数学(文史类) 

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共65分)

一、选择题(本大题共15小题；第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项有符合题目要求的) 

1．已知集合I={0，－1，－2，－3，－4}，集合M={0，－1，－2，}，N={0，－3，－4}，则    (    )

3．函数y=4sin(3x+)+3cos(3x+)的最小正周期是    (    )

①α∥βl⊥m    ②α⊥βl∥m    ③l∥mα⊥β      ④l⊥mα∥β

其中正确的两个命题是    (    )

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上)

16．方程log2(x+1)2+log4(x+1)=5的解是_____________

17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为，则圆台的体积与球体积之比为____________

18．函数y=cosx+cos(x+)的最大值是___________

19．若直线l过抛物线y2=4(x+1)的焦点，并且与x轴垂直，则l被抛物线截得的线段长为______________

20．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有____________种(用数字作答) 

三、解答题(本大题共6小题，共65分：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)

21．(本小题满分7分)解方程3x+2－32－x=80．

22．(本小题满分12分)设复数z=cosθ+isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2+z的模和辐角

23．(本小题满分10分)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：．

24．(本小题满分12分)如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．

(1)求证：AF⊥DB

(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D－ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD的距离．

25．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养值提供补贴，设淡水鱼的市场价格为，补贴为，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量p千克与市场日需求量Q近似地满足关系：

P=1000(x+t－8)  (x≥8，t≥0)，

Q=500 (8≤x≤14)，

当P=Q时的市场价格为市场平衡价格，

(1)将市场平衡价格表示为补贴的函数，并求出函数的定义域：

(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，补贴至少每千克多少元？

26．(本小题满分12分)已知椭圆，直线l：x=12，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

1995年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(文史类)参

一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)

1．B  2．D  3．C  4．B  5．D  6．C  7．A  8．C  9．A  10．A  11．B  12．D  13．D  14．C  15．A 

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)

16．3     17．    18．    19．4    20．144

三、解答题

21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，

解：设y=3x，则原方程可化为9y2－80y－9=0，

解得：y1=9，y2=

方程3x=无解，

由3x =9得x=2，所以原方程的解为x=2．

22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，

解：z2+z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ+isinθ)

       =cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ

       =2coscos+i(2sincos)

       =2 cos (cos+isin)

       =－2 cos [cos(－π+)+isin(－π+)]

∵  θ∈(π，2π)

∴  ∈(，π)

∴  －2cos ()>0

所以复数z2+z的模为－2cos，辐角(2k－1)π+ (k∈z)．

23．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，

证法一：设{an}的公比为q，由题设知a1>0，q>0，

(1)当q=1时，Sn=na1，从而

Sn·Sn+2－=na1(n+2)a1－(n+1)2=－<0．

(2)当q≠1时，，从而

Sn·Sn+2－==－qn<0．

由(1)和(2)得Sn·Sn+2<．

根据对数函数的单调性，得log0.5(Sn·Sn+2)>log0.5，

即．

证法二：设{an}的公比为q，由题设知a1>0，q>0，

∵  Sn+1= a1+qSn，

Sn+2=a1+ qSn+1，

∴  Sn·Sn+2－=Sn (a1+ qSn+1)－(a1+qSn)Sn+1= a1(Sn－Sn+1)=－a1 an+1<0．

即Sn·Sn+2<．    (以下同证法一)

24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．

(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，

∵  EB平面ABE，

∴  DA⊥EB，

∵  AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

∴  AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，

∵  AF平面DAE，

∴  EB⊥AF，

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，

∵  DB平面DEB，

∴  AF⊥DB．

(2)解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB．

S△ABD=AB·AD=

∴  VD－ABE=VE－ABD=S△ABD =dah

又V圆柱=a2h

由题设知=3π，即d=．

25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．

解：(1)依题设有1000(x+t－8)=500

化简得5x2+(8t－80)x+(4t2－t+280)=0，

当判别式△=800－16t2≥0时，可得：X=8－t±．

由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：

①

②

解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解，故所求的函数关系式为

x=8－t+

函数的定义域为[0，]

(2)为使x≤10，应有8－t+≤10，

化简得：t2+4t－5≥0，

解得t≥1或t≤－5，由于t≥0知t≥1，从而补贴至少为每千克1元．

26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想综合运用知识的能力．

解：设点P、Q、R的坐标分别为(12，yp)，(x，y)，(xR，yR由题设知xR>0，x>0，

由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组

    解得       ①

                   ②

由点O、Q、P共线，得，即yp=．       ③

由题设|OQ|·|OP|=|OR|2得

将①、②、③式代入上式，整理得点Q的轨迹方程

(x－1)2+=1           (x>0)

所以点Q的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和，且长轴在x轴上的椭圆、去掉坐标圆点．下载本文