一、微积分
1．求下列函数的导数
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
2．已知某地段地形的海拔高度h因水平坐标x而变，h=100-0.0001x2(1-0.005x2)，度量x和h的单位为米。问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？
解：先求出h(x)对x的一阶导数和二阶导数：
令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。∵d2h/dx2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d2h/dx2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).
3．求下列不定积分
解：
4. 求下列定积分
y
-π/2 +
- 0 π/2 x
解：
6．计算由y=3x和y=x2所围成的平面图形的面积。
y
0 3 x
解：如图所示，令3x=x2,得两
条曲线交点的x坐标：x=0,3. 面积
7．求曲线y=x2+2,y=2x,x=0和x=2诸线所包围的面积。
y
A
0 2 x
解：面积A
v
v0
t
t1 t2
8．一物体沿直线运动的速度为v=v0+at,v0和a为常量，求物体在t1至t2时间内的位移。
解：位移S
二、矢量
1．2．3．4．5．6．7．略
y
B
β A
α
0 x
8．二矢量如图所示A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积定义和正交分解法求。
解：直接用矢量标积定义：
用正交分解法：∵Ax=4cosα=3.6
Ay=4sinα=1.7, Bx=5cos(90º+β)= - 5sinβ= -3,By=5sin(90º+β)=5cosβ=4
∴
9．
解：由标积定义，而
10．已
的夹角。
解：将已知两式相加，可求得；再将已知两式相减，可求得，
0.5×4.5=0.5。
11．已知
证明：用已知等式分别叉乘0
其中，
12．计算以P (3,0,8)、Q (5,10,7)、R (0,2,-1)为顶点的三角形的面积。
解：据矢积定义，△PRQ的面积
y R(0,2,-1)
Q(5,10,7)
o x
z P(3,0,8)
=
.
13．化简下面诸式
解：⑴
j
i
k
⑵
⑶
14．计算下面诸式
j
i
k
解：⑴
⑵
15．求证：
证明：
16．
解：
17．已知，
解：
第一章 物理学和力学
1.1国际单位制中的基本单位是那些？
解答，基本量：长度、质量、时间、电流、温度、物质的量、光强度。
基本单位：米（m）、千克（kg）、时间（s）、安培（A）、温度（k）、摩尔（mol）、坎德拉（cd）。
力学中的基本量：长度、质量、时间。
力学中的基本单位：米（m）、千克（kg）、时间（s）。
1.2中学所学习的匀变速直线运动公式为
各量单位为时间：s（秒），长度：m（米），若改为以h（小时）和km（公里）作为时
间和长度的单位，上述公式如何？若仅时间单位改为h，如何？若仅单位改为km/h，又如何？
解答，（1）由量纲，，
改为以h（小时）和km（公里）作为时间和长度的单位时，（速度、加速度仍为SI单位下的量值）
验证一下:
利用计算得：
利用计算得
（2）. 仅时间单位改为h
由量纲，得
若仅时间单位改为h，得：
验证一下:
利用计算得：
利用计算得：
（3）. 若仅单位改为km/h
由量纲,得
仅单位改为km/h，因长度和时间的单位不变，将km/h换成m/s得
验证一下:
利用计算得：
利用计算得：
1.3设汽车行驶时所受阻力f与汽车的横截面积S成正比，且与速率v之平方成正比。若采用国际单位制，试写出f、S和的关系式；比例系数的单位如何？其物理意义是什么？
解答，
物理意义：体密度。
1.4某科研成果得出
其中表示某些物体的质量，为纯数即量纲1，你能否初步根据量纲判断此成果有误否？
解答，可以看出式子两边的量纲为1。根据量纲判断此成果无误。
