一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．（3分）计算2sin60°的值为（　　）

A． B． C．1 D．

2．（3分）如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）已知，则的值为（　　）

A．2.5 B． C． D．

4．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形    

B．平分弦的直径垂直于弦    

C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似    

D．对角线相等的四边形是矩形

5．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为（　　）

A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定

6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点A'的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（1，1） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）

7．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（　　）

A．88 B．90 C．92 D．93

8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（　　）

A． B． C．﹣1 D．

9．（3分）如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，在上取一点E（点E不与D重合），连接EC，ED，则∠CED的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac＜0； ②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＞4ac．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11．（4分）已知点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，则a＝　   　．

12．（4分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是　   　．

13．（4分）如图，反比例函数y＝的图象经过点A（m，3），则当y＞3时，x的取值范围为　   　．

14．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝　   　．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）

15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2|．

（2）解方程：x（x﹣2）+2﹣x＝0．

16．（6分）2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）．

（1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是　   　；

（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率．

17．（8分）近年来，成都IFS商业大楼成了网红打卡地，楼上“”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C处距离地面AD的高度，他在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角为45°，已知AB＝4.5米，求熊猫C处距离地面AD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，交DC的延长线于点G．

（1）求证：△CFO≌△AEO；

（2）若AD＝5，CD＝3，CG＝1，求CF的长．

19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别交x轴，y轴于A（3，0），B（0，﹣3）两点，将直线AB向上平移7个单位长度后，刚好与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点C，与y轴交于点D，连接AD，BC．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）求点C的坐标及四边形ABCD的面积．

20．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．

（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．

i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；

ii）若CD＝2CE，求cosB的值．

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21．（4分）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则ab+a+b的值为　   　．

22．（4分）一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为　   　．

23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为　   　．

24．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝的图象上（点A在第一象限），且线段AB经过点O，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，线段AC交x轴于点D，若＝，则点C的坐标是 　   　．

25．（4分）如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为　   　．

五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26．（8分）春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是150元．调查发现：销售单价是200元时，月销售量是100件，而销售单价每降低1元，月销售量就增加10件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在200元的基础上降低x元时（x为正整数），月销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？

27．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．

（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；

（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；

（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE∥AC，求AD的长．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴交于另一点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点E为对称轴右侧的抛物线上的点．

i）点F在抛物线的对称轴上，且EF∥x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标；

ii）点G在平面内，则以点A，B，E，G为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由．

2020-2021学年四川省成都市武侯区九年级（上）期末数学试卷（一诊）

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．（3分）计算2sin60°的值为（　　）

A． B． C．1 D．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．

【解答】解：2sin60°＝2×＝．

故选：A．

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

2．（3分）如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看底层是一个小正方形，上层一个三角形，

故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

3．（3分）已知，则的值为（　　）

A．2.5 B． C． D．

【分析】利用比例的性质，由得到b＝a，然后把b＝a代入中进行分式的运算即可．

【解答】解：∵，

∴b＝a，

∴＝＝．

故选：B．

【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．

4．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形    

B．平分弦的直径垂直于弦    

C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似    

D．对角线相等的四边形是矩形

【分析】根据相似三角形的判定，垂径定理，菱形的判定，矩形的判定定理判断即可．

【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意；

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；

C、两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形不一定相似，故不符合题意；

D、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂径定理，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．

5．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为（　　）

A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定

【分析】根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可以解答本题．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，

∴二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为：有一个交点，

故选：B．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．

6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点A'的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（1，1） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）

【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．

【解答】解：∵△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，

∴点A的对应点A'的坐标为：[﹣8×（﹣），4×（﹣）]即（4，﹣2）．

故选：D．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

7．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（　　）

A．88 B．90 C．92 D．93

【分析】根据中位数的定义求解即可．

【解答】解：从小到大排列此数据为：88，90，92，93，93，92处在第3位为中位数．

故选：C．

【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是解答本题的关键．

8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（　　）

A． B． C．﹣1 D．

【分析】先由勾股定理求出AB＝，再由BD＝BC＝1，得AE＝AD＝AB﹣BD＝﹣1，即可得出结论．

【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，

∴AB＝＝，

∵BD＝BC＝1，

∴AE＝AD＝AB﹣BD＝﹣1，

∴＝，

故选：B．

【点评】本题考查了黄金分割以及勾股定理；熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．

9．（3分）如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，在上取一点E（点E不与D重合），连接EC，ED，则∠CED的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【分析】连接DO、CO，构造90°的圆周角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．

【解答】解：如图，连接DO、CO，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠COD＝90°，

∴∠CED＝∠COD＝45°，

故选：B．

【点评】考查了正方形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，难度不大．

10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac＜0； ②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＞4ac．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据抛物线的开口方向以及与y轴的交点情况，则可对①进行判断；利用抛物线的对称轴公式得到b＝﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性，可对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况，则可对④进行判断．

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴ac＜0，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴﹣＝1，即2a+b＝0，故②正确；

∵抛物线对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，

∴A（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，故③错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确．

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11．（4分）已知点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，则a＝　﹣18　．

【分析】把点（3，a）代入解析式即可求得a的值．

【解答】解：∵点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，

∴a＝﹣2×32＝﹣18，

故答案为﹣18．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．

12．（4分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是　8m　．

【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断Rt△ABP∽Rt△CDP，于是根据相似三角形的性质即可求出CD．

【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP＝∠CDP＝90°，

∴Rt△ABP∽Rt△CDP，

∴＝，即＝，

解得：CD＝8．

答：该古城墙CD的高度为8m．

故答案为：8m．

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．

13．（4分）如图，反比例函数y＝的图象经过点A（m，3），则当y＞3时，x的取值范围为　0＜x＜2　．

【分析】先令y＝3代入反比例函数求出m的值，然后根据图象即可求出x的范围

【解答】解：由题意可知：m＝＝2，

∴y＝＞3，

由图象可知：0＜x＜2．

故答案为：0＜x＜2．

【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．

14．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝　　．

【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA＝EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得结论．

【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，

根据作图过程可知：

MN是AC的垂直平分线，

∴EA＝EC，

∴EA＝CE＝BC﹣BE＝2﹣BE，

在Rt△ABE中，根据勾股定理，得

EA2＝AB2+BE2，

∴（2﹣BE）2＝12+BE2，

解得BE＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）

15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2|．

（2）解方程：x（x﹣2）+2﹣x＝0．

【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算；

（2）先变形为x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣2×﹣（1﹣2）

＝4﹣1﹣2﹣1+2

＝2；

（2）x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

（x﹣2）（x﹣1）＝0，

x﹣2＝0或x﹣1＝0，

所以x1＝2，x2＝1．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．

16．（6分）2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）．

（1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是　　；

（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率．

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有9个等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4个，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4个，

∴小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率为．

【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．

17．（8分）近年来，成都IFS商业大楼成了网红打卡地，楼上“”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C处距离地面AD的高度，他在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角为45°，已知AB＝4.5米，求熊猫C处距离地面AD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【分析】过点B作BE⊥CD于点E，根据已知条件求出BE＝AD，设CE＝x，则CD＝BC+BD＝x+4.5，根据锐角三角函数求出x的值，即可得出CD的值．

【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

由题意可知：

∵∠CBE＝45°，∠CAD＝53°，AB＝4.5米，

∵∠ABE＝∠BED＝∠ADE＝90°，

∴四边形ABED是矩形，

∴BE＝AD，DE＝AB＝4.5米，

设CE＝x，则CD＝CE+DE＝x+4.5，

在Rt△CEB中，BE＝＝＝x，

在Rt△ADC中，CD＝AD•tan53°，

即x+4.5＝x•tan53°，

∴x≈13.，

∴CE＝13.（米），

∴CD＝CE+DE＝13.+4.5＝18.14≈18.1（米）．

答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．

18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，交DC的延长线于点G．

（1）求证：△CFO≌△AEO；

（2）若AD＝5，CD＝3，CG＝1，求CF的长．

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，即可证明结论；

（2）根据四边形ABCD是平行四边形，证明△CGF∽△DGE，结合（1）即可求出CF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在△COF和△AOE中，

，

∴△CFO≌△AEO（ASA）；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，

∴∠GCF＝∠GDE，

∵∠CGF＝∠DGE，

∴△CGF∽△DGE，

∴＝，

∵△CFO≌△AEO，

∴EA＝FC，

∵CD＝3，AD＝5，

∴ED＝AD﹣AE＝5﹣CF，

∵CG＝1，

∴＝，

∴CF＝1．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．

19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别交x轴，y轴于A（3，0），B（0，﹣3）两点，将直线AB向上平移7个单位长度后，刚好与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点C，与y轴交于点D，连接AD，BC．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）求点C的坐标及四边形ABCD的面积．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得；

（2）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，由平移后的直线与反比例函数图象只有一个交点，得到△＝42﹣4×1×（﹣m）＝0，求得m的值，解析式联立，解方程组求得c的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求得四边形ABCD的面积．

【解答】解：（1）一次函数y＝kx+b过A（3，0），B（0，﹣3）两点，

∴，解得，

∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣3；

（2）将直线AB向上平移7个单位长度后得直线表达式为：y＝x+4，

由得x2+4x﹣m＝0，

∵平移后的直线与反比例函数图象只有一个交点，

∴△＝42﹣4×1×（﹣m）＝0，

∴m＝﹣4，

∴反比例函数的表达式为y＝﹣，

由得x2+4x+4＝0，

解得：x1＝x2＝﹣2，

∴y＝x+4＝﹣2+4＝2，

∴点C的坐标为（﹣2，2），

∵直线CD的表达式为y＝x+4，

令x＝0，则y＝4，

∴D（0，4）

∵A（3，0），B（0，﹣3），

∴BD＝4﹣（﹣3）＝7，

∴S四边形ABCD＝BD•|xA﹣xC|

＝×7×|3﹣（﹣2）|

＝．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．

20．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．

（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．

i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；

ii）若CD＝2CE，求cosB的值．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠D，∠D＝∠ACD，则∠B＝∠ACD，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，得出∠DCO＝90°，则可得出结论；

（2）i）连接OC，由勾股定理求出BC＝3，证明△COB∽△DCB，由相似三角形的性质得出，求出BD的长，则可得出答案；

ii）连接OC，设CE＝k，得出CD＝BC＝2k，DE＝3k，证明△DAE∽△COB和△COB∽△DCB，由相似三角形的性质可得出BC的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵CD＝BC，

∴∠B＝∠D，

∵AC＝AD，

∴∠D＝∠ACD，

∴∠B＝∠ACD，

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠OCA，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠BAC＝90°，

∴∠ACD+∠OCA＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

解：（2）i）连接OC，

∵∠ACB＝90°，AB＝，sinB＝，

在Rt△ACB中，AC＝AB•sinB，

∴AC＝＝1，

在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，

∵OB＝CO，

∴∠OCB＝∠B，

∵∠B＝∠D，

∴∠OCB＝∠D，

∵∠CBO＝∠DBC，

∴△COB∽△DCB，

∴，

∴CB2＝OB•BD，

∵AB＝，

∴OA＝OB＝，

∴BD＝32×＝，

∴AD＝BD﹣AB＝；

ii）连接CO，

∵CD＝2CE，

设CE＝k，

∴CD＝BC＝2k，

∴DE＝3k，

∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，

∴△DAE∽△COB，

∴，

设⊙O的半径为r，

∴AD＝r，

∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，

∵△COB∽△DCB，

∴，

∴BC2＝OB•BD，

∴（2k）2＝r×r，

∴k＝r，

∴BC＝2k＝r，

∴cosB＝．

【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21．（4分）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则ab+a+b的值为　﹣2020　．

【分析】先由根与系数的关系得出a+b＝2，ab＝﹣2020，再代入ab+a+b计算可得．

【解答】解：根据题意知a+b＝2，ab＝﹣2022，

则ab+a+b

＝ab+（a+b）

＝﹣2022+2

＝﹣2020

故答案为：﹣2020．

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．

22．（4分）一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为　　．

【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：根据题意列表如下：

则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，列出所有情况是解题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为　　．

【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，连接CM，根据折叠的性质得到AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，由全等三角形的性质得到CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，根据相似三角形的性质进而得到结论．

【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，

连接CM，

∵将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，

∴AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，

∴∠CPM＝90°，

∵点M为AD的中点，

∴AM＝DM＝AD＝2，

∴PM＝AM＝DM＝2，

在Rt△CPM与Rt△CDM中，

，

∴Rt△CPM≌Rt△CDM（HL），

∴CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，

∴∠NMC＝∠NMP+∠CMP＝90°，

∴CM＝＝＝，

∵∠CMN＝∠CPM＝90°，∠MCP＝∠MCP，

∴△CMP∽△CNM，

∴＝，

∴＝，

∴CN＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝的图象上（点A在第一象限），且线段AB经过点O，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，线段AC交x轴于点D，若＝，则点C的坐标是 　（，﹣）　．

【分析】如图，连接BC，OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．设A（m，）．利用相似三角形的性质求出OF，CF，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程可得结论．

【解答】解：如图，连接BC，OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．设A（m，）．

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴CB＝CA，

∵OA＝OB，

∴CO⊥AB，

∴OC＝OA•tan60°＝OA，

∵∠AEO＝∠OFC＝∠AOC＝90°，

∴∠AOE+∠OAE＝90°，∠AOE+∠COF＝90°，

∴∠OAE＝∠FOC，

∴△AOE∽△OCF，

∴＝＝，

∴CF＝m，OF＝，

∵AD：AC＝1：3，

∴AD：CD＝1：2，

∵AE∥CF，

∴＝＝，

∴＝，

∴m＝或﹣（舍弃），

∴OF＝，CF＝，

∴C（，﹣）．

故答案为：（，﹣）．

【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

25．（4分）如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为　12　．

【分析】由勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，可证点C，点D在以AB为直径的圆上，取AB中点O，作OF⊥AC于H，交⊙O于点F，过点F作FE'⊥BC，交BC的延长线于E'，此时BE'最长，由垂径定理和三角形中位线的性质可求OH＝，可求FH＝E'C＝3，即可求解．

【解答】解：∵BC＝9，AC＝12，AB＝15，

∴BC2+AC2＝225，AB2＝225，

∴BC2+AC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴点C，点D在以AB为直径的圆上，

如图，取AB中点O，作OD'⊥AC于H，交⊙O于点F，过点F作FE'⊥BC，交BC的延长线于E'，此时BE'最长，

∵OD'⊥AC，

∴AH＝HC，

又∵AO＝OB，

∴OH是△ABC的中位线，

∴OH＝BC＝，

∴FH＝OF﹣OH＝＝3，

∵OF⊥AC，FE'⊥BC，∠ACE'＝90°，

∴四边形HCE'F是矩形，

∴FH＝CE'＝3，

∴BE'＝9+3＝12，

故答案为12．

【点评】本题考查了最短路线问题，勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质等知识，确定点E的位置是本题的关键．

五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26．（8分）春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是150元．调查发现：销售单价是200元时，月销售量是100件，而销售单价每降低1元，月销售量就增加10件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在200元的基础上降低x元时（x为正整数），月销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？

【分析】（1）根据月销售利润＝（每件的实际售价﹣进价）×（原月销售量+10×每件降低的价格）可得函数解析式；

（2）将以上所得函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．

【解答】解：（1）根据题意，得y＝（200﹣150﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+400x+5000；

（2）y＝﹣10x2+400x+5000

＝﹣10（x﹣20）2+9000，

∵﹣10＜0，

∴当x＝20时，y有最大值9000，

销售单价为200﹣20＝180（元），

答：该服装的销售单价为180元时，月销售利润最大，最大的月销售利润是9000元．

【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质．

27．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．

（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；

（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；

（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE∥AC，求AD的长．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；

（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；

（3）过C作CN⊥AB于点N，过A作AM⊥DE于点M，根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可．

【解答】证明：（1）∵△AEC和△DFC是等腰直角三角形，

∴∠DFC＝∠AEC＝90°，∠DCF＝∠ACE＝45°，

∴∠DCF﹣∠ACF＝∠ACE﹣∠ACF，

即∠ACD＝∠ECF，

在Rt△AEC中，cos∠ACE＝，

在Rt△DFC中，cos∠DCF＝，

∴，

∴△ACD∽△ECF；

（2）∵D，F，E三点共线，

∴∠EFC＝∠DFC＝90°，

∵△ACD∽△ECF，

∴∠ADC＝∠EFC＝90°，

过点A作AM⊥BC于点M，如图1，

∵AB＝BC＝5，BC＝6，

∴BM＝BC＝3，

在Rt△ABM中，cos∠B＝，

在Rt△BDC中，cos∠B＝，

∴BD＝，

∴AD＝AB﹣BD＝，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD＝，

∴，

∵△ACD∽△ECF，

∴，

∴；

（3）过C作CN⊥AB于点N，过A作AM⊥DE于点M，如图2，

由（2）可得：CN＝，

在Rt△ANC中，sin∠CAN＝，

∵AC＝5，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，

在Rt△ACE中，AE＝AC•sin∠ACE＝，

∵DE∥AC，

∴∠DEA＝∠CAE＝45°，

∵AM⊥DE，

∴∠AME＝90°，

在Rt△AME中，AM＝AE•sin∠AEM＝，

∵DE∥AC，

∴∠CAN＝∠MDA，

∴sin∠CAN＝sin∠MDA＝，

∴，

∴AD＝．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质的综合运用，通过辅助线构造相似形和直角三角形的三角函数是解决问题的关键．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴交于另一点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点E为对称轴右侧的抛物线上的点．

i）点F在抛物线的对称轴上，且EF∥x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标；

ii）点G在平面内，则以点A，B，E，G为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由．

【分析】（1）设成顶点式，再将点A，B坐标代入求解，即可得出结论；

（2）i）先判断出∠DFE＝90°＝∠ABD，再分两种情况，利用相似得出比例式，建立方程求解，即可得出结论；

ii）分两种情况：AB为边时，判断出AH＝EH＝n，进而得出n+3＝n2﹣4n+3，解方程即可得出结论；AB为对角线时，构造出相似三角形，利用比例式建立方程求解，即可得出结论．

【解答】解：（1）针对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，

∴A（0，3），

令y＝0，则﹣x+3＝0，

∴x＝3，

∴B（3，0），

∵抛物线的对称轴为x＝2，

∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，

∵点A，B在抛物线上，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；

（2）i）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，

∴D（2，﹣1），

∵A（0，3），B（3，0），

∴AB2＝18，AD2＝（2﹣0）2+（3+1）2＝20，BD2＝2，

∴AB2+BD2＝AD2，

∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°，

∵点E在抛物线对称轴右侧的抛物线上，

∴点F在点D的上方，

设点E（m，m2﹣4m+3）（m＞2），

∵EF∥x轴，

∴EF＝m﹣2，∠DFE＝90°＝∠ABD，

∵D（2，﹣1），

∴DF＝m2﹣4m+3+1＝m2﹣4m+4，

∵以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，

∴①当△ABD∽△DFE时，

∴，

∴，

∴m＝2（舍去）或m＝5，

∴E（5，8），

②当△ABD∽△EFD时，

∴，

∴，

∴m＝2（舍）或m＝，

∴E（，﹣），

即满足条件的点E（5，8）或（，﹣）；

ii）如图2，设点E（n，n2﹣4n+3），

①当AB为矩形的边时，过点E作EH⊥y轴于H，∠BAE＝90°，

∴∠OAB+∠HAE＝90°，

∵A（0，3），B（3，0），

∴OA＝OB＝3，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠HEA＝45°，

∴AH＝EH＝n，

∴OH＝OA+AH＝3+n＝n2﹣4n+3，

∴n＝0（舍）或n＝5，

∴E（5，8），

②当AB为对角线时，∠AE'B＝90°，

过点E'作E'N⊥x轴于N，过点A作AM⊥E'N，交NE'的延长线于M，

∴∠M＝∠BNE'＝90°，

∴∠AE'M+∠MAE'＝∠AE'M+∠BE'N＝90°，

∴∠MAE'＝∠BE'N，

∴△AME'∽△E'NB，

∴，

∵AM＝n，BN＝n﹣3，E'M＝3﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+4n，E'N＝n2﹣4n+3，

∴，

∴n＝或n＝（小于2，舍去），

∴E（，），

即满足条件的点E的坐标为（5，8）或（，）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，构造出相似三角形和用方程的思想解决问题是解本题的关键．下载本文