数学(理科)
审题：高二数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
得分：______________
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是
A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a∥b D．a－b与b垂直
3．设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
① β∥γ；② m⊥β；③ α⊥β；④ m∥α.
其中正确的命题是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
4．已知命题p： x0∈R，使sin x0＝；命题q： x∈，x>sin x，则下列判断正确的是
A．p为真 B．綈q为真 C．p∧q为真 D．p∨q为真
5．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为
A．1 B．－1 C. D．2
6．已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是
A. B. C. D.
7．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为
A．1 B．－1 C．0 D．2
8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
| 年收入x(万元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
| 年支出y(万元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
9．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于
A．－2 B．－1 C．1 D．2
10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为
(参考数据：≈1.732；sin 15°≈0.258 8；
sin 7.5°≈0.130 5.)
A．12 B．24
C．36 D．48
11．若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为
A．1 B．2
C．3 D．6
12．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为
A．2 B．2 C．4 D．2
答题卡
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
13．∫－(1＋cos x)dx＝________．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝2x2＋x 的图象上，则数列{an}的通项公式为an＝________．
15．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
16．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c为最大边，又已知b＝R，其中R是△ABC的外接圆半径．且bsin B＝(a＋c)sin A.
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)试判断△ABC的形状．
18.(本小题满分12分)
在如图所示的六面体中，面ABCD是边长为2的正方形，面ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，BE＝2AF＝4.
(Ⅰ)求证：AC∥平面DEF；
(Ⅱ)若二面角E－AB－D为60°，求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．
19.(本小题满分12分)
已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n∈N*，n≥2)．
(Ⅰ)证明：数列是等比数列，并求出的通项公式；
(Ⅱ)设数列满足bn＝2log4，证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
20.(本小题满分12分)
某商场准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装，2种家电，3种日用品这3类商品中，任意选出3种商品进行促销活动．
(Ⅰ)若选出的3种商品中至少有一种是日用商品，求共有多少种选法？
(Ⅱ)商场采用顾客每购买一件促销商品就可摸奖一次的促销方案：若甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共四个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖，试求在1次摸奖中，获得一、二、三等奖的概率p1、p2、p3.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．
(Ⅰ)求椭圆C2的方程；
(Ⅱ)若椭圆C2与x轴正半轴相交于点A.过点B(1，0)作直线l与椭圆C2相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x＝3分别交于点M，N.求·的取值范围．
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln x＋x2－(m＋2)x有两个极值点x1、x2，其中x1 (Ⅱ)是否存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于－？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 数学(理科)参 一、选择题 1．B 【解析】由题意＝＝＝－1＋i，其对应的点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B. 2．D 【解析】|a|＝＝1，|b|＝＝； a·b＝1×＋0×＝；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直． 3．C 【解析】由定理可知①③正确，②中m与β的位置关系不确定，④中可能m α.故选C. 4．D 【解析】由于三角函数y＝sin x的有界性，－1≤sin x0≤1，所以p假；对于q，构造函数y＝x－sin x，求导得y′＝1－cos x，又x∈，所以y′>0，y为单调递增函数，有y>y＝0恒成立，即 x∈，x>sin x，所以q真．判断可知，D正确． 5．D 【解析】曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2.故选D. 6．D 【解析】f(x)＝2sin， 又y＝f(x＋φ)＝2sin的图象关于直线x＝0对称，即为偶函数，∴＋φ＝＋kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝. 7．A 【解析】设a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝a＝(2＋)4，a0－a1＋a2－a3＋a4＝b＝(2－)4， 则待求式＝ab＝[(2＋)(2－)]4＝1. 8．B 【解析】由已知得x＝＝10(万元)，y＝＝8(万元)，故＝8－0.76×10＝0.4，所以回归直线方程为＝0.76x＋0.4， 当社区一户年收入为15万元时家庭年支出为＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B. 9．D 【解析】f′(x)＝sin x＋xcos x，f′＝1，即函数f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以×1＝－1，解得a＝2.故选D. 10．B 【解析】n＝6时，S＝×6×sin 60°＝≈2.598<3.10，故n＝12；又n＝12时，S＝×12×sin 30°＝3<3.10，故n＝24；又n＝24时，S＝×24×sin 15°≈3.105 6>3.10，故输出n的值为B. 11．B 【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝＝，另一方面，圆心C(2，0)到双曲线－＝1的渐近线x－ay＝0的距离为d＝＝，所以＝，解得a2＝1， 即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2. 12．C 【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长，宽，高分别为m，n，k，由题意得＝，＝ n＝1，＝a，＝b，所以(a2－1)＋(b2－1)＝6 a2＋b2＝8，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝16 a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．选C. 二、填空题 13．π＋2 【解析】∵(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∫－(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|－＝＋sin－＝π＋2. 14．4n－1 【解析】由题意可得：Sn＝2n2＋n，易知数列{an}为等差数列，首项为3，公差为4，∴an＝4n－1. 15．3 【解析】作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影△OAB. ∵目标函数可化为y＝－x＋z，它在y轴上的截距最大时z最大． ∴当目标函数线过点A时z最大．由解得A， ∴zmax＝＋＝＝4， ∴m＝3. 16.－1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1. 三、解答题 17．【解析】(Ⅰ)△ABC中，b＝R，∴sin B＝＝，又c为最大边， 所以B∈，∴B＝；(4分) (Ⅱ)由bsin B＝(a＋c)sin A，得b2＝(a＋c)a，∴a2＋c2－2accos B＝a2＋ac. 化简得：c－2acos B＝a.由正弦定理可得sin C－2sin Acos B＝sin A．∵sin C＝sin(A＋B)，∴sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin A. ∴sin (B－A)＝sin A．∵0 18．【解析】证明：(Ⅰ)连接AC，BD相交于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG. ∵ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∴OG∥BE，OG＝BE， 又因为AF∥BE，AF＝BE，所以OG∥AF且OG＝AF， 所以四边形AOGF是平行四边形，(3分) ∴AC∥FG，又因为FG 平面DEF，AC 平面DEF. ∴AC∥平面DEF.(5分) (另解：延长BA，EF相交于点G，连接GD可证明AC平行GD) (Ⅱ)∵ABCD是正方形，ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°， ∴DA⊥AB，FA⊥AB. ∵AD∩AF＝A，∴AB⊥平面AFD，同理可得AB⊥平面EBC. 又∵AB 平面ABCD，所以平面AFD⊥平面ABCD， 又因为二面角E－AB－D为60°， 所以∠FAD＝∠EBC＝60°，BE＝2AF＝4，BC＝2，由余弦定理得EC＝2， 所以EC⊥BC，又因为AB⊥平面EBC，所以EC⊥AB，所以EC⊥平面ABCD，(7分) 以C为坐标原点，CB为x轴、CD为y轴、CE为z轴建立空间直角坐标系．则C(0，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，2)，F(1，2，)，(8分) 所以＝(0，0，2)，＝(1，0，)，＝(1，2，－)，设平面DEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即 令z＝，则 所以n＝(－3，3，)．(11分) 设直线CE和平面DEF所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.(12分) (其它解法酌情给分) 19．【解析】(Ⅰ)由an＋1＝3an－2an－1，可得an＋1－an＝2(an－an－1)，(2分) ∵a2－a1＝2，∴{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列， 即an＋1－an＝2n.(3分) ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝ ＝2n－1.(6分) (Ⅱ)由题意得bn＝2log4(2n)2＝2n.(7分) ∵＝＝＝.(9分) ∴＋＋…＋ ＝ ＝<. ∴对一切正整数n，有＋＋…＋<.(12分) 20．【解析】(Ⅰ)从2种服装，2种家电，3种日用品中，任选出3种商品一共有C种选法，选出的3种商品中没有日用品的选法有C种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的选法有C－C＝35－4＝31.(3分) (Ⅱ)在1次摸奖中，摸出的球共有CC种可能， 则获得一等奖的概率为p1＝＝；(6分) 获得二等奖的概率为p2＝＝；(9分) 获得三等奖的概率为p3＝＝.(12分) 21．【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)， 则a＝2，e＝.∴c＝，b2＝1. ∴椭圆C2的方程为＋y2＝1.(4分) (Ⅱ)由椭圆C2的方程可知点A的坐标为(2，0)． (1)当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方， 易得E，F，M，N，所以·＝1.(6分) (2)当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k＝0时，不符合题意． 由消y并整理得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.(7分) 直线AE，AF的方程分别为：y＝(x－2)，y＝(x－2)， 令x＝3，则M，N. 所以＝，＝.(8分) 所以·＝(3－x1)(3－x2)＋· ＝(3－x1)(3－x2) ＝(3－x1)(3－x2) ＝[x1x2－3(x2＋x2)＋9)× ＝· ＝·＝＝1＋.(11分) 因为k2＞0，所以16k2＋4＞4，所以1<<，即·∈. 综上所述，·的取值范围是.(12分) 22．【解析】(Ⅰ) f′(x)＝＋x－(m＋2)＝(x>0)， 于是f(x)有两个极值点需要二次方程x2－(m＋2)x＋1＝0有两个不等的正根， 则，解得m>0， 此时在(0，x1)上f′(x)>0，(x1，x2)上f′(x)<0， (x2，＋∞)上f′(x)>0，因此x1、x2是f(x)的两个极值点，符合题意． 所以m的取值范围是(0，＋∞)．(4分) (Ⅱ)假设存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于－， 由(Ⅰ) 可知方程x2－(m＋2)x＋1＝0有两个不等正根x1、x2，且x1x2＝1，x1 所以函数f(x)的极小值为f(x2)＝ln x2＋x－(m＋2)x2＝ln x2－x－1.(8分) 设g(x)＝ln x－x2－1(x>1)，则g′(x)＝－x＝<0， 于是g(x)在(1，＋∞)上单调递减，而g(e)＝－，要使得函数f(x)的极小值大于－， 即使f(x2)>－，即g(x2)>－＝g(e)，∴x2
