注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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| 评卷人 | 得分 |
| 一、选择题 |
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.给出如图所示的算法框图，若输出的时，a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列满足点在直线上，则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.
5.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为4，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，（参考值，），则a，b，c的大小关系是（ ）.
A. B. C. D.
7.已知向量，，，则以向量与为基底表示向量的结果是（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列是等比数列，且，，则数列（ ）
A.1984 B.1920 C.992 D.960
9.函数的零点的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.若，则（ ）.
A.88 B.86 C.76 D.66
11.一个由橡皮泥制作的空间几何体的三视图如右图，三个视图的外边框都是边长为6的正方形，各边上的交点为边的中点.将该几何体揉搓成一个球体（不计损耗），则该球体的半径为（ ）（圆周率π取3）.
A. B. C. D.
12.已知在线段上有、两点，满足，，，点在线段上运动，设为的中点，为的中点（如下图），则的值（ ）
A.等于 B.等于 C.等于 D.与的位置有关
第II卷（非选择题）
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| 评卷人 | 得分 |
| 二、填空题 |
14.已知角的顶点是直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，若是的终边上一点，则________．
15.已知椭圆左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且．则椭圆的离心率________．
16.已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是________．
| 评卷人 | 得分 |
| 三、解答题 |
（1）若，求的最小值和最大值；
（2）设的内角、、的对应边分别为、、，为的中点，若，，，求的面积．
18.已知抛物线的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值．
19.如图，在三棱锥中，侧面是边长为6的等边三角形，底面是角C为的等腰三角形，
（1）求证：平面平面；
（2）若M在上，且，求二面角的余弦值.
20.中国悠久文化之一“石头，尖刀，布”游戏，留传至今，仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式.“石头”即拳头，“尖刀”即食指和中指，“布”即手掌，“石头”胜“尖刀”，“尖刀”胜“布”，“布”胜“石头”、现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负、假定每个人每次伸出什么手势是随机的并且是均等的（一次游戏，可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负.不分胜负即三人手势均相同或互不相同）
（1）若进行一次“石头，尖刀，布”游戏，求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率；
（2）若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，仅一人获胜时，获胜者得5分，失败者各得分—2；有2人同时获胜时，获胜者各得3分，失败者得－2分；不分胜负时，各得0分.现在进行两次“石头、尖刀，布”游戏，用X表示甲所得的总分数，求X的分布列和期望.
21.设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：（e为自然对数的底数）.
22.已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与轴的非负半轴重合，有相同的单位长度．曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）．
（Ⅰ）求曲线的长度；
（Ⅱ）若直线被曲线截得的线段长为4，求实数的集合．
23.已知．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）求证：，对，，不等式成立．
参
1.B
【解析】1.
分别化简集合再求交集即可.
由，或
所以或
故选：B
2.A
【解析】2.
首先将复数化简，再利用模长公式即可求解.
，
，
故选：A.
3.B
【解析】3.
根据程序运行，根据输出值得的值，从而得判断条件．
程序运行时，变量值为：；；，；，，此时输出，满足判断条件，不满足判断条件，因此，
故选：B．
4.D
【解析】4.
把点带入直线方程，即得数列的通项公式，再运用等差数列求和公式即可.
因为在直线上，所以
即
故选：D.
5.C
【解析】5.
利用已知条件和点到直线的距离公式即可求出得值，进而可得渐近线方程.
由双曲线可得，，
渐近线方程为：，即，
所以焦点到渐近线的距离，
所以，可得，解得：，
所以
所以双曲线的渐近线方程是.
故选：C.
6.B
【解析】6.
两边同时取以为底的对数，利用对数的单调性即可求解.
，
，
，
所以，即.
故选：B
7.A
【解析】7.
设，列方程组解得即得．
设，则，解得，所以．
故选：A．
8.A
【解析】8.
首先计算的前两项即可得公比，再利用等比数列的通项公式可计算的值，进而可得的值.
因为数列是等比数列，且，，
所以，，
可得公比，
所以是首项为，公比为 的等比数列，
所以，
所以.
故选：A.
9.B
【解析】9.
直接解方程可得．
，，，经检验是方程的解，有两个零点．
故选：B．
10.C
【解析】10.
令，求得的值，再求得二项式展开式的通项，令，求得的值，即可求解.
由，
令，可得，
又由二项式展开式的通项为，
令，可得，所以，
所以.
故选：C.
11.D
【解析】11.
根据几何体的三视图作出几何体的直观图，求出几何体的体积，再由球的体积与几何体的体积相等即可求解.
由几何体的三视图可得，其直观图是正方体截去四个三棱锥，如图：
所以几何体的体积，
设搓成球体的半径为，
则，即，解得.
故选：D
12.B
【解析】12.
用表示、，即可求得的值.
，，，，
为的中点，为的中点，
，
，所以，，
.
故选：B.
13.
【解析】13.
随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率计算公式即可求解.
由随机变量，
则.
故答案为：
14.
【解析】14.
首先利用三角函数的定义求出和的值，再利用正弦的二倍角公式即可求解.
因为，所以原点到的距离，
由三角函数的定义可得，，
所以，
故答案为：.
15.
【解析】15.
用表示、，利用椭圆的定义可得出关于、的关系式，由此可求得椭圆的离心率的值.
如下图所示：
由已知条件可知，在中，，，，
则，
由椭圆的定义可得，即，.
故答案为：.
16.
【解析】16.
构造函数，由导数确定单调性后，利用单调性解函数不等式．
设，则，
因为，，所以，在上单调递减，
，即，令，即，，
所以，，所以．
故答案为：．
17.（1），；（2）.
【解析】17.
（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，根据已知条件求出、的值，可得出，由求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得结果；
（2）由结合角的取值范围可求得的值，利用，结合平面向量数量积运算性质可求得的值，进而利用三角形的面积公式可求得.
（1），为锐角，且.
所以，，解得，
由题意可得，因为为锐角，且，可得，.
当时，，，；
（2），，即，
，，则，.
，，
所以，，
即，即，，解得.
因此，.
18.（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】18.
（Ⅰ）设直线的方程为：，，，直线的方程与抛物线联立，利用韦达定理求出、，再由即可求解.
（Ⅱ）四边形的面积等于四个三角形的面积之和即分别利用、两点以及焦点坐标表示出四边形面积再利用基本不等式即可求最值.
（Ⅰ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为：，，，
由得，则，，
因为，所以，
解得：，
所以直线过定点，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，如图所示，设点位于第一象限，则，
四边形面积
由对称性知：，
，
当且仅当即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为.
19.（1）证明见详解；（2）
【解析】19.
（1）取的中点，连接、，可得，，计算出、的长，在中利用勾股定理可证明，结合，利用线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判断定理即可求证.
（2）以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
（1）
取的中点，连接、，
因为是边长为6的等边三角形，是等腰三角形，
所以，，
所以，，
，
所以在中，，可得，
因为，平面，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意可知，，，，
，，
由图可知，平面的法向量平行于轴，设，
设平面的一个法向量为，
，，
，令，可得，
，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
20.（1）；（2）
【解析】20.
（1）根据组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）由题意得出随机变量，根据相互事件的概率计算公式得出分布列，由分布列得出数学期望.
（1）设甲获胜的为事件，两人同时获胜为事件.
，
.
（2）X的可能取值为，
的分布列如下：
21.（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减.
（2）证明见详解.
【解析】21.
（1）求出函数的定义域以及导函数，讨论或，判断的符号，即可判断函数的单调性.
（2）令，构造函数，利用导数计算得出，即可证得所证不等式成立.
（1）由，则，解得，
所以函数的定义域为，
，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令，
令，解得，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
函数在上单调递减.
（2）令，要证，即证，其中，
构造函数，其中，.
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得，即，
当时，，即，此时函数单调递减；
当时，，即，此时函数单调递增.
所以，，
故所证不等式成立.
22.（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】22.
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，可得曲线表示一个圆，利用圆的周长公式即可求解；
（Ⅱ）首先将直线的参数方程消去参数化成普通方程，利用弦长等于，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列方程，解方程即可.
（Ⅰ）由可得，
将，代入可得：，
即，
所以曲线表示以为圆心，半径等于的圆，
所以曲线的长度即圆的周长为；
（Ⅱ）由可得代入可得，
整理可得：，
因为直线被曲线截得的线段长为4，
所以圆心到直线的距离为，
可得，
可得或，
所以或，
可得或，
解得：或或或，
所以实数的集合为.
23.（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见详解.
【解析】23.
（Ⅰ）由于，当时，得；当时，得；当时，无解，即可得结果；
（Ⅱ）由不等式得，故，即可证明.
（Ⅰ）由
当时，得；
当时，得；
当时，得无解；
综上的解集为 ；
（Ⅱ）因为， 所以，则
故，
由于
如图所示：
所以最大值为3，故
所以，对，，不等式成立.下载本文
