山西省山大附中

2012—2013学年度高三10月份考试

数学（文）试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．是虚数单位， 

    A．         B．         

    C．         D． 

2．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为

    A．        B．          

    C．          D．

3． 命题“存在，”的否定是

    A．不存在,               B．存在

    C．对任意的,               D．对任意的, 

4．设函数则

    A．在区间内均有零点。   

    B．在区间内均无零点。

    C．在区间内有零点，在区间内无零点。

    D．在区间内无零点，在区间内有零点。  

5．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是  

    A．           B．          

    C．           D．  

6．在等差数列中，已知，是数列的前项和，则

    A．          B．           C．         D． 

7．已知函数的最小正周期为，为了得到函数  的图象，只要将的图象  

    A．向左平移个单位长度          B．向右平移个单位长度    

    C．向左平移个单位长度          D．向右平移个单位长度  

8．已知函数   若则实数的取值范围是

    A．         B．         

    C．            D．

9．设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为

       A．             B．             C．        D ．

10．在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 

      A．              B．             C．         D ．         

11．已知球的直径，是该球面上的两点，，，则三棱锥的体积为

    A．          B ．          C ．          D ． 

12．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比=

      A．           B ．         C ．           D ． 

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）

13．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积为：_______

14．已知关于的不等式的解集是．则          ．

15．在四边形中，，，

    则四边形的面积是______________         

16．给出下列四个命题中：  

命题“”的否定是“”；

 “”是“直线与

    直线相互垂直”的必要不充分条件；

    设圆与坐标轴

    有4个交点，分别为，

    则；关于的不等式的解集为，则．

其中所有真命题的序号是             ． 

三、解答题: （共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

    在中， ，， 

    （I） 求的值： 

    （II） 求的值

18．（本小题满分12分）

    某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

   （Ⅰ）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为              ，

                        ，                   ，                    ；

   （Ⅱ）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图；

   （Ⅲ）根据题中信息估计总体：

    （ⅰ）120分及以上的学生数；

    （ⅱ）平均分；

    （ⅲ）成绩落在［126，150］中的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在五面体中， 平面,，，为的中点， 

    （I）求异面直线与所成的角的大小；

    （II）证明平面平面；

20．（本小题满分12分）

    已知椭圆的两个焦点分别为，过点    的直线与椭圆相交与两点，且。

    （1）求椭圆的离心率； 求直线的斜率； 

    （2）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值

21．（本小题满分12分）

设函数在及时取得极值．

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

选做题（本小题10分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4—1　几何证明选讲

    在直径是的半圆上有两点,设与的交点是．

    求证:

23．选修4—4　极坐标系与参数方程

    已知圆方程为．

    （1）求圆心轨迹的参数方程；

    （2）点是（1）中曲线上的动点，求的取值范围．

24．选修4—5　不等式选讲

    （1）已知关于的不等式在上恒成立，求实数的最小值；

   （2）已知，求证：．

参

选择题：

1  D    2  B   3  D   4  D    5   C 6  C   7  A   8  C  9   D    10  A    11  D 12  A

二．填空题：

    （13）（14）  （15）         （16）（1），（2），（3），（4）

三．解答题

（17）（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=

（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=

于是  sinA=从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=

     所以  sin（2A-）=sin2Acos-cos2Asin=ks5u

（18）解：（Ⅰ）①，②，③，④处的数值分别为：3，0．025，0．100，１．…………4分 

    （Ⅱ）…8分

    （Ⅲ）（ⅰ）120分及以上的学生数为：（0．275+0．100+0．050）×5000=2125;

    （ⅱ）平均分为:

    （ⅲ）成绩落在［126，150］中的概率为:

（19）．方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

    （）证明：因为

方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，

点为坐标原点。设依题意得      

（）    

所以异面直线与所成的角的大小为．

（）证明：  ，

（20）解：由//且，得，从而

整理，得，故离心率

解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为

  设直线AB的方程为，即． 

 由已知设，则它们的坐标满足方程组

消去y整理，得．

依题意，

而                 ①     ② 

由题设知，点B为线段AE的中点，所以

                       ③

联立①③解得，将代入②中，解得．

（III）解法一：由（II）可知 

当时，得，由已知得．

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴

的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．

直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组

  ， 由解得故

当时，同理可得．   

解法二：由（II）可知当时，得,由已知得

由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，

且，所以四边形为等腰梯形．

      由直线的方程为,知点H的坐标为．

因为，所以，解得m=c（舍），或．

则，所以．  当时同理可得

（21）．解：（1），

因为函数在及取得极值，则有，．  （3分）

即解得，．                    （7分）

（2）由（1）可知，，

．ks5u

当时，；当时，；当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．           （10分）

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，解得　或，

因此的取值范围为            （12分）

22．（本小题满分10分）选修4—1　几何证明选讲

证明:作于为直径,）

四点共圆,四点共圆． （6分）

    （1）+（2）得…9分

    即……………10分

23．选修4—4　极坐标系与参数方程

23．将圆的方程整理得：（x-4cos）2+（y-3sin）2=1  设圆心坐标为P（x,y）

     则   --------5分

      （2）2x+y=8cos+3sin =

∴ -≤2x+y≤-……………10分

24．选修4—5　不等式选讲ks5u

24．（本题１0分）解：

   （1），

    …………………5分

   （2）因为，所以   ……10分下载本文