第一章 极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴ x 为变量；⑵ A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝A f＝A， f＝A
例：判定 是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴ ＝f± g
⑵ ＝f · g
⑶ ＝ …… g≠0
⑷ k·f＝k· f
四、例：
⑴
⑵
⑶
⑷
五、两个重要极限
⑴ ＝1 ＝1
⑵ ＝e ＝e ……… 型
理论依据：
⑴ 两边夹法则：若f≤g≤h，且 limf＝limh＝A，
则：limg＝A
⑵ 单调有界数列必有极限。
例题：
⑴ ＝
⑵ ＝
⑶ ＝
⑷ ＝
⑸ ＝
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理： f＝A f＝A＋a （ a＝0）
七、函数的连续性
1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴ x0时，y0。即： y＝0
⑵ f＝f
⑶ 左连续： f＝f 右连续： f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：
⑴ 若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。
⑵ 若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数 f(j(x)) 在点处连续。
例： ＝
＝
＝
4、函数的间断点：
⑴ 可去间断点： f＝A，但 f 不存在。
⑵ 跳跃间断点： f＝A ， f＝B，但 A≠B。
⑶ 无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：
⑴ f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵ 若 f与 f异号，则方程 f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式 －4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章 一元函数微分学
一、导数
1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f
＝A f'＝A …… y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义： f'， y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：
⑴ ＝0
⑵ ＝n·
⑶ ＝，＝
⑷ ＝·lnɑ，＝
⑸ ＝cosx， ＝－sinx
＝x， ＝－
＝secx·tanx， ＝－cscx·cotx
⑹ ＝－
＝－
4、导数的运算：
⑴、四则运算法则：
＝±
＝·g(x)＋f(x)·
＝
例：求下列函数的导数
y＝2－5＋3x－7
f(x)＝＋4cosx－sin
y＝
⑵、复合函数的求导法则：
yu，uv，vw，wx yx
'＝''''
例：y＝lntanx
y＝ln
y＝arcsin
⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y的
式子，先对y求导，然后y再对x求导。
例1：设方程 xy－＋＝0 确的隐函数 y＝y(x)，求；
例2、求方程式 ＋2y－x－3＝0 所确定的隐函数在x＝0处的导数；
5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。
例1：问曲线 y＝上哪点处的切线与直线 y＝3x－1 平行？
例2：求曲线 ＋＝5在点处的切线方程。
6、函数的可导性与连续性的关系：
可导必连续，但连续不一定可导。
7、高阶导数：y''，y'''，，…
例：求 y＝sin5x的三阶导数。
二、微分
1、微分的概念：df(x)＝f'(x)·dx … df(x)＝f'(x)·x
例：求函数 y＝ 当 x＝2，x＝0.02 时的微分。
2、微分的几何意义：y 的近似值。
3、基本微分法则：
⑴ d(u±v)＝du±dv
⑵ d(u·v)＝u·dv＋v·du
⑶ d(ku)＝k·d(u)
⑷ d＝
例1、y＝sinx，求 dy；
例2、y＝ln，求dy；
4、微分在近似计算中的应用
ydy f(＋x)－f()＝f'()·x
f(＋x)＝f'()·x＋f()
例：求 的近似值。
三、导数的应用
1、中值定理
⑴ 罗尔定理：
⑵ 拉格朗日定理：
⑶ 柯西定理：
2、洛必达法则：求末定式“”“”型极限
lim＝lim
⑴ 基本型：，
：
：
⑵ 其它末定型：“0·∞”、“∞－∞”、“”、“”、“”
“0·∞”型 ＝ 或 ＝
x·lnx
“∞－∞”型：通分
：
对数式 ……
：
：
：
三、函数的单调性、极值与凹凸性
1、单调性：
2、极值：
可能的极值点
3、凹凸性：
例 求函数 y＝3x－ 的极值、增减区间、凹凸区间。
第三章 一元函数积分学
一、不定积分的概念及简单运算
不定积分——求原函数
1、原函数的定义：设f、F在区间I内有定义，且：F'＝f,
则称F为f在区间I内的一个原函数
如： ＝ 是 的一个原函数。
＝ cosx sinx 是 cosx 的一个原函数。
观察： ＝
＝
＝
结论：若f有原函数，它的原函数有无穷多个，它们之间相差一
个常量。即：若F为f在区间I内的一个原函数，则F＋C均为
f在区间I内的原函数。
2、不定积分定义：f在区间I内的所有原函数称为f的不定积分；
记为：fdx
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则：fdx＝F＋C；
例：dx＝＋C； cosxdx＝sinx＋C；
3、不定积分的性质：
⑴ ＝f 或 d＝fdx
⑵ f'dx ＝f＋C 或 df＝f＋C
⑶ k·fdx＝k·fdx
⑷ dx＝fdx±gdx
4、不定积分的基本积分公式：
⑴ dx ＝ ＋C
⑵ dx ＝ ln＋C
⑶ dx ＝ ＋C
⑷ dx ＝＋C
⑸ cosxdx ＝sinx ＋C
⑹ sinxdx ＝ －cosx ＋C
⑺ xdx ＝tanx ＋ C
⑻ xdx ＝－cotx ＋C
⑼ secx·tanxdx ＝secx ＋C
⑽ cscx·cotxdx ＝－cscx ＋C
⑾ dx ＝ arcsinx ＋ C
⑿ dx ＝ arctanx ＋C
5、不定积分的简单运算：
例1 dx
例2 dx
例3 dx
例4 xdx
例5 dx
二、不定积分的运算
1、换元积分法
⑴ 第一类换元积分法——“凑”微分法
例1 cos5xdx
例2 dx
例3 x·dx
例4 x dx
例5 dx
例6 dx
例7 tanx dx
⑵第二类换元积分法——去根号
例11 dx
⑶ “三角”代换去根号
例14 dx
2、分部积分法：u dv ＝ u·v － v du
例18 xcosx dx
例19 x dx
例20 xlnx dx
例23 sinx dx
3、有理函数的积分
例25 dx
例26 dx
三、定积分的概念与性质
1、定积分的概念——几何意义：求曲边梯形的面积
fdx ＝ f·
2、定积分的性质：
⑴ 规定： fdx ＝ fdx
⑵ 规定： fdx ＝0
⑶ dx＝ fdx ± gdx
⑷ k·fdx ＝ k· fdx
⑸ fdx ＝ fdx ＋ fdx
⑹ 若 f 在对称区间 上连续，则：
3、定积分的计算：
⑴ 微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式
若 F 是 f 的一个原函数，则：
fdx ＝ F ＝F － F
例 dx
⑵ 定积分的换元积分法
例7 dx
例8 dx
⑶定积分的分部积分法—— u dv ＝ u·v － v du
例10 x dx
例11 sinx dx
4、定积分在几何中的应用：
例1 计算由两条抛物线 ＝ x 和 y ＝ 所围成图形的面积。
例2 计算抛物线 ＝ 2x 与直线 y ＝ x－4 所围成图形的面积。
四、反常积分——广义积分
例2 dx
例3 xdx
例4 讨论 dx 的收敛性。
第四章 多元函数微分学
定义：二元及二元以上的函数统称为多元函数。
一、二元函数的极限与连续
1、二元函数的极限：
例1
例2 证明： ＝1
2、二元函数的连续性
f＝f
二、偏导数
1、定义：对于二元函数 Z ＝f
对 x 的偏导数：，，，；
对 y 的偏导数：，，，；
例4 求 Z＝sin2y 在点的偏导数。
2、二阶偏导数
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
例6 设 Z＝＋sin＋1，求它的二阶偏导数。
3、全微分—— dZ＝dx＋dy
例1 计算 Z＝y＋ 在点 的全微分。
例2 求 Z＝ 的全微分。
4、复合函数的偏导数
Z ＝ j，u ＝f，v ＝g
例1 设 Z＝f，求 ，。下载本文
