学　年　论　文

               题    目   基于小波变换的图像去噪算法研究

学    生   XXX

指导教师   XXX  讲师

年    级   2007级

专    业    

系    别    

学    院   计算机科学与信息工程学院

XXXXX大学

2010年6月２０日

论　文　提　要

研究小波变换中的图像分解与重构的Mallat算法,阐述正交小波变换中阈值的选取,并进行了实验研究。

图像噪声的存在严重影响了图像的处理效果，图像去噪有利于图像的后续处理。本文对小波图像去噪方法进行了研究和分析，在总结了以往的阈值去噪经验基础上提出了一种新的阈值估计方法，改进阈值在 BayesShrink 阈值上增加了一个修正因子β，使该阈值更有效的利用了小波系数的空间相关性，在高频带使用较大的阈值去噪，在低频带使用较小的阈值去噪，从而使该阈值在去噪时更有效的区分信号与噪声，使去噪重构图像的信噪比 PSNR 比BayesShrink 阈值高，获得较好的去噪效果；并针对硬阈值函数和软阈值函数的缺点，提出了收缩阈值函数改进方案，该阈值函数能获得比硬阈值函数和软阈值函数更好的去噪效果。

基于小波变换的图像去噪算法研究

摘  要：图像的压缩有利于图像的传输和储存，本文对静止图像的压缩方法进行了较深入的研究，分析了EZW和SPIHT算法的优缺点，在SPIHT 算法的基础上提出了一种改进的算法，该算法采用了更简单的集合分割与排序策略，对最低频子带采用单独DPCM编码等措施在一定程度上克服了 SPIHT 图像编码算法的不足，提高了编码速度，减少了内存的消耗，提高了图象复原的质量。并分析了噪声对图像零树编码的影响，针对带有噪声的图像提出了一种多阈值编码方法，该方法将小波阈值去噪和编码相结合，能在编码的同时去除噪声，仿真实验结果表明该算法比EZW的编码效果好，能有效的去除噪声。

关键词：小波变换，图像去噪，阈值，图像编码，嵌入式零树编码

一、小波分析的发展

    小波分析是近年来国际上掀起新潮的一个前沿研究领域，是继Fourier分析的一个突破性进展，它给信号处理领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当前一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。

小波的起源可以追溯到本世纪初。1910年，Haar最早提出了规范正交小波基的思想，构造了紧支撑的正交函数系--Haar 函数系。1946年，Gabor提出了加窗 Fouricr变换(Gabor：变换)理论，使得对信号的表示具有时频局部化性质，1981 年，Morlet 仔细研究了Gabor变换方法，对Fourier变换和加窗Fourier变换的异同、特点及函数构造作了创造性的研究，首次提出了“小波分析”的概念，并建立了以他的名字命名的Morlet小波。1986年，Mallat和 Meyer提出了多分辨分析的理论框架，为正交小波基的构造提供了一般的途径，多分辨分析的思想是小波的核心，至此，小波分析才真正形成为一门学科。1988 年，Daubechies 给出了具有紧支集和任意有限正则度的小波函数的一般构造方法，该小波得到了非常广泛的应用。19年，随着小波理论的进一步发展，Mallat提出了实现小波变换的快速算法一 Mallat塔式算法，为小波应用铺平了道路。1990年，崔锦泰和王建中构造出了基于样条函数的正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析生成函数及相应的小波函数。同年，Wickethauser和Coifman等人提出了小波包的概念，并将 Mallat算法图像去噪算法的研究进展图像锐化算法的研究进展进一步深化，得到了小波包算法。使得小波变换的分析性质有了很大的改善。1994年，Goodmkan 等人在 r 元多分辨分析基础上建立了多重小波的基本理论框架，进一步丰富了小波理论。

二、小波分析的特点

小波分析来源于对Fourier分析的改进，它利用小波基取代传统的三角函数基，从而对函数进行分析与研究，由于小波基是由一个小波函数经过平移和伸缩得到的，因此具有简单、灵活、性质好的特性。与Fourier分析相比，它是信号的时间一尺度(时间，频率)分析方法，具有多分辨分析的特点，在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，它能够在低频部分得到较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分则正好相反，得到的是较高的时间率和较低的频率分辨率。也就是说，小波分析方法，是一种窗口大小(即窗口面积)固定，但其形状可以改变(即时间、频率窗都可以改变)的时、频局部分析方法(如图 1-1所示)，这使得小波变换具有对信号的自适应性，小波分析的这些特征弥补了 Fourier 分析的不足，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

图像噪声的存在严重影响了图像的处理效果，图像去噪有利于图像的后续处理。本文对小波图像去噪方法进行了研究和分析，在总结了以往的阈值去噪经验基础上提出了一种新的阈值估计方法，改进阈值在 BayesShrink 阈值上增加了一个修正因子β，使该阈值更有效的利用了小波系数的空间相关性，在高频带使用较大的阈值去噪，在低频带使用较小的阈值去噪，从而使该阈值在去噪时更有效的区分信号与噪声，使去噪重构图像的信噪比 PSNR 比BayesShrink 阈值高，获得较好的去噪效果；并针对硬阈值函数和软阈值函数的缺点，提出了收缩阈值函数改进方案，该阈值函数能获得比硬阈值函数和软阈值函数更好的去噪效果。图像去噪算法的研究进展灰度图像彩色化算法的研究进展图像复原算法的研究进展灰度图像彩色化算法的研究进展图像复原算法的研究进展    小波分析是近年来国际上掀起新潮的一个前沿研究领域，是继Fourier分析的一个突破性进展，它给信号处理领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当前一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。

图像噪声的存在严重影响了图像的处理效果，图像去噪有利于图像的后续处理。本文对小波图像去噪方法进行了研究和分析，在总结了以往的阈值去噪经验基础上提出了一种新的阈值估计方法，改进阈值在 BayesShrink 阈值上增加了一个修正因子β，使该阈值更有效的利用了小波系数的空间相关性，在高频带使用较大的阈值去噪，在低频带使用较小的阈值去噪，从而使该阈值在去噪时更有效的区分信号与噪声，使去噪重构图像的信噪比 PSNR 比BayesShrink 阈值高，获得较好的去噪效果；并针对硬阈值函数和软阈值函数的缺点，提出了收缩阈值函数改进方案，该阈值函数能获得比硬阈值函数和软阈值函数更好的去噪效果。图像去噪算法的研究进展图像锐化算法的研究进展灰度图像彩色化算法的研究进展

三、Mallat算法

Mallat的塔式分解算法在小波理论中占有重要地位，在这一算法中Mallat给出了函数的分解、重构公式，使得小波分析理论得到了进一步的发展。下面我们来看Mallat分解的基本思想并给出一些重要公式。

首先定义一个子空间序列{Wj|j∈Z}使得Wj为Vj的正交补，即有：

Vj+1=Vj⊕Wj 其中Wj⊥Vj

这样就可以将L2（R）进行如下分解：

由以上的塔式分解能够看出，对于任意的函数f(x)∈L2(R),都可以用f(x)在Vj上的投影fj(x)来逼近。随着下标j的增大，fj(x)就越来越接近f(x)，即有f(x)=limfj(x)从上图我们还能看出，子空间Wj包含了由 Vj子空间逼近子空间Vj+1的“细节”信息，函数族{Wj|j

∈Z}可以由一个小波函数ψ（x）通过伸缩、平移得到。这就是说，对任意函数f(x)∈L2(R)都可以由ψ（x）近似，再由上式便可以把ψ（x）和Φ（x）联系起来了，Φ（x）便被唯一确定。

在塔式分解中，有Φ（x）经过伸缩、平移得到的子空间序列{Wj|j∈Z}具有以下性质：

基于之以理论基础上，能够实现对函数f(x)的小波分解与重构。Mallat设计出了类似于快速傅里叶变换的Mallat算法，并构造出了一组带通滤波器，这样函数f(x)就可以看作一维信号，对他的分解与重构就可以通过低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n)来实现。

设f(x)在子空间Vj和Wj的投影系数分别为cj,k和dj,k即：

其中c,k和dj,k分别为j尺度空间的剩余系数和小波系数，它们分别是信号在尺度j+1空间的剩余系数Cj+1与共轭滤波器组,（，）进行卷积并进行2:1的下采样（抽取）所得结果，则上述两式可由下图表示，这个由Cj+1计算cj,k、dj,k的算法称为Mallat分解算法，将cj,进一步分解下去，可得到任意尺度空间上的分解，分解过程如下图所示。

小波的重构过程，可以用下图表示

其中，分解时的滤波器组为h,g脉冲响应函数用hk，gk表示，合成时的滤波器组为,，脉冲响应函数用k, k表示。他们满足下述条件：

在图像处理中把图像看作二维信号f(x,y)后，对其进行小波变换处理，所用到的理论知识和实现过程与一维信号类似，但是，难度和复杂度会相应增加。

四、小波阈值去噪

    小波阈值去噪的基本思路是：

    (1)先对含噪图像f(x，y)做小波交换，得到一组小波系数Wj,k；

    (2)通过对小波系数Wj,k进行阈值处理，得出估计小波系数j,k

使得||j,k -Wj,k||尽可能小；

    (3)利用小波系数j,k。进行小波重构，得到估计图像(x，y)，即

为去噪之后的图像。

    基于小波变换的去噪方法中，小波系数的阈值及阈值函数的选

取是两个关键性技术。

五、实验与结论

　　采用DaubechiesD-4滤波器对带有高斯白噪声的图像进行去噪实验。图像大小为521×521，分别用统一阈值、VisuShrink阈值、SureShrink阈值、BayesShrink阈值和改进阈值对图像进行小波去噪 结果如下表所示。去噪后的重构图像见下图。

由去噪重构图象的结果可知，统一阈值有较好的平滑效果，能有效的去除噪声，但也去除了一些信号，造成图象的边缘较模糊；VisuShrink阈值去噪后的重构图象过于平滑，去除噪声的同时也去除了较多信号，重构图象的信噪比最低；SureShrink阈值去噪后能较好的恢复图像的主要信息，去除大部分噪声，但也忽略了一些图象的特征细节；BayesShrink阈值去噪后的重构图象，能较好的恢复图象的有用信号，但对边界的恢复效果欠佳；改进阈值去噪时获得较好的平滑效果的同时，又能较好的恢复图象的特征细节和保留边界信息，图象的重构效果最好。

实验结果表明，采用收缩阈值函数进行去噪的效果，整体要好于软阈值函数的去噪效果；改进阈值的去噪效果要好于其他几种阈值的去噪效果，可将该去噪方法应用到图像压缩编码中。

参考文献:

[1] 蒋良成，基于子波变换的图象编码方法的研究，东南大学博士研究生学位论文，1994年3月。

[2] ]冯象初，甘小冰，宋国乡.数值泛函与小波理论，.西安电子科技大学出版社，2003年。

[3] 胡昌华，张军波，夏军，张伟，基于Matlab的系统分析与设计一小波分析，西安电子科技大学出版社，1999年12月。

[4] 杜笑平一种新的小波变换零树图像编码11]，电讯技术，1997年1月。

[5] 贝景，徐静.静止图像小波系数嵌入式编码算法的研究[J].通信技术，2003年3月。

[6] 赵瑞珍.小波理论及其在图像、信号处理中的算法研究.西安电子科技大学博士论文.2001年6月。

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