数学(理)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=
A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B
2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=
A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A
2525(34)25(34)
:=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --=
==-++-提示故选A
3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪
+≤=+⎨⎪≥-⎩
且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=
A ．8 B.7 C.6 D.5
:(),(2,1)(1,1)3,
3,6,.
C
M m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选
4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k
-=-与曲线
22
1259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等
09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D
提示:从而两曲线均为双曲线,
又25故两双曲线的焦距相等,选D.
5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是
A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1
）
0:11
,,60,.
2
2B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用
分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10
::(350045002000)2%200,
20002%50%20,.
A
A ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选
7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是
A.14l l ⊥
B.14//l l
C.14,l l 既不垂直也不平行
D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}1
2
3
4
5
=
,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i
A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件
“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为
A.60
B.90
C.120
D.130 答案: D
12345
11
122
25255
1311
2252
54
:1,2,31:C 10;:C 40;
:C C C 80.1040
80
130,
D .
x x x x x C C A C C +++
+=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9.不等式521≥++-x x 的解集为 .
(]
[)
(][),32,:12532,,32,.
-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:
10.曲线25+=-x
e
y 在点)3,0(处的切线方程为 .
'
5'0
:530:5,5,35,530.
x
x x y y e
y
y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即
11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .
367101
:
6
:67,36,1
36,.
6
C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为
12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，
则
=b
a
. 222222
2:2
::cos cos ,2, 2.
sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,
sin 2sin ,2, 2.
::2,24,
222, 2.
a
b C
c B a a b b
B C C B B B C B a
A B a b b
a b c a c b b b a ab ab ac a
a b b
+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即
13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a ++
+= . 5
1011912101112202019151201011:50
,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.
a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2
sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿
2
2
1212:(1,1)
:(sin )cos ,,
:1,(1,1).
C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为
15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则
CDF AEF ∆∆的面积
的面积＝＿＿＿
22
:9
:,()()9.
CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE
∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．
16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4
sin()(π
，且2
3
)125(
=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=
-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)4
3
(θπ-f
. 55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),
4
()()))
44
(sin cos
cos sin ))cos cos()sin )44443
cos sin 42
cos (0,),2f A A A f x
x f f πππ
ππ
ππ
θθ
θθππππ
θθθθπ
θθπθ
θ=+==∴=
==+∴+-=++-+=++-+-===
∴=∈解由
得sin 33()sin()).
44444
f θπππθθπθθ∴=
∴-=-+=-===
17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在
区间（30,35］的概率.
121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525
(2):
n n f f ===
===解频率分布直方图如下所示
(](](]
044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),
130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.
B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，
交PD 于点E.
（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,
,,
A ,,,
,,,,,,,.
(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,
PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连
则00,CD 2,30,1
30,==1,
2
1
3
24,,,,,223
33EG .,423
EHG D AF E DPC CDF CF CD
DE CF CP EF DC DE
DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=
=⋅======⋅∴===为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠=
==
12:,,,,,2,
1
(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,
4
31
,0),ADF CP (3,1,0),
22
AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF
F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为
19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;
21122212233121212133122
1232121:(1)2314127
+=432424()204(15)20,+83
,,1587,
53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n n
n S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①
②
联立①②解得综上③
当时11121)2161
,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,2161
1,22211(21)322411322232(1)1
1n n n k k k n n a a n n
a n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=
+=+===⨯+==+-+=+=
+-=⋅+++-=++
=+=++=+④
③④并整理得:由猜想
以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时
猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.
n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切
20.（14分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
222
22
00
22
00
22
:(1)3,954,
1.
94
(2),,4
(3,2),(3,2).
(),
(),1
94
(94)18(
c
c e a b a c
a
x y
C
x y
y y k x x
x y
y k x x y
k x k y
====∴==-=-=
∴+=
-±±
-=-
=-++=
++
解
椭圆的标准方程为:
若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,
它们的坐标分别为
若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为
即将之代入椭圆方程中并整理得:
2
0000
222222
000000
2
2220
0000122
22
00
)9()40,,0,
(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,
4
(9)240,,1,:1,
9
13,(3,2),(3,2)
kx x y kx
k y kx y kx k y kx k
y
x k x y k y k k
x
x y
⎡⎤
-+--=∆=
⎣⎦
⎡⎤
----+=--+=
⎣⎦
-
∴--+-=∴=-=-
-
∴+=-±±
依题意
即:即
两切线相互垂直即
显然这四点也满足以上方
22
,
13.
P x y
∴+=
程
点的轨迹方程为
21.（本题14
分）设函数()
f x=2
k<-，
（1）求函数()
f x的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论()
f x在区间D上的单调性；
（3）若6
k<-，求D上满足条件()(1)
f x f
>的x的集合（用区间表示）.
22222
2
1
2
2
22
2
:(1)(2)2(2)30,2123
:210,44(1)4(2)0(2),
21=01
210:11
230,23044(3)
x x k x x k x x k x x k
x x k k k k
x x k
x x k x x
x x k x x k k
+++++->++>++<-
++->∆=--=-><-
∴++--
∴++-><->-+
+++<+++=∆=-+=
解则①或②由①得
方程的解为
由得
由②得:方程
的判别式
2
3
'2
4(2)0(2), 1230:11
2,11111
(,1(12,12)(12,).
(2)
0,
1
()2(
2
k k
x x k x
k
D k k k
u
f x u x
-
--><-∴-+++<-<-
<-∴---<--+
∴=-∞------+---+-+∞
=
=-⋅⋅
该方程的解为得
设
则2
3
2
2
2'
2'
2
2)(22)2(22)
2(1)(21)
()(,1,10,21110,()0;
()(11),10,21
310,()0
;
()(
1,1,
10,2131
0,
x k x x
u x x x k
i x x x x k f x
ii x x x x k f x
iii x x x x k f
-
⎡⎤
++⋅+++
⎣⎦
=-+⋅+++
∈-∞-+<+++>+>∴>
∈--+<+++<-+<∴<
∈--+>+++<-+<∴
当时
当时
当时'
2'
()0;
()(1),10,21110,()0.
,():(,11,1,
():(11),(1).
x
iv x x x x k f x
f x D
f x D
>
∈-++∞+>+++>+>∴<
-∞---
---+∞
当时
综上在上的单调增区间为
在上的单调减区间为
22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;
g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,
()(1)()(1),
()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3]
[(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时
从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),
()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴------<<-+-+-+--+<+->∴><+<-++<当欲使即亦即即
2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);
(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;
(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+----<--<+++<-++<∴><<+->++时此时即时
不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,
()(1)11,11(13)(1(1(,11
k k g x x g x x x g x g x x x k f x f -+--<-+<-++<∴<>+->∴<+-<---⋃--⋃-⋃--+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:
上所述
