数学（理）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|(2)0}A x x x =-=，2{|490}B x Z x =∈-≤，则A B = （ ）

A ．{2,1,0,1}--

B ．{1,0,1,2}-

C ．[2,2]-

D ．{0,2}

2.设a R ∈，若复数3a i z i

-=+（i 是虚数单位）的实部为2，则复数z 的虚部为（ ） A ． 7 B ．-7 C ．1 D ．-1

3.已知向量(1,2)a = ，(,4)b m =- ，若||||0a b a b +∙= ，则实数m 等于（ ）

A ． -4

B ．4

C ． -2

D ． 2

4.设0.46a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）

A ．a b c <<

B ．c b a << C. c a b << D ．b c a <<

5.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）

A ．3115-

B ．75- C. 3117- D ．2117

- 6.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）

A ．100,8

B ． 80,20 C. 100,20 D ．80,8

7.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若2BA AF = ，且||4BF = ，则双曲线C 的方程为

（ ）

A ．22165x y -=

B ．221812x y -= C. 22184x y -= D ．22146

x y -= 8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．

323

B ．163 C. 83 D ．43 9.设函数9()sin(2)([0,])48f x x x ππ=+∈，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x （123x x x <<）

，则123x x x ++的取值范围是（ ） A ．95[,)84ππ B ．511[,)48ππ C. 313[,)28ππ D ．715[,)48

ππ 10.若实数,x y 满足22026003x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩

，且(2)z mx y m =-<的最小值为52-，则m 等于（ ）

B ．56- C. 1 D ．13

11.已知正三角形ABC 的三个顶点都在球心为O 、半径为3的球面上，且三棱锥O ABC -的高为2，点D 是线段BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（ ）

A ．154

π B ．4π C. 72π D ．3π 12.函数()y f x =图象上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||

A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线在点A 与点B 之间的“弯曲度”．设曲线x y e =上不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)3t A B ϕ∙<恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）

A ．(,3]-∞

B ．(,2]-∞ C. (,1]-∞ D ．[1,3]

第Ⅱ卷

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则

32a a = ． 14.已知点12(1,),(9,)A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它

的焦点，若||5||BF AF =，则212y y +的值为 ．

15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持

金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金

12，第2关收税金为剩余金的13

，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16．5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关” ，则第8关需收税金为 x ．

16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，1cos 9

C =

，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.）

17. 在数列{}n a 和{}n b 中，112

a =，{}n a 的前n 项和n S 满足1111()()22

n n n n S S +++=+*()n N ∈，(21)n n b n a =+，{}n b 的前n 项和为n T ． （1）求数列{}n b 的通项公式n b 以及n T ；

（2）若13T T +，2mT ，233()T T +成等差数列，求实数m 的值．

18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，

11160ACC CC B ∠=∠= ，AC =

（1）求证：11AB CC ⊥；

（2）若1AB =，11AC 的中点为1D

，求二面角11C AB D --的余弦值． 19. 在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”，某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：

（1）求数学成绩y 关于物理成绩x 的线性回归方程^^^y b x a =+（^

b 精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；

（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X 表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．

（参考公式：^1221

()n

i i i n i i x y nx y b x

n x ==-=-∑∑，^^^a y b x =-） 参考数据：22222908574686329394++++=，

90130851257411065639042595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.

20. 设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且1F 恰好是线段2QF 的中点．

（1）若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线3470x y --=相切，求椭圆C 的方程；

（2）在（1）的条件下，B 是椭圆C 的左顶点，过点3(,0)2R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,E F 两点，直线,BE BF 分别交直线83

x =于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21. 已知函数2()2ln 311f x x x x =--．

（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（2）若关于x 的不等式2

()(3)(213)2f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值；

（3）若正实数12,x x 满足22121212()()4()12()4f x f x x x x x +++++=，证明：122x x +≥． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为sin 2cos x t y t ϕϕ

=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0ϕπ<<），曲线C 的极坐标方程为

2cos 8sin ρθθ=．

（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当ϕ变化时，求||AB 的最小值．

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|2|f x x =-．

（1）求不等式2()40f x x +->的解集；

（2）设()|7|3g x x m =-++，若关于x 的不等式()()f x g x <的解集非空，求实数m 的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5:BDCBC 6-10: ADCBC 11、12：AA

二、填空题

13. -2 14. 10 15.

172 16. 三、解答题

17.（1）由1

*11

()

()2

n n n S S n N ++-=∈，得1*11

()()2

n n a n N ++=∈，

又112a =，故1()2n n a =*

()n N ∈，从而212n n

n b +=. 23357212222n n n T +=++++ ，

234113572122222

n n n T ++=++++ ， 两式相减并整理得：25

52n n

n T +=-. （2）由（1）可得：132

T =，2114T =，329

8T =，

又因为13223,,3()T T mT T T ++成等差数列， 所以

3291129113()228484m ++⨯+=⨯，解得：9722

m =. 18.（1）证明：连接1AC ，则1ACC ∆和11B C C ∆为正三角形，

取1CC 中点O ，连接1,OA OB ，则1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，从而1CC ⊥平面1OAB ，

1CC ⊥1AB ．

（2）解：由（1）知，13OA OB ==，

又1AB =，满足2

2

2

11OA OB AB +=，所以1OA OB ⊥，OA ⊥平面11B C C .

如图所示，分别以11,,OB OC OA 为正方向建立空间直角坐标系，

则(0,C ，1(3,0,0)B ，(0,0,3)A

，1C

，1A

，13

(0,

,)22

D ，

设平面1CAB 的法向量为(,,)m x y z = ，因为1(3,0,3)AB =-

，(0,3)AC =-

，

所以33030

x z z -=⎧⎪

⎨-=⎪⎩

，取(1,m = ，

设平面11AB D 的法向量为n

，因为13(0,)22AD =-

，113(3,)22

B D =- ，

同理可得取n =

.

则cos ,||||m n m n m n ∙<>===

11C AB D --为钝角. 19.（1）9085746863765x ++++=

=，13012511095901105

y ++++==，

5

^

1

5

22

155()i i

i i

i x y x y

b x

x ==-=

-∑∑242595576110795

1.529394576514

-⨯⨯=

=≈-⨯，

^

^

^

110 1.57a y b x =-=-⨯=-，

所以^

1.54y x =-， 当80x =时，^

116y =.

（2）随机变量X 的可能取值为1,2,3，

而2123353(1)10C C P X C ===，1223353(2)5C C P X C ===，333

51

(3)10

C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为

X 1 2

3

P

310

35

110

所以331

123 1.810510

EX =⨯+⨯+⨯=. 20.（1）由题意知：(0,)A b ，1F 是线段2QF 的中点，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则(3,0)Q c -，因为290QAF ∠= ， 所以2

2

3b c =.

由题意知：2Rt QAF ∆外接圆的圆心为斜边2QF 的中点1(,0)F c -，半径等于2c .

因为过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线3470x y --=相切，所以1(,0)F c -到直线的距离等于半径2c ，即

|37|

25

c c --=，解得1c =，2233b c ==，2224a b c =+=， 所以，椭圆C 的方程为22

143

x y +=. （2）设1122(,),(,)E x y F x y ，直线EF 的方程为32x my =+，由22

1433

2

x y x my ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去x 得：

224(34)36210m y my ++-=，

所以1223(34)m y y m -+=

+，122

21

4(34)

y y m -=+， 由,,B E M 三点共线可知：

118223

M y y

x =++，即11143(2)M y y x =

+， 同理可得：22143(2)N y y x =+，所以12

1212368383494(2)(2)3232

N M N M y y y y y y k k x x ====

++--， 因为2

121212124(2)(2)(27)(27)414()49x x my my m y y m y y ++=++=+++，

所以2122

22221

124(34)

2114367

44(34)4(34)

m k k m m m m -⨯

+==--⨯⨯-

++，故12k k 为定值，且定值为127-.

21.（1）因为'

2

()611f x x x

=

--，'(1)15f =-，(1)14f =-， 所以切线方程为1415(1)y x +=--，即151y x =-+.

（2）令22()()(3)(213)22ln (22)2g x f x a x a x x ax a x =----+=-+-+，

所以'

2()2(22)g x ax a x =-+-22(22)2

ax a x x

-+-+=，

当0a ≤时，因为0x >，所以'()0g x >，所以()g x 是(0,)+∞上的递增函数， 又因为(1)222340g a a a =-+-+=-+>，所以关于x 的不等式

2()(3)(213)2f x a x a x ≤-+--不能恒成立.

当0a >时，2

'1

2()(1)

2(22)2()a x x ax a x a g x x x

--+-+-+==

， 令'()0g x =，得1x a =，所以当1(0,)x a ∈时，'()0g x >；当1(,)x a ∈+∞时，'

()0g x <，

因此函数()g x 在1(0,)a 上是增函数，在1

(,)a

+∞上是减函数，故函数()g x 的最大值为

1111

()2ln 2ln 0g a a a a a

=+=-≤. 令1

()2ln h a a a

=-，

则()h a 在(0,)+∞上是减函数， 因为(1)10h =>

，11

(2)2ln 2022

h =

-<-<， 所以当2a ≥时，()0h a <，所以整数a 的最小值为2．

（3）由22

121212()()4()12()4f x f x x x x x +++++=，得 221212122ln()()()4x x x x x x ++++=，

从而2

12121212()()22ln()4x x x x x x x x +++=-+， 令12t x x =，则由()22ln 4t t t ϕ=-+，得'

2(1)

()t t t

ϕ-=，可知()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，

所以()(1)6t ϕϕ≥=，所以21212()()6x x x x +++≥，又120x x +>，

因此122x x +≥成立. 22.（1）由sin 2cos x t y t ϕ

ϕ

=⎧⎨

=+⎩消去t 得：cos sin 2sin 0x y ϕϕϕ-+=，

所以直线l 的普通方程为cos sin 2sin 0x y ϕϕϕ-+=， 由2cos 8sin ρθθ=，得2(cos )8sin ρθρθ=， 把cos x ρϕ=，sin y ρϕ=代入上式，得28x y =， 所以曲线C 的直角坐标方程为28x y =.

（2）将直线l 的参数方程代入28x y =，得22sin 8cos 160t t ϕϕ--=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1228cos sin t t ϕϕ+=

，12

216

sin t t ϕ

=-，

所以1228

||||sin AB t t ϕ

=-===

， 当2

π

ϕ=

时，||AB 的最小值为8．

23.（1）原不等式可化为：2

|2|4x x ->-，即2

24x x ->-或2

24x x -<-，

由2

24x x ->-得2x >或3x <-， 由2

24x x -<-得2x >或1x <-，

综上，原不等式的解集为{|21}x x x ><-或．

（2）原不等式等价于|2||7|3x x m -++<的解集非空， 令()|2||7|h x x x =-++，即min ()3h x m <，

由|2||7||27|9x x x x -++≥---=，所以min ()9h x =， 由39m >，解得3m >．下载本文