一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（　　）

A．3个    B．2个    C．1个    D．无穷多个

2．（5分）设z是复数，a（z）表示zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（　　）

A．8    B．6    C．4    D．2

3．（5分）若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（　　）

A．log2x    B．    C．    D．x2

4．（5分）已知等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（　　）

A．（n﹣1）2    B．n2    C．（n+1）2    D．n2﹣1

5．（5分）给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（　　）

A．①和②    B．②和③    C．③和④    D．②和④

6．（5分）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）

A．6    B．2    C．2    D．2

7．（5分）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（　　）

A．36种    B．12种    C．18种    D．48种

8．（5分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（　　）

A．在t1时刻，甲车在乙车前面    B．t1时刻后，甲车在乙车后面

C．在t0时刻，两车的位置相同    D．t0时刻后，乙车在甲车前面

二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）随机抽取某产品m件，测得其长度分别为k（k∈R），则如图所示的程序框图输出的S=　　，s表示的样本的数字特征是　　．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）

10．（5分）若平面向量，满足，平行于x轴，，则=　　．

11．（5分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为　　．

12．（5分）已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=　　，b=　　． 

14．不等式的实数解为　　．

15．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于　　．

三、解答题（共6小题，满分80分）

16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．

（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；

（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．

17．（12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

（1）求直方图中x的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．

（结果用分数表示．已知57=78125，27=128，，365=73×5）

18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．

（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（2）证明：直线FG1⊥平面FEE1；

（3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．

19．（14分）已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．

（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；

（2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与D有公共点，试求a的最小值．

20．（14分）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．

（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；

（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．

21．（14分）已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0（n=1，2，…）．从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn＞0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）．

（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；

（2）证明：．

2009年广东省高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2009•广东）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（　　）

A．3个    B．2个    C．1个    D．无穷多个

【分析】根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，进而可得M与N的元素特征，分析可得答案．

【解答】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，

又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，

即M={x|﹣1≤x≤3}，

在此范围内的奇数有1和3．

所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，

故选B．

2．（5分）（2009•广东）设z是复数，a（z）表示zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（　　）

A．8    B．6    C．4    D．2

【分析】复数zn=1，要使in=1，显然n是4的倍数，则a（i）=4．

【解答】解：a（i）=in=1，则最小正整数n为4．

故选C．

3．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（　　）

A．log2x    B．    C．    D．x2

【分析】欲求原函数y=ax的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．

【解答】解：∵y=ax

⇒x=logay，

∴f（x）=logax，

∴a==

⇒f（x）=logx．

故选B．

4．（5分）（2009•广东）已知等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（　　）

A．（n﹣1）2    B．n2    C．（n+1）2    D．n2﹣1

【分析】先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{an}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．

【解答】解：∵a5•a2n﹣5=22n=an2，an＞0，

∴an=2n（n≥3），

∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．

故选：B．

5．（5分）（2009•广东）给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（　　）

A．①和②    B．②和③    C．③和④    D．②和④

【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．

【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，

那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．

故选：D．

6．（5分）（2009•广东）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）

A．6    B．2    C．2    D．2

【分析】三个力处于平衡状态，则两力的合力与第三个力大小相等，方向相反，把三个力化到同一个三角形中，又知角的值，在任意三角形中用余弦定理求得结果，最后不要忽略开方运算．

【解答】解：∵F32=F12+F22﹣2F1F2cos（180°﹣60°）=28，

∴，

故选D

7．（5分）（2009•广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（　　）

A．36种    B．12种    C．18种    D．48种

【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案．

【解答】解：根据题意分2种情况讨论，

①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24；

②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12，

共有选法12+24=36种，

故选A．

8．（5分）（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（　　）

A．在t1时刻，甲车在乙车前面    B．t1时刻后，甲车在乙车后面

C．在t0时刻，两车的位置相同    D．t0时刻后，乙车在甲车前面

【分析】利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．

【解答】解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；

当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v乙dt=c+d+b；

从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．

故答案为A

二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）（2009•广东）随机抽取某产品m件，测得其长度分别为k（k∈R），则如图所示的程序框图输出的S=　　，s表示的样本的数字特征是　平均数　．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）

【分析】由程序框图中的运算过程可以看出，当i=1时，s=a1，i=2时，s=，i=3时，…，s的值代表的是前i个数的平均值，故可得s的表达式．

【解答】解：依据流程线的方向进行运算知当i=1时，s=a1，i=2时，s=，i=3时，…，

归纳知，此程序框图中的算法是求解n 个数的平均值，故程序结束时，s=；

其数字特征是 平均数

故两个空就依次填；  平均数．

10．（5分）（2009•广东）若平面向量，满足，平行于x轴，，则=　（﹣1，1）或（﹣3，1）　．

【分析】与x平行的单位向量有（1，0）和（﹣1，0），根据向量加法的坐标运算公式，构造方程组，解方程组即可求解．

【解答】解：∵，平行于x轴，

∴或（﹣1，0），

则，

或

故答案为：（﹣1，1）或（﹣3，1）

11．（5分）（2009•广东）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为　　．

【分析】由题设条件知，2a=12，a=6，b=3，由此可知所求椭圆方程为．

【解答】解：由题设知，2a=12，

∴a=6，b=3，

∴所求椭圆方程为．

答案：．

12．（5分）（2009•广东）已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=　　，b=　　． 

【解答】解：由题知，

﹣a+c+=0，

，

∴，

故答案为：；．

13．（5分）（2009•广东）若直线（t为参数）与直线（s为参数）垂直，则k=　﹣1　．

【分析】将直线（t为参数）与直线化为一般直线方程，然后再根据垂直关系求解．

【解答】解：∵直线（t为参数）

∴y=2+×k=﹣x+2+，直线（s为参数）

∴2x+y=1，

∵两直线垂直，

∴，

得k=﹣1．

故答案为﹣1．

14．（2009•广东）不等式的实数解为　x且x≠﹣2　．

【分析】可直接转化为，两边平方去绝对值解决，注意|x+2|≠0

【解答】解：且x≠﹣2

故答案为：

15．（5分）（2009•广东）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于　8π　．

【分析】要求圆O的面积，关键是求圆的半径R，求半径有如下方法：构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；或是根据正弦定理，===2R，求出圆的半径后，代入圆的面积公式即可求解．

【解答】解：法一：连接OA、OB，则∠AOB=90°，

∵AB=4，

OA=OB，

∴R=，

则S圆=；

法二：

，

则S圆=

三、解答题（共6小题，满分80分）

16．（12分）（2009•广东）已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．

（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；

（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．

【分析】（1）根据两向量垂直，求得sinθ和cosθ的关系代入sin2θ+cos2θ=1中求得sinθ和cosθ的值．

（2）先利用φ和θ的范围确定θ﹣φ的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得cos（θ﹣φ）的值，进而利用cosφ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]根据两角和公式求得答案．

【解答】解：（1）∵与互相垂直，则，

即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得，又，

∴

（2）∵0＜φ＜，，

∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，

∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=．

17．（12分）（2009•广东）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

（1）求直方图中x的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．

（结果用分数表示．已知57=78125，27=128，，365=73×5）

【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，建立等量关系，解之即可；

（2）空气质量分别为良和轻微污染，在频率直方图中在第二组和第三组，求出这两组的频率分别再乘以365即可求出所求；

（3）先求出该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率，然后根据对立事件的概率和为1求出气质量不为良且不为轻微污染的概率，根据概率公式即可求出一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率．

【解答】解：（1）由图可知x=1﹣×50，解得；

（2）一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数为：，；

（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为．

18．（14分）（2009•广东）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．

（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（2）证明：直线FG1⊥平面FEE1；

（3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．

【分析】（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界即为四边形DE1FG1，面积为，由题意可证EE1为该棱锥的高，代入体积公式可求；

（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴；要证直线FG1⊥平面FEE1⇔FG1⊥FE，FG1⊥FE1⇔，利用空间向量的数量积可证；

（3）异面直线E1G1与EA所成角⇔所成的角，利用公式可求；

【解答】解：（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，

则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，

连接EE1、EG1、ED、DE1，

则所求为四棱锥E﹣DE1FG1的体积，

其底面DE1FG1面积为=，（3分）

又EE1⊥面DE1FG1，EE1=1，

∴．（6分）

（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，

得E1（0，2，1）、G1（0，0，1），又G（2，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），

则，，，

∴，，

即FG1⊥FE，FG1⊥FE1，

又FE1∩FE=F，∴FG1⊥平面FEE1．（10分）

（3），，

则，

设异面直线E1G1与EA所成角为θ，则．（14分）

19．（14分）（2009•广东）已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．

（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；

（2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与D有公共点，试求a的最小值．

【分析】（1）欲求线段PQ的中点M的轨迹方程，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），即要求x，y间的关系式，先利用x，y列出点P（s，t）的坐标结合点P在曲线C上即得；

（2）处理圆与D有无公共点的问题，须分两种情形讨论：当时和当a＜0时．对于后一种情形，只须只需考虑圆心E到直线l：x﹣y+2=0的距离即可，从而求得求a的最小值．

【解答】解：（1）联立y=x2与y=x+2得xA=﹣1，xB=2，则AB中点，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），则，即，又点P在曲线C上，

∴化简可得，

又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，

则，即，

∴中点M的轨迹方程为（）．

（2）曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0，

即圆E：，其圆心坐标为E（a，2），半径

由图可知，当时，曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与点D有公共点；

当a＜0时，要使曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与点D有公共点，

只需圆心E到直线l：x﹣y+2=0的距离

，

得，则a的最小值为．

20．（14分）（2009•广东）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．

（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；

（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．

【分析】（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．

（2）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）﹣kx的解析式，即（1﹣k）x2+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．

【解答】解：（1）依题可设g（x）=a（x+1）2+m﹣1（a≠0），则g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；

又g'（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1

∴g（x）=（x+1）2+m﹣1=x2+2x+m，，

设P（xo，yo），则=

当且仅当时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值

当m＞0时，解得

当m＜0时，解得

（2）由（x≠0），得（1﹣k）x2+2x+m=0（*）

当k=1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）﹣kx有一零点；

当k≠1时，方程（*）有二解⇔△=4﹣4m（1﹣k）＞0，

若m＞0，，

函数y=f（x）﹣kx有两个零点，即；

若m＜0，，

函数y=f（x）﹣kx有两个零点，即；

当k≠1时，方程（*）有一解⇔△=4﹣4m（1﹣k）=0，，

函数y=f（x）﹣kx有一零点

综上，当k=1时，函数y=f（x）﹣kx有一零点；

当（m＞0），或（m＜0）时，

函数y=f（x）﹣kx有两个零点；

当时，函数y=f（x）﹣kx有一零点．

21．（14分）（2009•广东）已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0（n=1，2，…）．从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn＞0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）．

（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；

（2）证明：．

【分析】（1）设直线ln：y=kn（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，则△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，由此可知，

（2）由题设条件知，令函数，则=0，得，再由函数f（x）在上单调递减可知．

【解答】解：（1）设直线ln：y=kn（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0

得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，

则△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，

∴（舍去）

，

即，∴

（2）证明：∵

∴

由于，

可令函数，则，

令f′（x）=0，得，

给定区间，则有f′（x）＜0，则函数f（x）在上单调递减，

∴f（x）＜f（0）=0，即在恒成立，又，

则有，即．

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