一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B． C． D．2021
2．（3分）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，将120亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109 B．12×109 C．1.2×1010 D．1.2×1011
3．（3分）单项式﹣5ab3的系数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．4 D．3
4．（3分）方程2x+a＝4的解是x＝﹣2，则a＝（ ）
A．﹣8 B．0 C．2 D．8
5．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“斗”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．青 B．来 C．春 D．用
6．（3分）下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子可以把木条钉在墙上
B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上
C．打靶的时候，眼睛要与上的准星、靶心在同一直线上
D．为了缩短航程把弯曲的河道改直
7．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，可列方程为（ ）
A．8x﹣3＝7x+4 B．8x+3＝7x+4 C．8x﹣3＝7x﹣4 D．8x+3＝7x﹣4
8．（3分）已知A＝A0（1+mt）（m、A、A0均不为0），则t＝（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，OM、ON、OP分别是∠AOB，∠BOC，∠AOC的角平分线，则下列选项成立的（ ）
A．∠AOP＞∠MON B．∠AOP＝∠MON
C．∠AOP＜∠MON D．以上情况都有可能
10．（3分）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为a1，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为a2，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为a3，…，（n+1）条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为an，若，则n＝（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）48°39′的余角是 ．
12．（3分）单项式2a2b的次数是 ．
13．（3分）我们来定义一种运算：，例如，按照这种定义，当成立时，则x的值是 ．
14．（3分）现对某商品八折促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加的百分数是 ．
15．（3分）如图，动点A，B，C分别从数轴﹣30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若k⋅PM﹣MN为常数，则k为 ．
16．（3分）有15个自然数a1＜a2＜…＜a15满足条件aras＝ars（r≠s，并且rs≤15）．若a2＝2，则a3+a5＝ ．
三．解答题（共有8题．共72分）
17．（8分）计算：
（1）（）×12； （2）（﹣3）3﹣3×（）4．
18．（8分）解方程：2．
19．（8分）先化简，再求值：（﹣x2+5+4x）+（5x﹣4+2x2），其中x＝﹣2．
20．（6分）化简并填空：
（1）当x≤1时，化简|3x+1|﹣2|x﹣1|；
（2）当|x|+|x+4|最小时，|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为 ．
21．（10分）角与线段的计算
（1）如图1，已知AC＝6，D为AB中点，E为CB中点，求DE；
（2）如图2，已知∠AOC：∠COD＝5：11，∠AOB：∠BOD＝5：7，若∠COB＝10°，求∠AOD．
22．（10分）滴滴打车是一种新的共享出行方式，滴滴打车有滴滴快车和优享专车两种出租车，他们的收费方式有所不同．
优享专车：每千米收费2.5元，不收其他费用；
滴滴快车：
| 计费项目 | 起步价 | 里程费 | 远途费 |
| 计费价格 | 8 | 2.0元/千米 | 1.0元/千米 |
| 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程＞2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车15千米以内（含15千米）不收远途费，超过15千米的，超出部分每千米加收1.0元． | |||
若张老师选择乘坐滴滴快车3千米需付 元；
若张老师选择乘坐优享专车20千米需付 元；
若张老师选择乘坐滴滴快车20千米需付 元；
（2）若我校张老师需要乘滴滴打车到离家x（x为正整数）千米的学校上班，请问她该如何选择出行方式？
23．（10分）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有 种不同的票价，需准备 种车票．
聪明的小周是这样思考这个问题的，她用A，B，C，D，4个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．
【迁移应用】A，B，C，D，E，F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是 队．
【拓展创新】某摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求A，B两市相距多少千米？
24．（12分）已知如图1，线段∠AOB＝40°．
（1）若∠AOC∠BOC，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区七年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B． C． D．2021
【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．
故选：D．
2．（3分）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，将120亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109 B．12×109 C．1.2×1010 D．1.2×1011
【解答】解：120亿＝12000000000＝1.2×1010．
故选：C．
3．（3分）单项式﹣5ab3的系数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．4 D．3
【解答】解：单项式﹣5ab3的系数是﹣5，
故选：B．
4．（3分）方程2x+a＝4的解是x＝﹣2，则a＝（ ）
A．﹣8 B．0 C．2 D．8
【解答】解：把x＝﹣2代入方程得：﹣4+a＝4，
解得：a＝8，
故选：D．
5．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“斗”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．青 B．来 C．春 D．用
【解答】解：由“Z”字型对面，可知“用”字对应的面上的字是“斗”；
故选：D．
6．（3分）下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子可以把木条钉在墙上
B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上
C．打靶的时候，眼睛要与上的准星、靶心在同一直线上
D．为了缩短航程把弯曲的河道改直
【解答】解：A、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
B、确定树之间的距离，即得到相互的坐标关系，故本选项不符合题意；
C、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
D、根据两点之间，线段最短，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，可列方程为（ ）
A．8x﹣3＝7x+4 B．8x+3＝7x+4 C．8x﹣3＝7x﹣4 D．8x+3＝7x﹣4
【解答】解：由题意可得，
设有x人，可列方程为：8x﹣3＝7x+4．
故选：A．
8．（3分）已知A＝A0（1+mt）（m、A、A0均不为0），则t＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式可化为：A＝A0+A0mt，
移项：得A﹣A0＝A0mt，
化系数为1得：t．
故选：D．
9．（3分）如图，OM、ON、OP分别是∠AOB，∠BOC，∠AOC的角平分线，则下列选项成立的（ ）
A．∠AOP＞∠MON B．∠AOP＝∠MON
C．∠AOP＜∠MON D．以上情况都有可能
【解答】解：∵OM、ON分别是∠AOB，∠BOC的角平分线，
∴∠BOM∠AOB，∠BON∠BOC，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON（∠AOB+∠BOC）∠AOC，
∵OP是∠AOC的角平分线，
∴∠AOP∠AOC，
∴∠AOP＝∠MON，
故选：B．
10．（3分）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为a1，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为a2，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为a3，…，（n+1）条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为an，若，则n＝（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
【解答】解：根据题意，得，
两条直线最多将平面分成4个区域，即a1＝4，
三条直线最多将平面分成7个区域，即a2＝7，
四条直线最多将平面分成11个区域，即a3＝11，..．
则a1﹣1＝3＝1+2，
a2﹣1＝6＝1+2+3，
a3﹣1＝10＝1+2+3+4..．
∴an﹣1＝1+2+3+…+n+1，
∴...
...
＝2[]
＝2[]
＝2[]
，
∵，
∴，
∴1，
，
∴n+2＝22，
∴n＝20，
经检验，n＝20是原方程的解．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）48°39′的余角是 41°21′ ．
【解答】解：48°39′的余角为：90°﹣48°39′＝°60′﹣48°39′＝41°21′．
故答案为：41°21′．
12．（3分）单项式2a2b的次数是 3 ．
【解答】解：单项式2a2b的次数为：2+1＝3，
故答案为：3．
13．（3分）我们来定义一种运算：，例如，按照这种定义，当成立时，则x的值是 ．
【解答】解：∵，
∴2x﹣（1）×2＝﹣4（x﹣1）×1，
解得x，
故答案为：．
14．（3分）现对某商品八折促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加的百分数是 25% ．
【解答】解：设销售单价为a，销售量为b，销售量要比按原价销售时增加m，则销售总金额为ab，
根据题意列得：80%a•（1+m）b＝ab，
解得：m＝25%．
故答案为：25%．
15．（3分）如图，动点A，B，C分别从数轴﹣30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若k⋅PM﹣MN为常数，则k为 2 ．
【解答】解：依题意有P点在数轴上表示的数为﹣15+t，M点在数轴上表示的数为5+2t，N点在数轴上表示的数为9+4t，
则PM＝20+t，MN＝2t+4，
则k⋅PM﹣MN＝k（20+t）﹣（2t+4）＝（k﹣2）t+20k﹣4，
∵k⋅PM﹣MN为常数，
∴k﹣2＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
16．（3分）有15个自然数a1＜a2＜…＜a15满足条件aras＝ars（r≠s，并且rs≤15）．若a2＝2，则a3+a5＝ 8 ．
【解答】解：∵aras＝ars（r≠s，并且rs≤15）．
∴a1a3＝a3，a1a5＝a5，
∵a1＜a2＜…＜a15且a2＝2，
∴a1＝1，a3＝a1×a3＝3，
∴a1，a2，…a15是自然数列，
∴a5＝a1×a5＝5；a6＝a2×a3＝2×3，
∴a3＝3，a5＝5，
则a3+a5＝3+5＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共有8题．共72分）
17．（8分）计算：
（1）（）×12；
（2）（﹣3）3﹣3×（）4．
【解答】解：（1）
121212
＝3+2﹣6
＝﹣1；
（2）
．
18．（8分）解方程：2．
【解答】解：去分母：2（x+1）﹣8＝x，
去括号：2x+2﹣8＝x，
移项：2x﹣x＝8﹣2，
合并同类项：x＝6．
19．（8分）先化简，再求值：（﹣x2+5+4x）+（5x﹣4+2x2），其中x＝﹣2．
【解答】解：原式＝﹣x2+5+4x+5x﹣4+2x2＝x2+9x+1，
当x＝﹣2时，原式＝4﹣18+1＝﹣13．
20．（6分）化简并填空：
（1）当x≤1时，化简|3x+1|﹣2|x﹣1|；
（2）当|x|+|x+4|最小时，|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为 1 ．
【解答】（1）解：∵x≤1，
∴﹣1≤3x≤3，
∴3x+1≥0，x﹣1≤0，
∴原式＝3x+1+2（x﹣1）＝5x﹣1；
（2）∵当|x|+|x+4|最小时，﹣4≤x≤0，
①当﹣4≤x时，|3x+1|﹣2|x﹣1|＝﹣（3x+1）+2（x﹣1）＝﹣x﹣3，此时最大值＝1，
②当x≤0时，|3x+1|﹣2|x﹣1|＝3x+1+2（x﹣1）＝5x﹣1，此时最大值＝﹣1，
综上所述：|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为：1，
故答案是：1．
21．（10分）角与线段的计算
（1）如图1，已知AC＝6，D为AB中点，E为CB中点，求DE；
（2）如图2，已知∠AOC：∠COD＝5：11，∠AOB：∠BOD＝5：7，若∠COB＝10°，求∠AOD．
【解答】（1）解：设AD＝x，CE＝y，
∵D为AB中点，
∴AD＝DB＝x，
∵E为BC中点，
∴CE＝EB＝y，
∵AC＝6，
∴AC＝AB﹣CB，即6＝2x﹣2y，
∴x﹣y＝3，
则DE＝DB﹣EB＝x﹣y＝3．
（2）解：设∠AOC＝5x°，
∵∠AOC：∠COD＝5：11，
∴∠COD＝11x°，
则∠AOD＝∠AOC+∠COD＝5x+11x＝16x°，
∵∠AOB：∠BOD＝5：7，
∴°，
∵∠COB＝10°，
∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC，即，
解得x＝6，
则∠AOD＝16×6＝96°．
22．（10分）滴滴打车是一种新的共享出行方式，滴滴打车有滴滴快车和优享专车两种出租车，他们的收费方式有所不同．
优享专车：每千米收费2.5元，不收其他费用；
滴滴快车：
| 计费项目 | 起步价 | 里程费 | 远途费 |
| 计费价格 | 8 | 2.0元/千米 | 1.0元/千米 |
| 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程＞2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车15千米以内（含15千米）不收远途费，超过15千米的，超出部分每千米加收1.0元． | |||
若张老师选择乘坐滴滴快车3千米需付 10 元；
若张老师选择乘坐优享专车20千米需付 50 元；
若张老师选择乘坐滴滴快车20千米需付 49 元；
（2）若我校张老师需要乘滴滴打车到离家x（x为正整数）千米的学校上班，请问她该如何选择出行方式？
【解答】解：（1）若张老师选择乘坐优享专车3千米需付2.5×3＝7.5（元）；
若张老师选择乘坐滴滴快车3千米需付8+2×（3﹣2）＝10（元）；
若张老师选择乘坐优享专车20千米需付2.5×20＝50（元）；
若张老师选择乘坐滴滴快车20千米需付8+2×（20﹣2）+1×（20﹣15）＝49（元）．
故答案为：7.5，10，50，49；
（2）①0＜x≤2时，W优享＝2.5x≤5，W滴滴＝8＞5，
故选优享专车．
②2＜x≤15时，W滴滴＝8+2（x﹣2）＝2x+4，
令2x+4＝2.5x，
解得x＝8，
故8＜x≤15选滴滴，2＜x＜8选优享，x＝8两者皆可．
③x＞15时，W滴滴＝8+2（x﹣2）+x﹣15＝3x﹣11，
令2.5x＝3x﹣11，
解得x＝22，
故15＜x＜22选滴滴，x＞22选优享，x＝22两者皆可．
综上，当0＜x＜8或x＞22时选优享，8＜x＜22时选滴滴，x＝8或22时两者皆可．
23．（10分）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有 6 种不同的票价，需准备 12 种车票．
聪明的小周是这样思考这个问题的，她用A，B，C，D，4个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．
【迁移应用】A，B，C，D，E，F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是 E 队．
【拓展创新】某摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求A，B两市相距多少千米？
【解答】解：【问题背景】如图：
从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有3+2+1＝3种不同的票价，需准备6×2＝12种车票．
故答案为：6，12；
【迁移应用】A比了5场，
所以A与E比过，
又E只比了1场，
而B比了4场，
所以B与E没比过．
故答案为：E；
【拓展创新】如图：
设A，B两市相距x千米，
∵AC﹣BC＝100，AC+BC＝x，
∴，，
∴列以下方程：，
解得x＝600．
答：A，B两市相距600千米．
24．（12分）已知如图1，线段∠AOB＝40°．
（1）若∠AOC∠BOC，则∠BOC＝ 30°或60° ；
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【解答】解：（1）①C在∠AOB内部时，如下图，
∵∠AOC∠BOC，
∴∠BOC∠AOB40°＝30°，
②OC在∠AOB外部时，如下图，
∠AOC∠BOC，
∴∠BOC∠AOB40°＝60°，
综上所述：∠BOC＝30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）解：
设∠CON＝x，
∵ON是∠MOC的四等分点，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠NOM＝3x，∠COM＝4x，
又∵∠AOC＝20°，
∴∠AOM＝4x﹣20°，
∴∠AON＝∠NOM﹣∠AOM＝3x﹣（4x﹣20°）＝20°﹣x，
∴4∠AON+∠COM＝4（20°﹣x）+4x＝80°，
∴4∠AON+∠COM＝80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°≤α≤60°，即0≤t≤12时，如下图，
射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠COA+∠AOB﹣∠MOB＝60°﹣5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠CON∠COM，
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA∠COM＝20°（60°﹣5t°）＝5°t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°t°）+5t°＝20°+10t°，
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM＝20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠MOB﹣∠BOC＝5t°﹣60°，
∵∠CON∠COM，
∴∠AON＝∠COA+∠CON＝∠COA∠COM＝20°（5t°﹣60°）＝5°t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°t°）+5t°＝10t°+20°，
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝5t°﹣60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠AON＝∠CON+∠COA∠COM+∠COA（5t°﹣60°）+20°＝5°t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°t°）+360°﹣5t°＝380°，
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜0°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
∴∠AON＝∠CON﹣∠COA∠COM﹣∠COA（420°﹣5t°）﹣20°＝190°t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（190°t°）+360°﹣5t°＝1120°﹣10t°，
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA∠COM＝20°（420°﹣5t°）t°﹣85°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（t°﹣85°）+360°﹣5t°＝20°，
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM＝20°，为定值20°．下载本文
