
()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应
用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 24．（I
）(4,),(2)24
π
π
（II ）1,2a b =-= 【解析】 【分析】 【详解】
（I ）圆1C 的直角坐标方程为22
(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=
联立得22(2)4{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C
交点的极坐标为
(4,)24
ππ
（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为
20x y -+=
由参数方程可得122
b ab y x =
-+，所以1,12,1,222b ab
a b =-+==-=解得
25．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CM
CP
=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于1
2
，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】
（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2
ADC π
∠=,
所以BD = 又因为4,4
CD BDC π
=∠=
．根据余弦定理得BC =
所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.
又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE
，因为PB PD ==,
所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，
平面ABCD
平面PBD BD =，
PE ⊥平面ABCD .
如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CM
CP
λλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,
易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.
设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM
由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩
得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.
因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412
224(2)λλλ=+-，
解得2
,23
λλ=
=-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且2
3
CM CP =. 【点睛】
本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．下载本文
