数学

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

棱锥的体积，其中为底面积，为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（2012年江苏省5分）已知集合，，则  ▲  ．

【答案】。

【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得。

2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校

高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取  ▲  名学生．

【答案】15。

【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。

3．（2012年江苏省5分）设，（i为虚数单位），则的值为  ▲  ．

【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。

【分析】由得，所以， 。

4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是  ▲  ．

【答案】5。

【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：

5．（2012年江苏省5分）函数的定义域为  ▲  ．

【答案】。

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

。

6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是  ▲  ．

【答案】。

【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

       ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。

7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为  ▲  cm3．

【答案】6。

【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。

       ∴四棱锥的体积为。由

8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为  ▲  ． 

【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由得。

        ∴，即，解得。

9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是  ▲  ．

【答案】。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由，得，由矩形的性质，得。

        ∵，∴，∴。∴。

        记之间的夹角为，则。

        又∵点E为BC的中点，∴。

        ∴

。

        本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，

其中．若，

则的值为  ▲  ．

【答案】。

【考点】周期函数的性质。

【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。

        又∵，，

        ∴②。

        联立①②，解得，。∴。

11．（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为  ▲  ．

【答案】。

【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。

【解析】∵为锐角，即，∴。

        ∵，∴。∴。

        ∴。

        ∴

。

12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是  ▲  ．

【答案】。

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离

【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。

∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有

公共点；

∴存在，使得成立，即。

∵即为点到直线的距离，∴，解得。

∴的最大值是。

13．（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式

的解集为，则实数c的值为  ▲  ．

【答案】9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

【解析】由值域为，当时有，即， 

∴。

   ∴解得，。

∵不等式的解集为，∴，解得。

14．（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是  ▲  ． 

【答案】。

【考点】可行域。

【解析】条件可化为：。

       设，则题目转化为：

已知满足，求的取值范围。

      作出（）所在平面区域（如图）。求出的切

线的斜率，设过切点的切线为， 

   则，要使它最小，须。

   ∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。

   当（）对应点时， ，

   ∴的最大值在处，为7。

   ∴的取值范围为，即的取值范围是。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤．

15．（2012年江苏省14分）在中，已知．

（1）求证：；

（2）若求A的值．

【答案】解：（1）∵，∴，即。

                由正弦定理，得，∴。

                又∵，∴。∴即。

           （2）∵ ，∴。∴。

                ∴，即。∴。

                由 （1） ，得，解得。

                ∵，∴。∴。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

       （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。

16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．

求证：（1）平面平面；

        （2）直线平面．

【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。

                  又∵平面，∴。

                  又∵平面，∴平面。（lb ylfx）

                  又∵平面，∴平面平面。

             （2）∵，为的中点，∴。

                  又∵平面，且平面，∴。

                  又∵平面，，∴平面。

                  由（1）知，平面，∴∥。

                  又∵平面平面，∴直线平面

【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。

       （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。

17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，

炮弹可以击中它？请说明理由．

【答案】解：（1）在中，令，得。

                  由实际意义和题设条件知。

                  ∴，当且仅当时取等号。

                  ∴炮的最大射程是10千米。

             （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，

                  即关于的方程有正根。

                  由得。

                此时，（不考虑另一根）。

               ∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

       （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。

18．（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求和的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．

【答案】解：（1）由，得。

                ∵1和是函数的两个极值点，

                ∴ ，，解得。

           （2）∵ 由（1）得， ，

                ∴，解得。

                ∵当时，；当时，，

                ∴是的极值点。

                ∵当或时，，∴ 不是的极值点。

                ∴的极值点是－2。

（3）令，则。

 先讨论关于 的方程 根的情况：

当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。

当时，∵， ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

① 当时， ，于是是单调增函数，从而。

此时在无实根。

② 当时．，于是是单调增函数。

又∵，，的图象不间断，

∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当时，，于是是单调减两数。

又∵， ，的图象不间断，

∴在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当时，有两个不同的根满足；当 时

有三个不同的根，满足。

现考虑函数的零点：

( i ）当时，有两个根，满足。

而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。

( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。

而有三个不同的根，故有9 个零点。

综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

       （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。

       （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。

19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．

（i）若，求直线的斜率；

（ii）求证：是定值．

【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得

，∴。

由点在椭圆上，得

∴椭圆的方程为。

（2）由（1）得，，又∵∥，

    ∴设、的方程分别为，。

    ∴。

     ∴。①

    同理，。②

   （i）由①②得，。解得=2。

   ∵注意到，∴。

   ∴直线的斜率为。

  （ii）证明：∵∥，∴，即。

   ∴。

   由点在椭圆上知，，∴。

  同理。。

  ∴

  由①②得，，，

  ∴。

  ∴是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。

       （2）根据已知条件，用待定系数法求解。

20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（1）设，，求证：数列是等差数列；

（2）设，，且是等比数列，求和的值．

【答案】解：（1）∵，∴。

                ∴ 。∴   。

                ∴数列是以1 为公差的等差数列。

（2）∵，∴。

     ∴。（﹡）

     设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明

     若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

                若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

                ∴综上所述，。∴，∴。

                又∵，∴是公比是的等比数列。

                若，则，于是。

                又由即，得。

                ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。

                ∴。

                ∴ 。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。

 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。

从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。

]数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4 - 1：几何证明选讲] （2012年江苏省10分）如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．

求证：．

【答案】证明：连接。

              ∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。

              ∴（垂直的定义）。

              又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。

              ∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

              ∴（等腰三角形等边对等角的性质）。

              又∵为圆上位于异侧的两点，

              ∴（同弧所对圆周角相等）。

              ∴（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另

一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。

        本题还可连接，利用三角形中位线来求证。

B．[选修4 - 2：矩阵与变换] （2012年江苏省10分）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值． 

【答案】解：∵，∴。

            ∵，∴。

            ∴矩阵的特征多项式为。

            令，解得矩阵的特征值。

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。

C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．

【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，

∴在中令，得。

             ∴圆的圆心坐标为（1，0）。

           ∵圆经过点，∴圆的半径为。

           ∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。

D．[选修4 - 5：不等式选讲] （2012年江苏省10分）已知实数x，y满足：求证：．

【答案】证明：∵，

              由题设∴。∴。         

【考点】绝对值不等式的基本知识。

【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（2012年江苏省10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．

  （1）求概率；

  （2）求的分布列，并求其数学期望．

【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

                ∴共有对相交棱。

                ∴ 。

             （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，

                ∴ ，。

                  ∴随机变量的分布列是：

【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。

        （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。

23．（2012年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：

①；②若，则；③若，则。

（1）求；

（2）求的解析式（用表示）．

【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，

                ∴ =4。    

 ( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。

由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。

于是是否属于，由是否属于确定。

设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。

当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。

∴。

【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。

       （2）由题设，根据计数原理进行求解。下载本文