一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天

1．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G ，求该星球的质量M ．

【答案】2

2

233LR M Gt

= 【解析】 【详解】

两次平抛运动，竖直方向2

12

h gt =

，水平方向0x v t =，根据勾股定理可得：2220()L h v t -=，抛出速度变为2倍：2220(3)(2)L h v t -=，联立解得：3

h L =

，23g t =，在星球表面：2Mm G mg R =，解得：22

3M t G

=

2．我国航天事业的了令世界瞩目的成就，其中嫦娥三号探测器与2013年12月2日凌晨1点30分在四川省西昌卫星发射中心发射，2013年12月6日傍晚17点53分，嫦娥三号成功实施近月制动顺利进入环月轨道，它绕月球运行的轨道可近似看作圆周，如图所示，设嫦娥三号运行的轨道半径为r ，周期为T ，月球半径为R ．

(1)嫦娥三号做匀速圆周运动的速度大小 (2)月球表面的重力加速度 (3)月球的第一宇宙速度多大．

【答案】(1) 2r T π；(2) 23224r T R π；23

2

4r

T R

π【解析】 【详解】

(1)嫦娥三号做匀速圆周运动线速度：

2r

v r T

πω==

(2)由重力等于万有引力：

2

GMm

mg R

= 对于嫦娥三号由万有引力等于向心力：

222

4GMm m r

r T π=

联立可得：

23224r g T R

π=

(3)第一宇宙速度为沿月表运动的速度：

2

2

GMm mv mg R R

== 可得月球的第一宇宙速度：

v ==

3．已知地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，万有引力常量为G 。求 (1)地球的质量M ； (2)地球的第一宇宙速度v ；

(3)相对地球静止的同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T 相同。求该卫星的轨道半径r 。

【答案】（1）2R g M G =（2（3【解析】 【详解】

（1）对于地面上质量为m 的物体，有 2

Mm

G

mg R = 解得 2R g

M G

= （2）质量为m 的物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

22Mm v G m R R

=

解得 v =

= （3）质量为m 的地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

2224Mm G m r r T

π= 解得222

33

2244GMT R gT

r ππ

==

4．已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求

（1）同步卫星距行星表面的高度为多少？ （2）该行星的自转周期为多少？ 【答案】（1） （2）

．

【解析】 【分析】 【详解】

（1）设同步卫星距地面高度为 ，则： ，以第一宇宙速度运行的卫星其

轨道半径就是R ，则

联立解得：

．

（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期

．

5．已知地球质量为M ，万有引力常量为G 。将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。

（1）求地面附近的重力加速度g ； （2）求地球的第一宇宙速度v ；

（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。 【答案】（1）2GM g R =

（2）GM

v R

=3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。 【解析】 【详解】

（1）设地球表面的物体质量为m , 有

2

Mm

G

mg R = 解得

2

GM

g R =

（2）设地球的近地卫星质量为m '，有

22Mm G m R R

''=v 解得

v =

（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。 设太阳质量为M '，地球绕太阳运动的轨道半径为r 、周期为T ，根

据2

224M M G M r r T

π'=可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求

得太阳的质量。

6．高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，求： (1)人造卫星的角速度； (2)人造卫星绕地球转动的周期； (3)人造卫星的向心加速度．

【答案】（1）R h ω+（2）2T R h π=+（3）()2 GM a R h =+

【解析】 【分析】

根据万有引力提供向心力2

2222()Mm v G m r m m r ma r T r

πω====求解角速度、周期、向

心加速度等。 【详解】

（1）设卫星的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律有： G

()

2

mM

R h +＝m ω2(R +h )，

解得卫星角速度R h ω+

故人造卫星的角速度R h ω+

（2）由()

2

2

24Mm

G

m R h T R h π=++（）

得周期2T R h π=+（

故人造卫星绕地球运行的周期为2T R h π=+（ （3）由于G

()

2 mM

R h +=m a 可解得，向心加速度a=

()

2

GM

R h +

故人造卫星的向心加速度为()

2

GM

R h +．

【点睛】

解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即

2

2222()Mm v G m r m m r ma r T r πω====.

7．已知“天宫一号”在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为h 。地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ．求： （1）“天宫一号”在该圆轨道上运行时速度v 的大小； （2）“天宫一号”在该圆轨道上运行时重力加速度g’的大小；

【答案】（1）v =2）22

gR g R h ='+（） 【解析】 【详解】

（1）地球表面质量为m 0的物体，有：0

02

Mm G

m g R =① “天宫一号”在该圆轨道上运行时万有引力提供向心力：

2

2

Mm v G m R h R h

=++（）②

联立①②两式得：飞船在圆轨道上运行时速度：v =（2）根据2

Mm

G

mg R h '=+（）

③ 联立①③解得：2

2

gR g R h ='+（）

8．已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，不考虑地球自转的影响．

（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v 1；

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T ，求卫星运行半径r ；

【答案】（12）r

【解析】

试题分析：（1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：2

GMm

mg R

＝ 若发射成卫星在地表运动则卫星的重力提供向心力即：2

v mg m R

＝

解得：v =

（2）由卫星所需的向心力由万有引力提供可得2

2

24GMm m r r T

＝π 又2

GMm

mg R

＝

解得：r 考点：万有引力定律的应用

名师点睛：卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解．

9．2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极-艾特肯盆地内的冯·卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。设搭载探测器的轨道舱绕月球运行半径为r ，月球表面重力加速度为g ，月球半径为R ，引力常量为G ，求： （1）月球的质量M 和平均密度ρ； （2）轨道舱绕月球的速度v 和周期T .

【答案】（1）G

gR M 2

=， 34g RG ρπ=

（2）v =2T π=【解析】 【详解】

（1）在月球表面：002Mm m g G R =，则G

gR M 2

=

月球的密度：2343/34M gR g

R V G GR

ρππ===

（2）轨道舱绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供：2

2Mm v G m r r

=

解得：v =

22r T v π⋅==

10．宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为

T，行星的平均密度为．试证明（万有引力恒量G为已知，是恒量）【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

设行星半径为R、质量为M，飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时，有

即①

又行星密度②

将①代入②得证毕下载本文