一、 概念
曲率半径从某一个值连续匀变为另一个值的曲线称为缓和曲线。
二、缓和曲线的已知参数和特征参数
1、已知参数
(1) 转角α
(2) 圆曲线半径R
(3) 缓和曲线长度ls
2、缓和曲线特征参数与表达式
为了便于说明缓圆曲线特征参数，预先建立直角坐标系ZH点是坐标系原点，ZH至JD点为X轴，过ZH点作X轴的垂直方向为Y轴，形成一个直角坐标系，ZH-HY、HY-ZH是缓圆曲线如图所示。
图、 对称缓圆曲线
(1) 回旋曲线参数：取图一部分放大如图中，曲线段ZH-HY是缓圆曲线。回旋曲线是我国应用缓圆曲线的常用线型。根据一般曲线曲率半径的表达特征，回旋曲线曲率半径表达式为
ρ＝c／l （3-01）
而半径的表达式为 c＝Rls （3-02）
(2) 切线角：过缓圆曲线上P点的切线与缓圆曲线ZH点切线夹角，称为切线角用β表示。设P点附近存在dl对应的dβ为
dβ＝dl/ρ
整理得
dβ＝dl/Rls
积分上式得切线角表达式
β=l2／2Rls (3-03)
角度表达式
β=l290°／Rls (3-04)
当l=ls时，有
βs=ls／2R (3-05)
角度表达式
βs=ls90°／R (3-06)
(3) 缓圆曲线HY点的点位坐标：图中，把过ZH点的切线设为X轴，过ZH点作X轴的垂直方向的直线设为Y轴，形成缓圆曲线直角坐标系。在P点处相对于dl的变化引起P点的坐标变化，即
dx=dl , dy=dl (3-07)
积分处理，舍高次项得缓和曲线上任一点点坐标为
x=l-l5/40R2l2s+l9/3456R4l4s-l13/599040R6l6s+l17/1754720R8l8s-l21/78033715200R10l10s (3-13)
y=l3/6Rls-l7/336R3l3s+l11/42240R5l5s-l15/9676800R7l7s+l19/35300960R9l9s-l23/1880240947200R11l11s (3-14)
舍去第4项以后各项,有
x=l-l5/40R2l2 s+l9/3456R4l4 s
y=l3/6Rls-l7/336R3l3s+l11/42240R5l5s (3-15)
当l=ls时,缓圆曲线HY点的坐标为
xs=ls-l3 s/40R2+l5 s/3456R4,
ys=l2 s/6R-l4 s/336R3+l6 s/42240R5
(3-18)
(4) 缓圆曲线内移参数p与切线增值参数q:图中,在路线中线转弯处如果只
设计缓圆曲线,路线中线的F,G点分别是缓圆曲线(虚线)的ZY,YZ点.在这种情况
下, 车辆沿AF直线段运行后在F处处转入圆曲线,这时的线型必须有相应的变
化。这种变化可在不改变原有交点JD和直线方向的情况下,使缓圆曲线向圆心O
的方向内移,即形成图中实线的线型。变化后的缓圆曲线内移的距离值,就是内移
参数p;变化后的缓圆曲线原有的切线长FJ增长为AJ,增值参数为q。上述的变
化结果是，实现缓圆曲线AC，DB的插入和圆曲线的缩短（即原FG弧长缩短为
HY-YH）的弧长。图中，设缓圆曲线内移后仍取R为半径，βs是HY处的切线角，
内移参数p为
p=ys+Rs-R (3-19)
按式(3-03)把上式的s 的展开式,内移参数p与缓圆曲线弧长l的
精密关系式是
p=l2/24R-l4/2688R3+l6/506880R5-l8/154828800R7+l10/70601932800R9
(3-20)
设l=ls并略去高次项可得
p=l2 s/24R-l4 s/2688R3+ l6 s/506880R5 (3-21)
增值参数为 q=xs-Rs (3-22)
仿式(3-19)的推导可得增值参数q与缓圆曲线弧长l的精密关系式是
q=l/2-l3/240R2+l5/34560R4-l7/8386560R6+l9/31585075
20R8 (3-23)
设l=ls并略去高次项得
q=ls/2-l3s/240R2+l5 s/34560R4 (3-24)
若上式右边第二项很小,则增值参数q相当于缓圆曲线段AC长度ls的一半。
三、缓和曲线主点参数
1 主点定位参数
根据图，主点特征参数包括切线长，曲线长，外矢距和切曲差，参数差，参数计算的表达式。
(1) 切线长: TH=(R+p)tan(α/2)+q (5-01)
(2) 曲线长： LH=R(α-2βs)/180°+2ls (5-02)
(3) 外矢距: EH=(R+p)/cos(α/2)-R (5-03)
(4) 切曲差： DH=2TH-LH (5-04)
2、主点里程参数的计算
(1) ZH点里程： ZH里程=JD里程-TH (5-05)
(2) HY点里程： HY里程=ZH里程+ls (5-06)
(3) YH点里程： YH里程=HY里程+LH-2ls (5-07)
(4) HZ点里程： HZ里程=YH里程+ls (5-08)
(5) QZ点里程： QZ里程=HZ里程-LH/2 (5-09)
(6) 检核计算: JD里程=QZ里程+DH/2 （5-10）
3、主点的测设
四、计算过程
1、直角坐标表示法
计算缓圆曲线的详细参数的直角坐标系如图所示，这里仅列出曲线上各段点位参数在直角坐标系的计算公式。
Lxzh '待计算点桩号
xjd '交点x坐标
yjd '交点y坐标
kjd 'JD点桩号
a0 '前切线方位角
A1 = '后切线方位角
R = '圆曲线半径
LS1 = '第一缓和曲线长
LS2 = '第二缓和曲线长
T1 = '第一切线长
T2 = '第二切线长
LL = '曲线长
Ly = '圆曲线长
kzh 'ZH点桩号
khy 'HY点桩号
kqz 'QZ点桩号
kyh 'YH点桩号
khz 'HZ点桩号
zy '路线左右偏代码(1或-1)
1)、如果在QD到ZH上，那么
L = kzh - Lxzh
X = xjd - (T1 + L) * Cos(a0)
Y = yjd - (T1 + L) * Sin(a0)
2)、如果在ZH-HY上，那么
X1 = xjd - T1 * Cos(a0)
Y1 = yjd - T1 * Sin(a0)
L = Lxzh - kzh
Xp = L - L ^ 5 / (40 * (R * LS1) ^ 2) + L ^ 9 / (3456 * (R * LS1) ^ 4)
Yp = L ^ 3 / (6 * R * LS1) - L ^ 7 / (336 * (R * LS1) ^ 3) + L ^ 11 / (42240 * (R * LS1) ^ 5)
X = X1 + Xp * Cos(a0) - zy * Yp * Sin(a0)
Y = Y1 + Xp * Sin(a0) + zy * Yp * Cos(a0)
3)、如果在HY-YH，那么
X1 = xjd - T1 * Cos(a0)
Y1 = yjd - T1 * Sin(a0)
q1 = LS1 / 2 - LS1 ^ 3 / (240 * R ^ 2) + LS1 ^ 5 / (34560 * R ^ 4)
P1 = LS1 ^ 2 / (24 * R) - LS1 ^ 4 / (2688 * R ^ 3) + LS1 ^ 6 / (506880 * R ^ 5)
L = Lxzh - kzh
tp = (2 * L - LS1) / 2 / R
Xp = R * Sin(tp) + q1
Yp = R * (1 - Cos(tp)) + P1
X = X1 + Xp * Cos(a0) - zy * Yp * Sin(a0)
Y = Y1 + Xp * Sin(a0) + zy * Yp * Cos(a0)
4)、如果YH-HZ上，那么
X1 = xjd + T2 * Cos(A1)
Y1 = yjd + T2 * Sin(A1)
L = khz - Lxzh
Xp = L - L ^ 5 / (40 * (R * LS2) ^ 2) + L ^ 9 / (3456 * (R * LS2) ^ 4)
Yp = L ^ 3 / (6 * R * LS2) - L ^ 7 / (336 * (R * LS2) ^ 3) + L ^ 11 / (42240 * (R * LS2) ^ 5)
X = X1 - Xp * Cos(A1) - zy * Yp * Sin(A1)
Y = Y1 - Xp * Sin(A1) + zy * Yp * Cos(A1)
5)、如果在HZ-ZD,那么
L = Lxzh - kzh
X = xjd + (T2 + L) * Cos(a0)
Y = yjd + (T2 + L) * Sin(a0)
2、极坐标表示法
极坐标法表示法也称偏角法，所需的参数有曲线的弦长C和偏角δ，完全可以利用切线支距法的参数换算到。下载本文
